养老金计划的随机模型

极限x（t）=limN的存在性→∞如果a（x，t）和b（x，t）是x中的一致Lipschitz连续函数，则xN（t）由以下定理1（Skorokhd[36]）保证∈ R、 t∈ [t，t]，那么极限x（t）Pr=limN→∞xN（t）（概率收敛）存在，是（32）的解。pdf的收敛性由定理2（[32]）保证，（33）的解xN（t，ω）的pdf pN（x，t | x）收敛于asN→ ∞ 关于FPE的解p（x，t | x）p（y，t | x，s）t=[b（y，t）p（y，t|x，s）]Y- [a（y，t）p（y，t|x，s）]在初始条件限制下↓ sp（y，t | x，s）=δ（y）- x） 。通过对Xn（t）的500条基本轨迹xi（t）进行平均，我们构造了10000条Xn（t）的轨迹≤ T≤ 600个月。轨迹xi（t）是用schemexi（t）=xi（t）构造的- 1） +φxi（t）- 1） ·N（0，1），代表1≤ T≤ 600，xi（0）=1。对数正态分布的质量如[1]所示。2.4工资的随机模型我们假设，成员i在时间t之前的工资增长si（t）由SDEdsi（t）=a（si，t）dt+b（si，t）dwi（t），si（t）=1，（34）控制，其中wi（t）是独立的MBM。2.4.1漂移和扩散系数的离散近似方案我们通过（34）的连续轨迹近似年度CPI调整工资向量的离散轨迹。我们用S（τ，x）表示在τ时间测量的所有个体相对于其初始值乘以x的集合。第j个人的薪酬增长轨迹用xj（t）表示。近似SDE（34）的系数由经验平均值（13）确定。工资模型的构建数据（13）取自收入动态数据库[37]的面板研究。PSID是自1968年以来对美国个人和家庭的代表性样本进行的纵向调查。

不断收集个人及其后代的信息，包括就业、收入、财富、支出、健康、婚姻、生育、儿童发展、慈善、教育和许多其他主题的数据。出于养老金目的，我们对个人的养老金计划缴款感兴趣。不幸的是，PSIDdatabase不提供完整的跨年度个人养老金缴款时间序列，因此我们使用从劳动中赚取的总工资，并假设缴款比率。此外，由于数据的不连续性和稀疏性，奖金、独立业务、二级专业实践、佣金、小费和其他来源的收入不包括在内。建造的轨迹跨越1970年至1992年。总共考虑了58807人，其中只有3669人在1970年开始工作。图5（第21页）给出了每年开始工作的人数。所有工资数据均根据生活成本进行调整，使用劳工统计局的历史CPI值。对于高噪声波动率估计，最大波动率值的3%被忽略为异常值，最高工资增长率的5%也被忽略（25000%的增长率等）。1965 1970 1975 1980 1985 1990 19950500100150020002500300040004500就业人数图5:PSID调查的每年就业人数。工资模型的漂移系数和差异系数的计算如第2节所示。2.2. 具体来说[1]，dsi（t）=ξsi（t）dt+ηsi（t）dwi（t），si（ti）=1，（35）和ξ（t）≡ -0.0328，η（t）≡r、 （36）2.5养老基金随机模型的构建在我们的养老计划模型中，养老基金的资产投资于股票市场指数，如标准普尔500指数。

该指数的价值是其组成部分股票价格的市场资本化加权平均值。我们使用以下定义：ovi（t）=到时间t时，基金应付给成员i的金额的增长。oTi={Ti<Ti<…<tin=t}=与第i个成员对养老基金的缴款相对应的间隔[Ti，t]的均分。oci（t）=∧si（t）=总供款（雇主和雇员）是工资∧的恒定比例（约10%）。oαi=会员的第一份工资（美元）。通过以下观察，我们将近似投资组合回报的模型Zn（t）与vi（t）方程的推导结合起来。每0≤ J≤ n、 tijis时的分摊美元金额由αici（tij）给出，其中该金额的升值由tij通过Tinj合成，由Zn（tin）/Zn（tij）给出。因此，可归属于第j次供款的养老金总金额部分由αici（tij）Zn（t）Zn（tij）（37）给出，可归属于第j次供款的养老金总增长部分由（37）除以αi得出。因此，从时间Ti0到时间t的养老金总增长由vi（t）=Xτ给出∈Tici（τ）Zn（t）Zn（τ）=Zn（t）Xτ∈Tici（τ）Zn（τ）。（38）vi（t）的连续模型通过将（38）表示为Riemann-sumvi（t）=Zn（t）得到tnXj=1ci（jt） 锌（j）（t）t（39）在哪里t=（tij）- 蒂吉-1） 是连续两次发薪之间经过的固定时间。基于PSID数据库，t=1年。我们把vi（t）写成积分形式vi（t）=Zn（t）tZtici（u）Zn（u）du, （40）以美元支付给成员i的绝对金额现在可以表示为vi（t）=αivi（t）。（41）我们通过微分（40）并应用链式规则dvi（t）=dZn（t）获得vi（t）的SDEtZtici（u）Zn（u）du+ 锌（t）ci（t）Zn（t）dt.