计算Léevy模型：傅里叶变换方法

利用富比尼定理，我们得到τCt（x）λ=λSt2πZiv+Re（iz+1）xeτψ(-z） iz（iz+1）dz=τSt2πZiv+Re（iz+1）xeτψ(-z） iz（iz+1）ZRE-伊兹- 1+iz（ey）- 1)ν（dy）dz=τSthZR埃克斯-y2πZiv+Reiz（x）-y） eτψ(-z） iz（1+iz）dz-ex2πZiv+Reizxeτψ(-z） iz（1+iz）dz+（ey- 1） ex2πZiv+Reizxeτψ(-z） 1+izdzν（dy）i=τhZReyCt（x）- y）- Ct（x）- 圣路易斯- 1） Q（Xτ>X）ν（dy）i.Fubini定理的使用由（7）和附加假设iv+R|eτψ证明(-z） |dz<∞.塔夫假设Riv+R | zeτψ(-z） |dz<∞, τ ∈ [T，T]和z∈ iv+R，leth（z，τ）=e（iz+1）xτeτψ(-z） ，g（z）=iz（1+iz）。然后，Riv+R|g（z）|dz<∞, 此外，从（6）和R | zeτψ(-z） |dz<∞h（z，τ）τ=e（iz+1）xτeτψ(-z）- r（1+iz）+ψ(-z）由引理2.1，ΘLt=τCt（xτ）τ=τSt2πZiv+Re（iz+1）xτeτψ(-z） iz（iz+1）dz=St2πZiv+Re（iz+1）xτeτψ(-z） iz（1+iz）Ψ(-z）- r（1+iz）dz。利用富比尼定理，我们得到了ΘLt=St2πZiv+Re（iz+1）xτeτψ(-z） iz（1+iz）Ψ(-z）- r（1+iz）adz=某物-r2πZiv+Re（iz+1）xτeτψ(-z） izdz+2πZiv+Re（iz+1）xτeτψ(-z） iz（iz+1）iz（1+iz）σ+ZRE-伊兹- 1+iz（ey）- 1)ν（dy）dzi=strexτQ（Xτ>Xτ）+σexτfτ（Xτ）+ZR埃克斯-y2πZiv+Reiz（x）-y） eτψ(-z） iz（1+iz）dz-ex2πZiv+Reizxeτψ(-z） iz（1+iz）dz+（ey- 1） ex2πZiv+Reizxeτψ(-z） 1+izdzν（dy）i=strexτQ（Xτ>Xτ）+σexτfτ（Xτ）i+ZReyCt（xτ）- y）- Ct（xτ）- 圣路易斯- 1） Q（Xτ>Xτ）ν（dy）。Fubini定理的使用由（7）和附加假设IV+R | zeτψ证明(-z） |dz<∞.3.3如果获得了调用选项Gammaδ的二阶希腊人，我们只需再次对St进行区分，即可获得Gamma。

我们假设Xτ有密度f和St∈ [A，B]，然后ΓLt=Ct（x（St））圣=Q（Xτ>X（St））St=St~f（x）=exStf（x）。VannaWe假设riv+R | zeτψ(-z） |dz<∞ 和0<∑≤ σ ≤ 那么∑Ct（x）σ圣=VLtSt=τσex（St）ft（x（St））- τσex（St）英尺（x（St））+ft（x（St））= - τσexfτ（x）。我们假设Riv+R | zeτψ(-z） |dz<∞ 和0<∑≤ σ ≤ ∑，让z∈ iv+Rand表示h（z，σ）=zeτiz（1+iz）σ，g（z）=eizx+τRR（eizy-1.-伊兹（ey）-1） 所以h（z，σ）σ有界且riv+R | g（z）| dz<∞, 因为| E（E）-izJτ）|≤E（evJτ）<∞, 其中Jτ是Xτ的跳跃部分。通过引理2.1，我们可以在积分符号下进行微分。Ct（x）σ=VLtσ=Stτexfτ（x）+Stτσex2πZiv+Reizxeτψ(-z） τσ（iz）- z） dz=Stτexfτ（x）+τσfτ（x）+fτ（x）.CharmWe假设riv+R | zeτψ(-z） |dz<∞, τ ∈ [T，T]和z∈ iv+R，leth（z，τ）=ze（iz+1）xτeτψ(-z） ，g（z）=z（1+iz）。然后，Riv+R|g（x）|dx<∞ 引理3.1h（z，τ）τ=ze（iz+1）xτeτψ(-z）- r（1+iz）+ψ(-z）是有界的。引理2.1，Ct（x）τ圣=Q（Xτ>Xτ）τ=τ-12πZiv+Re（iz+1）xτeτψ(-z） 1+izdz=2πZiv+Re（iz+1）xτeτψ(-z） 1+izr（1+iz）- Ψ(-z）dz。（13） 利用Fubini定理，我们得到Ct（x）τSt=2πZiv+Re（iz+1）xτeτψ(-z） 1+izr（1+iz）- Ψ(-z）dz=rexτfτ（xτ）-σexτfτ（xτ）-ZRheyexτ-y2πZiv+Reiz（xτ）-y） eτψ(-z） 1+izdz-exτ2πZiv+Reizxτeτψ(-z） 1+izdz+（ey- 1） nexτ2πZiv+Reizxτeτψ(-z） dz-exτ2πZiv+Reizxτeτψ(-z） 1+izdzoiν（dy）=- rexτfτ（xτ）+σexτfτ（xτ）+ZRh- eyQ（Xτ>Xτ）- y） +Q（Xτ>Xτ）+（ey）- 1)exfτ（x）+Q（xτ>xτ）iν（dy）=rexτfτ（xτ）-σexτfτ（xτ）-兹尔希Q（Xτ>Xτ）-Q（Xτ>Xτ）- y）+（哎- 1） exτfτ（xτ）iν（dy）。（14） Fubini定理的使用由（7）和附加假设IV+R | zeτψ证明(-z） |dz<∞.VetaWe假设Riv+R | zeτψ(-z） |dz<∞. 与Charmt类似，我们假设τ∈ [T，T]和z∈ iv+R，表示h（z，τ）=ze（iz+1）xτeτψ(-z） ，g（z）=z。然后，Riv+R|g（z）|dz<∞ 引理3.1h（z，τ）τ=ze（iz+1）xτeτψ(-z）- r（1+iz）+ψ(-z）是有界的。

通过引理2.1，我们可以在积分符号下微分，Ct（xr）στ=VLtτ=Stτσexτfτ（xτ）τ=Stσhexτfτ（xτ）- rτexτfτ（xτ）+τexτ2πZiv+rτeizxτeτψ(-z） dzi=Stσhexτfτ（xτ）- rτexτfτ（xτ）+τexτ2πZiv+Reizxτeτψ(-z）Ψ(-z）- 里兹天子。（15） 利用Fubini定理，我们得到Ct（xr）στ=Stσhexτfτ（xτ）- rτexτfτ（xτ）+τexτ2πZiv+Reizxτeτψ(-z）Ψ(-z）- 里兹dz=Stσexτhfτ（xτ）- rτfτ（xτ）+fτ（xτ）+τ2πZiv+Reizxτeτψ(-z）σ（iz）- z） +ZRE-伊兹- 1+iz（ey）- 1)ν（dy）dzi=Stσexτhfτ（xτ）- rτfτ（xτ）+fτ（xτ）+ τσfτ（xτ）+fτ（τ）+τZRfτ（xτ）- y）- fτ（xτ）+（ey- 1） fτ（xτ）ν（dy）i.（16）Fubini定理的使用由（7）和附加假设iv+R|zeτψ证明(-z） |dz<∞.假设riv+R | zeτψ(-z） |dz<∞, 和0<∑≤ σ ≤ Σ,Ct（xr）σr=VLtr=Stτσexr- τfτ（xr）- τfτ（xr）= - Stτσexrfτ（xr）+fτ（xr）.3.4三阶希腊呼叫选项颜色我们假设RIV+R | zeτψ(-z） |dz<∞, τ ∈ [T，T]。让z∈ iv+R和h（z，τ）=ze（iz+1）xτeτψ(-z） g（z）=z。然后，Riv+R | g（x）| dx<∞ 引理3.1h（z，τ）τ=ze（iz+1）xτeτψ(-z）- r（1+iz）+ψ(-z）是有界的。通过引理2.1，我们可以在积分符号下微分。因此Ct（x）圣τ=ΓLtτ=St2πZiv+Re（iz+1）xτeτψ(-z）- r（iz+1）+ψ(-z）dz。（17） 利用Fubini定理，我们得到Ct（x）圣τ=St2πZiv+Re（iz+1）xτeτψ(-z）- r（iz+1）+ψ(-z）dz=exSth- Rf（x）+f（x）+σf（x）+f（x）+2πZiv+Reizxeτψ(-z） ZRe-伊兹- 1+iz（ey）- 1） ν（dy）dzi=-exSthrfτ（x）+fτ（x）-σfτ（x）+fτ（x）+锆fτ（x）- fτ（x）- y）- （哎- 1） fτ（x）ν（dy）i.（18）Fubini由（7）和假设isriv+R|zeτψ调整(-z） |dz<∞.假设Riv+R | zeτψ(-z） |dz<∞,Ct（xr）圣=ΓLtSt=ex（St）-Stfτ（x（St））-Stfτ（x（St））圣- ex（St）fτ（x（St））St=-exSt2fτ（x）+fτ（x）.最后我们假设riv+R | zeτψ(-z） |dz<∞. 首先我们计算f（n）τ（x）n=0,1,2的σ。对于0<∑≤ σ ≤ ∑与z∈ iv+R，表示hn（z，σ）=（iz）n+2eτψ(-z） ，g（z）=-eizxz。因此，Riv+R|g（z）|dz<∞ 和hn（z，σ）σ在n=0,1,2时有界。

通过外稃2。1我们可以在积分符号下微分。然后nfτ（x）σ=σ2πZiv+R（iz）neizxeτψ(-z） dz=τσ2πZiv+R[（iz）n+1- （iz）n+2]eizxeτψ(-z） dz=τσf（n+1）τ（x）+f（n+2）τ（x）. （19） 现在，我们有了Ct（x）σ=Stτexfτ（x）+τσfτ（x）+fτ（x）σ=Stτσexfτ（x）+fτ（x）+ τσfτ（x）+2fτ（x）+f（iv）τ（x）.我们假设riv+R | zeτψ(-z） |dz<∞ 和0<∑≤ σ ≤ Σ. 然后Ct（xr）圣σ=V安纳特圣=τσex（St）fτ（x（St））St=-τσexStfτ（x）+fτ（x）.4例。1 Black-Scholes模型如果我们假设高斯分布和密度是在R软件中精确计算的，我们可以用单维表示比较Black-Scholes模型的希腊人。为了近似傅里叶变换，我们将积分-A/2和A/2，并取[-A/2，A/2]尺寸为N:ZReizxg（z）dz≈ZA/2-A/2eizxg（z）dz≈安-1Xk=0wkeizkxg（zk），其中zk=-A+kAN-1和wk是与积分数值规则相对应的权重。表1显示了`∞-通过刘易斯表示法和快速傅里叶变换得出的布莱克-斯科尔斯模型中的误差：St=1、r=0.05、T=1、σ=0.1、A=300和N=2。那个`∞-错误是`∞-错误（GL）=maxx∈[-0.7,0.7]|德国劳埃德船级社- G |，对于x=ln（K/St）- rτ。希腊语`∞-错误调用C=SE（eXτ- ex）+1.2e-07DeltaSC（x）2.4e-07RhorCt（x）1.9e-07VegaσC（x）9.5e-08θτC（x）1.2e-08GammaSSC（x）9.5e-07VannaσSC（x）6.3e-07VommaσσC（x）7.5e-07eSτC（x）6.8e-08VetaστC（x）8.9e-08VeraσrC（x）5.8e-07c颜色SSτC（x）5.6e-07速度SSSC（x）6.3e-06UltimaσσC（x）1.2e-05ZommaSSσC（x）9.5e-06表1：`∞-Black-Scholes模型中的误差，通过Lewis表示和快速傅里叶变换，使用：St=1、r=0.05、T=1、σ=0.1、A=300和N=2.4.2默顿模型在本节中，我们展示了默顿模型的一些结果。

默顿模型有四个参数（σ，uJ，σJ，λ），其中σ是扩散参数，λ是跳跃强度，uJandσJare是跳跃的平均值和标准偏差，呈高斯分布。默顿模型的特征函数是：E（eizXT）=exp伊兹σ- λeuJ+σJ- 1.i+zσ+λeizuJ-zσJ- 1..（20） 所有希腊人都对金钱感兴趣（K=Se）-rT）如第3节下表2所示。这里我们取了A=500，N=2和A=500，N=2`∞-x的错误∈ [-0.7，0.7]在所有希腊人中都低于10-5.在图1中，曲线以x=ln（K/S）表示- 与Black-Scholes模型相比，所有希腊人的rT波动率等于货币的隐含波动率。A=500，N=2A=500，N=2错误呼叫C 0.0547129 0.0547129 2.6e-08DeltaSC 0.5273560 0.5273562 2.5e-07RhorC 0.4726431 0.4726433 2.2e-07VegaσC 0.3077754 0.3077755 1.5e-07ThetaτC 0.0524286 0.0524286 2.5e-08GammaSSC 3.0777536 3.0777550 1.5e-06VannaσSC 0.1538877 0.1538878 7.3e-08VommaσσC 0.9091776 0.9091780 4.3e-076SτC 0.1682859 0.1682860 8.1e-08VetaστC 0.1222075 0.1222076 5.8e-08VeraσrC-0.1538877-0.1538878 7.3e-08ColorSSτC 1.8556786 1.8556795 8.8e-07速度SSSC-4.6166303-4.6166325 2.2e-06UltimaσσC-11.5390901-11.5390956 5.5e-06ZommaSSσC-21.6857596-21.6857699 1.0e-05表2：默顿模型中的希腊语：S=1，r=0.05，x=0，T=1，σ=0.1，uJ=-0.005，σJ=0.1，λ=1。这种情况下的特征函数是（20）。计算灵敏度esw。r、 t。

uJ，σJandλ我们只需要区分这些参数的特征指数：Ψ(-z）uj=λizheuj+σj/2- E-izuJ-zσJ/2i，-0.6-0.20.20.60.0 0.2 0.4呼叫-0.6-0.20.20.60.0 0.4 0.8增量-0.6-0.2 0.2 0.60.0 0.2 0.4 0.6Rho-0.6-0.20.20.60.0 0.1 0.2 0.3 0.4织女星-0.6-0.20.20.60.000 0.006 0.012dCdlambda-0.6-0.20.20.60.00 0.02 0.04θ-0.6-0.20.20.60.01.02.03.0伽马-0.6-0.2 0.2 0.6-1.5-0.50.51.5Vanna-0.6-0.20.20.60.0 0.51.01.52.0沃玛-0.6-0.2 0.2 0.6-0.05 0.05 0.15 0.25魅力-0.6-0.20.20.60.00 0.10 0.20 0.30维塔-0.6-0.2 0.2 0.6-1.5-0.5 0.5 1.5维拉-0.6-0.2 0.2 0.6-1.0.0 1.0 2.0颜色-0.6-0.2 0.2 0.6-15-5.0.5.10速度-0.6-0.2 0.2 0.6-20 0 10 20Ultima-0.6-0.2 0.2 0.6-20-10 0 5ZommaFigure 1：希腊语x=ln（K/S）- 默顿模型的rT，参数等于表2（连续线）。不连续线：波动率等于隐含波动率的BlackScholes模型，x=0（σimp（0）≈0.137).Ψ(-z）σj=λσjμj+σj/2- 泽-izuJ-zσJ/2i，Ψ(-z）λj=izheuj+σj/2- 1i+e-izuJ-zσJ/2- 对于θ=uJ，σJ，λ，Cθ（x）θ=τStex2πZiv+Reizxeτψθ(-z） iz（1+iz）Ψθ(-z）θdz。积分符号下的差异如上所述。使用表2中给出的相同参数，我们得到了表3中给出的ATM灵敏度。A=500，N=2A=1000，N=2误差uJ-灵敏度0.006703850 0.006703855 4.7e-09σJ-灵敏度0.239001059 0.239001231.7e-07λ-灵敏度0.013407701 0.013407711 9.6e-09表3:S=1，r=0.05，x=0，T=1，σ=0.1，uJ=-0.005，σJ=0.1，λ=1。在图2中，我们用x=ln（K/S）表示希腊人- rT。在（Kienitz（2008））中展示了梅顿模型中数字期权的一些结果，这些结果是通过对（Madan、Carr和Chang（1998））中的期权价格公式应用有限差分近似得到的。

现在我们将推导数字光学的δ、γ和织女星，从而比较结果。数字期权的支付公式为：{Sτ-K> 0}=1{Xτ-x> 0}。使用刘易斯表示法，数字选项的值为：D（x）=Q（xτ>x）=-2πZiv+Reizxeτψ(-z） izdz，（21），其中x=ln（K/St）- rτ。直接的差异会导致：-0.6-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6-0.04-0.02 0.00 0.02 0.04 0.06uJ- 森斯-0.6-0.2 0.0 0.2 0.4 0.60.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25σJ- 森斯-0.6-0.2 0.0 0.2 0.4 0.60.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010 0.012λ - 图2：x=ln（K/S）的灵敏度- 参数等于表3的默顿模型的rT。D（x）St=Sτfτ（x），（22）D（x）St=-Sτfτ（x）+fτ（x）, (23)D（x）σ= - τσfτ（x）+fτ（x）. （24）注意公式（21）-（24）通常适用于RIV+R | zeτψ的数字通话选项(-z） |dz<∞. 在（24）中，积分符号下的微分类似于（19）。然后，我们通过FFT得到的结果如表4所示。在（Kienitz（2008））中，该值是（根据具体差异）：D=0.531270，D-Delta=0.016610，DGamma=-2.800324 × 10-4，D-Vega=-0.560070. 要获得给定的删除定义δ=2πN-1NA。4.3方差伽马模型在本节中，我们将比较文献中的一些结果。例如，在（Glasserman and Liu（2007））中显示了D-δD-γD-素食者=20.531269863 0.016610445-0.000280032-0.560064360N=20.531270245 0.016610457-0.000280032-0.560064763误差3.8e-07 1.2e-08 2.0e-10 4.0e-07表4：默顿模型中的数字期权和希腊期权，δ=0.01，S=100，K=100，T=1，r=0.07，σ=0.05，σ=0.05，λ=0.05。具有参数（ρ，ν，θ）的方差伽马模型，其中特征函数为：E[eizXT]=expTνhiz ln1.- θν -ρν- 自然对数1.- izθν+zρν我.为了获得给定的打击，我们定义δ=2πN-1NA。因此，在表5中，我们给出了N=2和N=2的两个结果，δ=0.01。

误差表明了复积分的收敛性。在（Glasserman and Liu（2007））中，这些结果是通过对（Madan、Carr和Chang（1998））中的期权价格公式应用有限差分近似得出的：看涨=11.2669，Delta=0.7282，ρ-导数=23.0434，通常使用LRM方法，误差大于10-2.打电话给Delta Gamma呼叫ρN=2，δ=0.01 11.26689113 0.72818427 0.01427437 23.04334371N=2，δ=0.01 11.26689919 0.72818479 0.01427438 23.04336021err<8.1e-06 5.2e-07 1.0e-08 1.6e-05表5：希腊语和ρ-方差伽马模型的灵敏度：（ρ，ν，θ）=（0.2,1，-r=0.05，T=1，S=K=100（x=-结论在风险管理方面，股票评级是做市商的重要输入。很多选项依赖于路径，并且没有明确的公式。然而，对于指数L’evy模型中的欧式期权，我们有刘易斯公式，它允许我们获得希腊的封闭公式，其中许多是第一阶deltaCS（x）=Q（xτ>x）RhoCr（x）=τSexQ（xτ>x）织女星Cσ（x）=Sτσexfτ（x），如果ν=λ¨νCλ（x）=τhZReyC（x）- y）- C（x）-S（ey）- 1） Q（Xτ>X）ν（dy）iThetaCτ（x）=ShrexQ（xτ>x）+σexfτ（x）i+λτCλ（x）二阶伽马CSS（x）=S-1exfτ（x）VannaCσS（x）=-τσexfτ（x）VommaCσ（x）=Sτexfτ（x）+τσfτ（x）+fτ（x）魅力CSτ（x）=见（13）和（14）VetaCστ（x）=见（15）和（16）VeraCσr（x）=-Sτσexfτ（x）+fτ（x）三阶色CSSτ（x）=见（17）和（18）速度CSSS（x）=-s-2ex2fτ（x）+fτ（x）终极Cσ（x）=Sτσexfτ（x）+fτ（x）+τσfτ（x）+2fτ（x）+fivτ（x）佐玛CSSσ（x）=-τσS-1exfτ（x）+fτ（x）表6:x=ln（K/S）指数L’evy模型中的希腊人- rτ。只与密度有关；其他则需要整合。

一般来说，所有的格里克斯方程都可以用高精度近似，因为它们是一个简单的积分，类似于布莱克-斯科尔斯模型。大量论文致力于获得更复杂的支付函数。然而，为了估计方法的准确性，希腊人通过有限差分技术计算近似值。对于x走向K，我们考虑x=ln（K/St）- rτ，其中τ=T- τ成熟的时间。因此，买入期权的价格可以通过表6来计算。我们观察到，如果Xτ的密度已知，则可以精确地获得许多格林函数。其中的一些例子有：正态逆高斯、方差伽马、广义双曲、梅克斯纳等。参考Boyarchenko，M.和S.Levendorskii（2009）：“电动汽车驱动模型中障碍和首次触摸数字选项的价格和敏感性”，国际理论与应用金融杂志，12（08），1125–1170。Chen，N.和P.Glasserman（2007）：“没有Malliavin演算的Malliavin希腊人”，随机过程及其应用，117（11），1689–1723。Cont，R.和P.Tankov（2004）：带跳跃过程的金融建模。查普曼和霍尔/华润金融数学系列，edn。Eberlein，E.，K.Glau和A.Papapantoleon（2009）：“傅里叶变换估值公式和应用分析”，应用数学金融2010年，第17卷，第3期，211-240页。Folland，G.（1999）：真实分析：现代技术及其应用，纯数学和应用数学。威利。Glasserman，P.和Z.Liu（2007）：“特征函数的灵敏度估计”，发表于第39届冬季模拟会议论文集：40年！《最好的还在后头》，WSC\'07，第932-940页，美国新泽西州皮斯卡塔韦，IEEE出版社。（2008）：“估计希腊人在模拟电动汽车驱动模型方面的表现”。珍妮，M.和M。

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