基于长记忆可能性的衍生产品定价

真诚的（u fu（A，s））≤v fv（A，s）和欧孚（A，s）x= eRe（u fu（A，s））x≤ eKn（u）x，zx>1欧孚（A，s）x-1.ν（dx）≤Zx>1eKn（u）xν（dx）+Zx>1ν（dx）=:B3，n（u），这是由于（4）和度量值的性质而确定的。因为B（u），B（u）和B3，n（u）既不依赖于s也不依赖于A，所以我们有|~n（u，A）|≤ t（B（u）+B（u）+B3，n（u））和rr-t（B（u）+B（u）+B3，n（u））π（dA）=t（B（u）+B（u）+B3，n（u））<∞, 所以函数t（B（u）+B（u）+B3，n（u））相对于π是可积的。由于|（u，A）是解析函数，因此对于所有A<0的函数都是连续的，因此它也认为对于所有A<0的函数，||（u，A）|在sn上是连续的。根据优势收敛定理，它遵循-||（u，A）|π（dA）是连续的，因此是Sn上的局部有界函数。自从∈N是任意的，因此函数在S上是连续且局部有界的，这就完成了证明。现在我们可以很容易地给出条件，确保定理4.1中的（ii）满足推论4.5。莱特克斯≥1erxν（dx）<∞ 无论如何∈对于某些ε>0的情况，R<ε。然后，矩母函数ΦXT | Gis分析了开放条带S:={u∈ C:| Re（u）|<δ}带δ：-|β|-|ρ| T+√哪里:=|β|+|ρ| T+εT.此外，ΦXT | G（u）=（11）expu（X+uT）+uβ+u锆-Z-∞A.eA（T）-（s）-E-像∧（dA，ds）+Θ（u）为了所有的你∈ 美国证据。遵循定理4.2和4.4，注意到解析函数由其在直线上的值和[16，引理a.1]唯一识别。与[16，Th.6.11]非常相似，我们现在可以证明定理4.1中的条件（iii）也适用于supOU SV模型。10 Robert Stelzer和Jovana ZaviˇsinTheorem 4.6。

如果你∈ C、 u=v+iw和u∈ 如定理4.4所定义，则为MAPW 7→ΦXT | G（v+iw）是绝对可积的。5例。1具体规格如果我们想通过傅里叶逆变换为导数定价，那么这意味着在苏古SV模型中，我们必须计算与三维积分、傅里叶逆变换和二重积分类似的东西，即Θ（u）=RR-RtθL（u-fu（A，s））dsπ（dA）。如果我们想根据市场数据校准我们的模型，优化器会经常重复这个过程，因此考虑至少可以通过分析计算部分积分的规格是很重要的。实际上，不难看出，人们可以使用OU型随机波动率模型（见[3,9,17,22]）的标准规范，该模型以OU型过程的平稳分布命名。与Γ-OU过程的情况一样，我们可以选择底层的L′evy过程为具有特征三重态（γ，0，abe）的复合泊松过程-bx{x>0}）与a，b>0。此外，我们假设A遵循“负”Γ分布，即π是BR的分布，其中B∈ R-和R~Γ（α，1），α>1，这是通常用于获得acf长记忆/多项式衰减的规格。

我们将该规范称为Γ-supOU SV模型。使用（6）我们得到了Θ（u）=uZR-Ztγfu（A，s）dsπ（dA）+ZR-ZtZR+欧孚（A，s）x-1.ν（dx）dsπ（dA）。在Θ（u）中，我们看到了第一次总结-Ztγfu（A，s）dsπ（dA）=γZR-ZteA（t-s） Auβ+udsπ（dA）{z}I-锆-ZtAuβ+udsπ（dA）{z}I+ZR-Ztρudsπ（dA）|{z}I！。对于我们现在可以展示的三个部分：supOU SV模型11I中的衍生品定价=uβ+u(1 -Bt）2-α-1B（α）-1)(α-2） 如果α6=2，I=-uβ+uBln（1）-Bt）如果α=2，I=tuβ+uB（α）-1） ，I=ρuZtZR-dsπ（dA）=ρut。此外，设置C（A）：=Auβ+u-ρu one为第二个summandinΘZR得到-ZtZR+欧孚（A，s）x-1.阿贝-bxdxdsπ（dA）=aZR-A（b+C（A））b层B-ρub-伊塔uβ+u+C（A）-AC（A）tπ（dA）。不幸的是，无法获得更明确的该积分公式，最后一个积分必须用数值计算。我们也可以选择基本的L’evy过程，就像参数δ和γ的IG-OU模型一样，同时保持度量π的选择不变。在这种情况下，我们有ν（dx）=√πδ十、-1+γ十、-经验-γx{x>0}dx，与前一种情况相比，唯一的区别在于三重积分的计算，而三重积分也可以部分解析计算，因此只需要一维数值积分。5.2校准和示例在本章中，我们校准Γ-supOU SV模型以DAX上的欧式普通看涨期权的市场价格为基础。让t，t，。。。，tMbe是我们有市场期权价格的不同到期时间（按递增顺序）的集合。通过校准确定的参数为∏=（ρ，a，b，b，α，γ，zt，…，ztM），其中ρ是杠杆参数，参数a和b是测量的参数ν，参数b和α是测量的参数π，γ是漂移参数。

参数zt，。。。，ztMare相似Zti=ZR-Z-∞A.eA（ti）-（s）-E-像∧（dA，ds），i=1，。。。，M.我们通过最小化BlackScholes隐含波动率与市场和模型价格之间的均方根误差进行校准，即12 Robert Stelzer和Jovana ZaviˇsinRMSE=VuTM∑i=1NM∑j=1ωi jblsimpvCMi j-blsimpv（Ci j）,其中M是到期的不同时间数，Nm是每次到期的期权数，nCMi是市场价格和价格的集合Ci j是一组模型价格，i=1，。。。，纳米，j=1。。。，M.当然，最小化Black-Scholes隐含波动率之间的差异只是目标函数的一个可能选择。我们注意到，这个数据示例只是一个概念的说明性证明，使用其他目标函数，尤其包括不同选项的权重，应该可以改善结果。我们使用2013年8月19日200 DAX期权的收盘价。当天的税收水平为8366.29。数据来源为彭博财经有限责任公司，所有期权均在欧洲期货交易所上市。对于瞬时无风险利率，我们使用了3个月的伦敦银行同业拆借利率，即0.15173%。期权的到期日分别为31、59、87、122、213、304486和668天。校准程序在MATLAB中执行。表1给出了校准程序的隐含参数。结果很好：RMSE为0.0046。我们根据图1中的Black-Scholes隐含波动率模型绘制了市场。

尽管RMSE非常低，并且在与固定模型价格（此处未显示）的市场对比图中，人们基本上看不到差异，但图1显示，我们的模型非常好地拟合了中长期期限的隐含波动率，但较短期限的期限的质量较低。参数{zti}i=1，…，的向量，。。。，Mis确实随着成熟度的增加而增加（参见引理4.3），尽管我们实际上没有将这种限制纳入优化问题中。Γ-supOU模型的自相关函数表现出对α的长记忆∈ （1,2）（参见[23，第2.2节]）。由于校准返回α=4.3632，我们的市场数据不支持存在长内存。然而，α=4.3632意味着市场数据符合自相关函数的一个相当缓慢的多项式衰减，这与OU类型SV模型中自相关函数的指数衰减形成对比。杠杆参数ρ为负，这意味着波动率的跳跃与收益之间存在负相关。因此，存在典型的杠杆效应。据估计，潜在L’evy基γ的漂移参数为实际值。因此，我们的校准表明，无漂移纯跳跃L’evy基可能相当于使用。如果我们将supOU随机波动率模型与OU型随机波动率模型（参见[16]或[17]）进行比较，我们可以得出结论，这两种模型都不能很好地捕捉隐含波动率的短期偏差。U型随机波动率模型再现了许多程式化的事实，如波动率的跳跃、收益率的半重尾分布、收益率的相关性，但它们无法表现出长记忆（在四次收益率中）。

另一方面，supOU随机波动率模型在某些条件下能够产生额外的长记忆，但supOU SV模型13中具有衍生定价的价格表1校准了2013年8月19日DAX数据的参数ρa bαγ-10.8797 0.2225 29.4025-0.0004 4.3632 0.0000ZT0。0012 0.0026 0.0038 0.0054 0.0093 0.0136 0.0225 0.0328需要支付的费用是，优化问题的维数（参数的数量）随着所考虑的到期日数量的增加而增加。5.3如何为一般到期的期权定价？在校准模型以观察流动性市场价格之后，人们通常想用它来为其他（奇异的）衍生品定价。研究一个欧洲导数，对于某些可测函数f，其收益为f（ST），到期日T>0，我们很快就会意识到，只有当T∈ {t，t，…，tM}（换句话说，我们只能对到期日为流动市场期权价格的衍生品进行定价），因为只有那时我们才知道zT，因此特征函数ΦXT |和因此时间t的价格过程分布取决于我们当前的信息G。当然，这是不可取的，问题是我们假设我们知道金氏理论，但在实践中，我们只有有限的市场价格信息，我们只能使用这些信息来获取G中的部分信息∈ R+one需要真正了解∧的整个过程，即时间0之前的所有跳跃，以及相关的时间和衰减率。这显然是不可行的。对zton t依赖性的详细分析超出了本文的范围。但我们想简单地评论一下基于{zti}i=1，。。。，M.第一种方法是插值或拟合参数曲线t 7→ zto“观测到的”{zti}i=1，。。。，M

如果在这个过程中也能保证tin的递减性，就应该得到一个相当好的近似值，尤其是当{ti}i=1，。。。，错误定义，且考虑[t，tM]中的到期日。从概率的观点来看，我们想要计算t6的E（zt |{zti}i=1，…，M）∈ {t，t，…，tM}。是否以及如何计算这种条件预期，再次成为未来研究的问题。但是，如果给定{zti}i=1，…，我们能计算出的是最好的（在Lsense中）线性预测值，。。。，M.一个简单的人需要直接适应标准的时间序列技术（如创新算法或线性滤波，参见例[6]），注意一个hascov（zt，zu）=ZR-锆-E-2AsA（吃-1） （水）-1） dsπ（dA）ZR+xν（dx）t、 u∈R+.14罗伯特·斯泰尔泽和乔瓦娜·扎维·辛0。9 0.95 1 1.050.10.150.20.25货币性K/S0意味着31天内的波动性。9 0.95 1 1.050.10.150.20.25货币性K/S0意味着59天内的波动性。9 0.95 1 1.050.10.150.20.25货币性K/S0意味着87天内的波动性。9 0.95 1 1.050.10.150.20.25货币性K/S0暗示122天内的波动性。9 0.95 1 1.050.160.180.20.22货币性K/S0意味着213天的波动性。9 0.95 1 1.050.160.180.20.22货币性K/S0意味着304天的波动性。8 0.9 1 1.1 1.20.160.180.20.220.24货币性K/S0指486天内的波动性。8 0.9 1 1.1 1.20.150.20.25货币性K/S0意味着668天的波动性。1.将supOU模型校准为DAX上的看涨期权：Black-Scholes隐含效用。市场价格的隐含波动率用点表示，模型价格的隐含波动率用实线表示。参考文献[1]K.F.班纳和M.舍勒。一个双边跳跃的BNS型随机波动率模型及其在外汇期权定价中的应用。威尔莫特，2013:58–692013。[2] O.巴恩多夫·尼尔森。

Ornstein-Uhlenbeck型过程的叠加。Probab理论。应用程序。，45:175–194, 2001.supOU SV模型15[3]中的衍生产品定价O.Barndorff Nielsen和N.Shephard。基于非高斯Ornstein-Uhlenbeck模型及其在金融经济学中的一些应用（附讨论）。J.R.统计Soc。B统计学家。Methodol。，63:167–241, 2001.[4] O.巴恩多夫·尼尔森和R.斯特尔泽。多元素福过程。安。阿普尔。Probab。，21(1):140–182, 2011.[5] O.巴恩多夫·尼尔森和R.斯特尔泽。多元supOU随机波动率模型。数学《金融》，23:275–2962013。[6] P·J·布罗克韦尔和R·A·戴维斯。时间序列：理论与方法。斯普林格，纽约，第二届，1991年。[7] P·卡尔和D·B·马丹。使用快速傅立叶变换进行期权估值。J.计算机。《金融》，2:61-731999。[8] R.Cont.资产回报的经验性质：程式化事实和统计问题。定量。《金融》，2001年1:223-236。[9] R.康特和P.坦科夫。具有跳跃过程的金融建模。华润金融数学系列。查普曼与霍尔，伦敦，2004年。[10] E.埃伯林、K.格劳和A.帕帕潘托里昂。傅立叶变换估值公式及应用分析。阿普尔。数学鳍(17):211–240, 2010.[11] V.法森和C.克洛佩尔伯格。supOU过程的极端。在F.E.Benth，G.Di Nunno，T.Lindstrom，B.Oksendal和T.Zhang中，《随机分析与应用：2005年阿贝尔研讨会》，阿贝尔研讨会第二卷，第340-359页，柏林，2007年。斯普林格。[12] D.M.纪尧姆、M.M.达科罗尼亚、R.D.达维、U.A.穆勒、R.B.奥尔森和O.V.皮克特。从鸟眼到显微镜：对每日外汇市场新的程式化事实的调查。金融斯托赫。，1:95–129, 1997.[13] K·K¨奥尼斯伯格。分析2。斯普林格，海德堡，2004年。[14] L.马特纳。积分下的复微分。Nieuw Archief voor Wiskunde，5/2（2）：32-352001。[15] M。

莫斯和R·斯特尔泽。多元L′evy驱动的混合移动平均过程和相关随机波动模型的尾部行为。Adv.应用。问题。，43:1109–1135, 2011.[16] J.穆勒·卡尔贝、O.普法费尔和R.斯特尔泽。OU型多元随机波动模型中的期权定价。暹罗J.金融数学。，3:66–94, 2011.[17] 尼科拉托和维纳多斯。OrnsteinUhlenbeck型随机波动率模型中的期权定价。数学《金融》，13:445–4662003。[18] C.Pigorsch和R.Stelzer。多元Ornstein-Uhlenbeck型随机波动模型。2009年[19]P.普罗特。随机积分和微分方程，随机建模和应用概率第21卷。斯普林格·维拉格，纽约，第二版，2004年。[20] 雷布尔。金融学中的勒维过程：理论、数字和经验事实。弗赖堡国际学院阿尔伯特路德维希大学数学博士论文。，德国弗莱堡，2000年。[21]佐藤。《列维过程和完全可分分布》，剑桥高等数学研究第68卷。剑桥大学出版社，剑桥，1999年。[22]W.肖滕斯。金融中的列维过程——金融衍生品定价。威利，奇切斯特，2003年。[23]R.Stelzer、T.Tosstorff和M.Wittlinger。基于矩的超过程估计和相关的随机波动率模型。提交出版；http://arxiv.org/abs/1305.1470v1, 2013.