基于长记忆可能性的衍生产品定价

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英文标题：
《Derivative pricing under the possibility of long memory in the supOU
  stochastic volatility model》
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作者：
Robert Stelzer and Jovana Zavi\\v{s}in
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We consider the supOU stochastic volatility model which is able to exhibit long-range dependence. For this model we give conditions for the discounted stock price to be a martingale, calculate the characteristic function, give a strip where it is analytic and discuss the use of Fourier pricing techniques.   Finally, we present a concrete specification with polynomially decaying autocorrelations and calibrate it to observed market prices of plain vanilla options.
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中文摘要：
我们考虑了具有长期相关性的supOU随机波动率模型。对于这个模型，我们给出了折扣股票价格为鞅的条件，计算了特征函数，给出了一个解析条，并讨论了傅里叶定价技术的使用。最后，我们提出了一个具有多项式衰减自相关的具体规范，并将其校准为普通香草选项的观察市场价格。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Derivative_pricing_under_the_possibility_of_long_memory_in_the_supOU_stochastic_.pdf (159.99 KB)

2022-5-6 14:55:39 上传

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关键词：衍生产品 长记忆 生产品 可能性 Differential

在supOU随机波动率模型中，我们考虑了能够显示长期依赖性的supOU随机波动率模型。对于这个模型，我们给出了折扣股票价格为鞅的条件，计算了特征函数，给出了一个分析条，并讨论了傅里叶定价技术的使用。最后，我们提出了一个具有多项式衰减自相关的具体规范，并将其校准为纯香草选项的观察市场价格。AMS主题分类2010:Primary:91G20，60G51 Secondary:91B25Key words:校准，傅立叶定价，列维基，长记忆，Ornstein-Uhlenbeck型过程的叠加，随机波动性1简介[3]中介绍的Ornstein-Uhlenbeck（OU）型随机波动性（SV）模型是最流行的随机波动性模型之一，适用于由L’evy过程驱动的金融资产价格（参见[9,22]）。它涵盖了财务数据中常见的许多风格化行为（参见[8,12]）。多年来，已经引入了许多变体，例如[1]中的双侧跳跃变体或[18]中的多变量扩展变体。在本文中，我们考虑了模型的一个变体，它还可以掩盖长期依赖的程式化事实（或低于指数衰减的罗伯特·斯特尔泽，乌尔姆大学，赫尔姆霍尔茨街18号，德国乌尔姆D-89081，电子邮件：robert）。stelzer@uni-乌尔姆。deJovana Zaviˇsine mail:jovana。zavisin@gmail.com2罗伯特·斯特尔泽（Robert Stelzer）和乔瓦纳·扎维（Jovana Zaviˇsinautocorrelations），苏普随机波动率模型。在该模型中，我们将波动率指定为[2]中介绍的Ornstein-Uhlenbeck（因此为“supOU”）过程的叠加。

[4,5,15,23]中考虑了该波动率模型（在多维环境下）的各种特征。本文的重点是单变量supOU SV模型中的衍生品定价和校准，类似于（多变量）OUtype SV模型中的文献[16,17]。为此，我们首先简要回顾了第2节中的模型。在第3节中，我们给出了参数条件，使得贴现股价过程是鞅，这意味着在这些条件下，模型可以用来描述金融资产的风险中性动态。此后，我们从第4节开始回顾傅立叶定价。然后，我们给出了supOU SV模型中logasset价格的特征函数，并给出了矩生成函数具有充分正则性的条件，从而使Fourier定价适用。最后，我们在第5节中介绍了一个具体的规范，Γ-supOU SV模型，并讨论了它对市场数据的校准，我们使用DAX上的选项用一个小例子说明了这一点。最后，我们讨论了一个微妙的问题，即如何使用校准模型来计算具有一般到期日的欧式期权的价格。2 supOU随机波动率模型综述我们简要回顾了[5]中介绍的Supoustocstic波动率模型的定义和最重要的已知事实。[2,4,11,23]中可以找到有关supOU流程的更多背景信息。在下面的R-表示负实数和Bb（R）的集合-×R）表示R的有界Borel集-×R.定义2.1。

A族∧={∧（B）：B∈ Bb（R）-实值随机变量的×（R）}被称为R上的实值L′evy基（完全可除的独立散乱随机测度）-×R如果：o所有B的∧（B）分布都是可整除的∈ Bb（R）-对于任何n∈ N和成对不相交集B，。。。，Bn∈ Bb（R）-随机变量∧（B），。。。，λ（Bn）是独立的，o对于任何成对不相交集Bn序列∈Bb（R）-带n的×R）∈N令人满意∪N∈NBn∈ Bb（R）-×R）系列∑∞n=1∧（Bn）收敛于a.s.∧(∪N∈NBn）=∑∞n=1∧（Bn）。我们只考虑所有u的特征函数形式为（exp（iu∧（B））=exp（ν（u）π（B））的L′evy基∈R和B∈ Bb（R）-其中∏=π×λ是R上概率测度π的乘积-以及supOU SV模型中R和衍生产品定价的勒贝格测度λ3~n（u）=iuγ+ZR+埃克斯-1.ν（dx）是R+上不可整除分布的累积量变换，具有L’evyKhintchine三重态（γ，0，ν），这也是下面的L’evy过程Lt=∧（R）的特征三重态-×（0，t]）和L-t=∧（R）-×(-t、 0）代表t∈ R+（关于不完全可分分布和L’evy过程的相关背景，请参见例[21]）。我们把三重态（γ，ν，π）称为生成三重态。注意，这意味着γ≥ 0，ν（R\\R+）=0和R | x|≤1|x|ν（dx）<∞.如果L是带三重态（0,0，ν）和跳跃测度N（ds，dx）的纯跳跃L′evy过程，则将R×R+\\{0}中跳跃的泊松点过程转化为R×R+\\{0}×R中的泊松点过程-通过用根据π分布的独立标记标记所有跳跃，产生了具有三重态（γ，ν，π）的L′evy基的跳跃测度。在现在定义的supOU过程中，这可以理解为用单个指数衰减率标记L’evy过程的每个跳跃。我们将注意力限制在积极的supOU过程上，因为当使用它们来模拟随时间变化的变化时，这是很自然的。定理2.2。设∧是R上的R+值L′evy基-生成三重态（γ，ν，π）的×R。

假设x>1ln（|x|）ν（dx）<∞, 和-锆-Aπ（dA）<∞.然后过程∑=（t）t∈Rgiven by∑t=ZR-Zt-∞eA（t）-s） λ（dA，ds）被定义为所有t的勒贝格积分∈ 它是静止的。此外，∑t≥ 0代表所有t∈ R和∑tis在特征函数为E的可整除函数中的分布eiu∑t= eiuγ∑，0+RR+（eiux-1） 对于所有的u∑（dx）∈R其中γ∑，0=RR-R∞eAsγdsπ（dA），ν∑（B）=RR-R∞RR+BeAsx所有B的ν（dx）dsπ（dA）∈ B（R）。如[4，Th.3.12]所示，supOU过程适用于∧生成的过滤，并具有局部有界路径。如果π有一个确定的第一时刻，我们可以通过一个supOU过程来获得c`adl`ag路径。定义2.3。设W为标准布朗运动，a=（at）t∈R+是一个可预测的实值过程，∧基于R的R+值L′evy-x R独立于W，生成三重态（γ，ν，π），设L为其潜在的L′evy过程。设∑为负c`adl`ag-supOU过程，ρ∈ R.假设X=（Xt）t∈R+是给定的nbyxt=X+Ztasds+Zt∑sdWs+ρ（Lt-γt），4 Robert Stelzer和Jovana Zaviˇsinxis独立于∧。然后我们说X遵循一个单变量超随机波动模型，并用SV-supOU（a，ρ，γ，ν，π）表示。当我们谈论与上述或以下过滤相关的属性时，我们指的是由W和∧生成的过滤。X以上是一些金融资产的对数价格，ρ是波动率跳跃和对数资产价格之间典型的负相关，模拟杠杆效应。为了确保绝对连续漂移完全由At给出，我们从L’evy过程中减去漂移γ，注意这可以在不损失一般性的情况下完成。在[5]中，已经证明该模型能够在平方对数回报中表现出长期依赖性。

导致平方收益的自协方差函数多项式衰减和参数的某些选择的长期依赖性的典型例子是，将π作为原点处的伽马分布镜像。[11,23]一般讨论π的哪些性质导致长程依赖。3鞅条件我们假设给定一个价格过程为r的具有确定性数值（或债券）的市场≥0和价格过程为St的风险资产。我们希望在风险中性动力学下，用一个supOU随机波动率模型对市场进行建模。因此，我们需要了解^St=e的时间-rtext是过滤G=（Gt）t的鞅∈由维纳过程和L’evy基产生的R+，即Gt=σ（{∧（A），Ws:s）∈[0，t]和A∈ Bb（R）-×(-∞,t] ）对于t∈ R+。隐含地说，我们理解过滤是经过修改的，以满足通常的假设（参见[19]）。定理3.1（鞅条件）。考虑一个如上所述的市场。假设zx>1（eρx-1） ν（dx）<∞. （1） 如果进程a=（at）t∈R+satis fiesat=R-∑t-ZR+（eρx）-1） ν（dx），（2）那么折扣价格过程^S是一个鞅。证据这些论点是对[16，2.10号提案]或[17，第3节]中论点的直接改编。supOU SV模型中的衍生品定价54 supOU随机波动率模型中的傅立叶定价我们现在的目标是使用supOU随机波动率模型中的傅立叶定价方法来计算欧洲衍生品的价格。4.1傅里叶定价综述我们首先简要回顾了[7,20]中介绍的著名傅里叶定价技术。将金融资产的价格过程建模为指数半鞅S=（St）0≤T≤Ti。e、 St=SeXt，0≤ T≤ T其中X=（Xt）0≤T≤这是一个半鞅。设r为无风险利率，假设我们在等价鞅测度下直接工作，即。

折扣价格过程^S=（^St）0≤T≤t由^St=SeXt驱动-这是一个鞅。我们把进程X称为底层进程，在不丧失一般性的情况下，我们可以假设X=0。我们用s减去s初始值的对数表示，即s=-日志。设^f表示函数f的傅里叶变换，即^f（u）=RReiuxf（x）dx。现在让我们来看f:R+→ R是一个可测量的函数，我们称之为支付函数。然后，得到了该衍生工具的无套利价格，其收益为f（XT）-s） 时间零点的到期日T是在柯森等价鞅测度下的条件预期贴现收益，即Vf（XT；s）=e-rTE（f（XT）-s） | G）。下面的定理给出了导数f（XT）的估值公式-s） 在时间T。定理4.1。[10，Th.2.2，Rem.2.3]让f:R+→ R是一个支付函数，设gR（x）=e-Rxf（x）对于某些R∈ R表示衰减的支付函数。定义ΦXT | G（u）：=EeuXT | G, U∈ C.如果（i）gR∈L（R）∩L∞（R） ，（ii）ΦXT|G（R）<∞, （三）ΦXT | G（R+i·）∈L（R），然后Vf（XT；s）=e-rT-RsπRRe-iusΦXT | G（R+iu）^f（iR）-u） 杜。众所周知，对于到期日为T且行使K>0的欧式看涨期权，条件（i）满足R>1，而对于支付函数f（x）=max（ex-K、 0）=：（例如-K） +傅里叶变换是^f（u）=K1+iu（1+iu）表示u∈ C与Im（u）∈(1,∞).在下文中，我们计算了supOU SV模型的特征/矩母函数，并展示了上述傅里叶定价技术适用的条件。6罗伯特·斯特尔泽和乔瓦娜·扎维辛4。2特征函数考虑漂移形式为at=u+γ+β∑t的一般supOU SV模型。注意，贴现股价是鞅当且仅当β=-1/2和u+γ=r-RR+（eρx-1） ν（dx）。[16，Th.2.5]或[17]中的标准计算给出了以下结果，这是[4，Sec.5.2]中报告的公式的单变量特例。定理4.2。

让X∈R并让原木价格过程X遵循上述形式的supOU SV模型。然后，对于每一个t∈ R+和所有u∈R由ΦXt | G（iu）=E给出的Xt的特征函数eiuXt | G= （3） =exp（iu（X+ut）+uβ+iu锆-Z-∞A.eA（t）-（s）-E-像∧（dA，ds）+锆-Zt~neA（t-s） Auβ+iu-A.uβ+iu-ρu!dsπ（dA））。注意，与OU型随机波动率模型（X，∑）是强马尔可夫过程的情况相反，在supOU型随机波动率模型中，∑不是马尔可夫过程。因此，对X和∑的条件作用并不等同于对uponG的条件作用。因此ΦXt | G（iu）不仅仅是X∑的函数。相反，整个L’evy基通过G-measuredZt:=ZR进入-Z-∞A.eA（t）-（s）-E-像∧（dA，ds），其作用与OU型随机波动模型中的初始波动率∑相似。与OU型模型中的∑一样，ZT可以被视为一个附加参数，在根据市场期权价格校准模型时需要确定。我们可以立即看到，因此，随着每一个额外的成熟度，需要估计的参数数量会增加。如下文所述，以下观察非常重要。引理4.3。zt≤ zt，尽管如此∈ R+使t≤t、 证据。对于t∈ R+和s≤ 我们不是有一个eA（t）-（s）-E-像=E-阿萨吃-1.还有堡垒≤基调看吃-1.≤ 吃-1.≤ 0，因为A<0。这意味着≤T≤te-阿萨吃-1.≤E-阿萨吃-1.因此zt≤ zt。supOU SV模型中的导数定价74.3矩母函数的正则性为了应用傅里叶定价，我们现在展示矩母函数ΦXT |的解析式。设θL（u）=γu+RR+（eux-1） ν（dx）是L′evybasis（或者更确切地说是其基本从属项）的累积量变换。IfRx≥1erxν（dx）<∞ 无论如何∈对于某些ε>0，则函数θLis在开集l:={z中解析∈ C:Re（z）<ε}，例如从[16，引理2.7]证明开始处的参数可以看出。定理4.4。

让度量νsatisfyZx≥1erxν（dx）<∞ 无论如何∈ 对于某些ε>0，R<ε（4）。那么函数Θ（u）=RR-RtθL（u-fu（A，s））dsπ（dA）在开条上解析：={u∈ C、 | Re（u）|<δ}带δ：=-|β|-|ρ| t+√, （5） 在哪里:=|β|+|ρ| t+εt.证明的大致思路与[16，Th.2.8]相似，但我们现在对均值回归参数进行积分这一事实增加了显著的困难，因为现在需要获得依赖于均值回归参数的边界，并且必须使用非常普遍的积分全纯性结果。证据定义（A，s）=1[0，t]（s）eA（t）-s） Aβ+u-A.β+u-ρ!. （6） 我们首先确定δ>0，这样对于所有u∈R随|u |<δ它认为|u-fu（A，s）|<ε。我们有| u fu（A，s）|≤eA（t）-（s）-1A|β| | u |+u+ |ρ| | u |（7）通过三角形不等式。为了找到后一项的上限，我们首先注意到，初等分析显示eA（t）-（s）-1A≤t（8）对于所有A<0和s∈ [0，t]。因此，我们必须找到δ>0，以便| u fu（A，s）|≤T|β| | u |+u+ |ρ| | u |<ε，对于所有u∈ R与| u |<δ，即在二次方程tu+（t |β|+|ρ|）u中求8 Robert Stelzer和Jovana Zavi|的解|-ε= 0. （9） 因为对于u=0，（9）的符号是负数，即（9）等于-ε、 我们知道存在一个积极的和一个消极的解决方案。正数为δ，如（5）所示。现在让我们∈ S、 即u=v+iw，带v，w∈R、 |v |<δ。观察Re（u-fu（A，s））=v-fv（A，s）-WeA（t）-（s）-1A安第斯山脉（t）-（s）-1A≥ 0代表所有人∈ [0，t]和A<0。因此，Re（u-fu（A，s））≤v fv（A，s）。这意味着ZX≥1 re（u-fu（A，s））xν（dx）≤Zx≥1ev fv（A，s）xν（dx）<∞由于|v | fv（A，s）|<ε对于|v |<δ和条件（4）。因此对你来说∈ 函数θL（u-fu（A，S））=γu-fu（A，S）+RR+欧孚（A，s）x-1.ν（dx）定义明确。

u-fu（A，s）是u的多项式，因此它是C中所有s的解析函数∈ [0，t]和A<0。函数θLis在集SL={z上的解析性∈C:| Re（z）|<ε}。因此，函数θL（u-fu（A，s））在s中对所有s进行解析∈ [0，t]和A<0。通过参数相关积分的全纯性定理（见[13]），我们可以得出RtθL（u fu（A，s））ds在s中对所有A<0都是解析的。定义Θ（u，A）：=RtθL（u fu（A，s））ds我们现在应用[14]来证明Θ（u）=RR-RtθL（u-fu（A，s））dsπ（dA）=RR-ψ（u，A）π（dA）在S中是解析的。它的条件A和Aar显然是满足的。它仍然需要证明条件A，即thatRR-||（u，A）|π（dA）是局部有界的。首先观察|θL（u-fu（A，s））|≤ |γu-fu（A，s）|+Zx≤1.欧孚（A，s）x-1.ν（dx）+Zx>1欧孚（A，s）x-1.ν（dx）。（10） 使用（8），我们可以通过以下公式来约束（10）中的第一个和：|γu-fu（A，s）|≤ |γ|T|β| | u |+u|+ |ρ| | u|=: B（u）。对于第二个求和，使用泰勒定理，我们得到欧孚（A，s）x-1.≤|u-fu（A，s）|x |+O（|u-fu（A，s）|x |）。自从| u fu（A，s）|≤ T|β| | u |+u|+ |ρ| | u |，对于泰勒公式的余项，我们有（|u-fu（A，s）| | x |）≤ OT|β| | u |+u|+ |ρ| | u||x |！，其中后一项收敛为零，即x→ 0.如果我们在supOU SV模型9K（u）中定义衍生定价：=t|β| | u |+u|+ |ρ| | u |我们得到thatZx≤1.欧孚（A，s）x-1.ν（dx）≤ K（u）Zx≤1xν（dx）+Zx≤1OK（u）|x|ν（dx）=：B（u），这是由于度量的性质而确定的。设Sn:={C u=v+iw:|v |≤δ-1/n} 因为函数vfv（A，S）在紧集Vn={v上是连续的∈ R:|v |≤δ-1/n}，它在该集合上达到其最小值和最大值，即存在v*∈使v fv（A，s）≤ 五、*fv*（A，s）≤|五、*fv*（A，s）|=：所有v的Kn（u）∈越南。注意，v*∈vn意味着Kn（u）<ε。