计算Léevy模型：傅里叶变换方法

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英文标题：
《Computing Greeks for L\\\'evy Models: The Fourier Transform Approach》
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作者：
Federico De Olivera and Ernesto Mordecki
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  The computation of Greeks for exponential L\\\'evy models are usually approached by Malliavin Calculus and other methods, as the Likelihood Ratio and the finite difference method. In this paper we obtain exact formulas for Greeks of European options based on the Lewis formula for the option value. Therefore, it is possible to obtain accurate approximations using Fast Fourier Transform. We will present an exhaustive development of Greeks for Call options. The error is shown for all Greeks in the Black-Scholes model, where Greeks can be exactly computed. Other models used in the literature are compared, such as the Merton and Variance Gamma models. The presented formulas can reach desired accuracy because our approach generates error only by approximation of the integral.
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中文摘要：
指数Léevy模型的计算通常采用Malliavin演算和其他方法，如似然比法和有限差分法。本文基于期权价值的刘易斯公式，得到了欧式期权的精确公式。因此，可以使用快速傅里叶变换获得精确的近似值。我们将详细介绍希腊的看涨期权。布莱克-斯科尔斯模型显示了所有希腊人的错误，在该模型中，希腊人可以精确计算。比较了文献中使用的其他模型，如默顿模型和方差伽马模型。由于我们的方法仅通过近似积分产生误差，所以所给出的公式可以达到预期的精度。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Computing_Greeks_for_Lévy_Models:_The_Fourier_Transform_Approach.pdf (445.39 KB)

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关键词：傅里叶变换 傅里叶 Quantitative QUANTITATIV Computation

L’evy模型的计算方法：傅立叶变换法。费德里科·德·奥利维拉*Ernesto Mordecki+2014年7月8日Abstracts指数L’evy模型的希腊人计算通常采用Malliavin演算和其他方法，如似然比和有限差分法。本文基于期权价值的刘易斯公式，得到了欧式期权的精确公式。因此，可以使用快速傅里叶变换获得准确的近似值。我们将详细介绍希腊的看涨期权。布莱克-斯科尔斯模型显示了所有希腊人的错误，在该模型中，希腊人可以被精确计算。比较了文献中使用的其他模型，如默顿模型和方差伽马模型。由于我们的方法仅通过近似积分产生误差，所以所给出的公式可以达到预期的精度。关键词：希腊人；指数L’evy模型。*蒙得维的亚共和国大学科学院数学中心。乌拉圭。电子邮件：fededeo@gmail.com.+蒙得维的亚共和国大学科学院数学中心。乌拉圭。电子邮件：mordecki@cmat.edu.uy.1引言我们考虑一个L’evy过程X={Xt}t≥0定义在概率空间上(Ohm, F、 Q），一个具有两种资产的金融市场模型，一个确定性储蓄账户B={Bt}t≥0，给定byBt=Bert，带r≥ 0和B>0，a股票S={St}t≥0，由t=Sert+Xt（1）给定，其中S>0，其中X={Xt}t≥0是一个L’evy过程。当过程是连续路径时，我们得到了经典的Black-Scholes模型（Merton（1973））。关于这一主题的一般参考，我们参考了（Kyprianou（2006））或（Cont and Tankov（2004））。本文的目的是计算具有一般支付的欧式期权相对于任何利益参数的价格偏导数。

这些衍生工具通常被称为“希腊人”，因此我们使用“希腊人”一词来指期权的任何价格部分衍生工具（任何订单和任何参数）。我们的方法与Cont和Tankovsee（Cont和Tankov（2004））的微妙观察不同，第365页）：“与经典的Black-Scholes情形相反，在指数L’evy模型中，没有关于看涨期权价格的明确公式，因为L’evy过程的概率密度通常不以封闭形式已知。然而，对于文献中讨论的大多数L’evy过程，该密度的特征函数可以用元素初等函数表示s导致了基于傅立叶的指数L’evy模型期权定价方法的发展。在这些方法中，需要对一个傅里叶变换进行数值计算，但由于它们同时给出了一系列打击的期权价格，并且可以使用FFT算法有效地计算傅里叶变换，因此该算法的总体复杂度与评估布莱克-斯科尔斯公式的复杂度相当。”换句话说，在需要计算一系列期权价格时，从实用的角度来看，刘易斯公式是一个封闭公式，因为它可以用与布莱克-斯科尔斯公式大致相同的精度和时间来实现和计算。一些论文已经解决了这个问题。Eberlein、Glau和Papapantoleon（Eberlein、Glau和Papapantoleon（2009））获得了一个类似于Lewis公式的公式，并导出了delta() gamma（Γ）是一个欧式支付函数的一阶和二阶初值的价格偏导数。

这些假设与我们要求的假设相似。高桥和山崎骏（Takahashi和山崎骏（2008））也根据Carr和Madanapach方法，在认购期权的情况下获得了这些希腊人。刘易斯公式的优点是，它给出了一般欧洲支付的期权价格，而卡尔·玛德只为欧洲期权定价。其他工作涉及更一般的支付函数的计算问题，包括路径依赖选项，例如参见（Chen和Glasserman（2007）），（Glasserman和Liu（2007）），（Glassermand Liu（2008）），（Kienitz（2008）），（Boyarchenko和Levendorski'i（2009）），（Jeannin和Pistorius（2010））。这些工作基于不同的技术，例如模拟或引入方法误差的有限差异，必须对其进行分析，而我们的方法没有。在本文中，我们基于Lewis公式获得了希腊人的闭合公式，该公式可以高效且任意精度地计算（见（Cont and Tankov（2004））中所述）L’evy模型中任意参数和任意顺序的欧式期权的任意支付。作为一个例子，我们分析了看涨期权的情况。2.一般欧式期权的广义L’evy模型在本文中，我们不讨论定价测度确定的有趣问题，例如（Cont and Tankov（2004）），假设给定的测度Q是风险中性定价测度。换句话说，我们假设鞅条件在Q下是满足的，即（1）的视图中，表示条件eX=1。

（2） 此外，通过L′evy-Khinchine定理，我们得到eizXt=etψ（z），其中特征指数为ψ（z）=-iz（1）- iz）σ+ZR艾兹- 1.- 伊兹（ey）- 1)ν（dy），（3）带σ≥ 0是L′evy过程的高斯部分的标准偏差，以及它的跳跃度量。关于支付，以下（Lewis（2001））表示s=ln，考虑支付。例如，如果K是执行价，那么w（s）=（es- K） +（4）是看涨期权支付。然后，作为w（s）的傅里叶变换bw（z），欧式期权的刘易斯公式（刘易斯（2001））在时间T处取值，表示τ=T- t到期时间为：Vt=e-rτ2πZiv+Re-iz（ln（St）+rτ）eτψ(-z） bw（z）dz，（5）其中z∈ SV={u+iv:u∈ R} 必须根据支付函数选择v（Lewis（2001））。在这种情况下，很容易得到一些希腊人的通用公式。为了在积分符号下进行微分，我们给出以下基本结果。引理2.1。让我来 R为区间，I=iv+R。设h:I×Θ→ 坎德：我→ C使得oh（·，θ）g（·）对所有θ都是可积的∈ Θ和g是可积的h（z，·）在所有z中都是可区分的∈ 我和Hθ是有界的。那么，RIh（x，θ）g（x）dx是可微的，且θZIh（x，θ）g（x）dx=ZIh（x，θ）θg（x）dxθ ∈ Θ.证据我们观察到h（z，θ）g（z）θ≤ C | g（z）|代表所有z∈ 一、 θ∈ Θ.

由（Folland（1999））定理2.27得到的结果。因此，在下文中，我们将始终假设引理2.1中的条件对于被积函数的实部是满足的，因为虚部积分为零。2.1一阶格林函数我们引入辅助函数θ（z）=e-iz（ln（St）+rτ）eτψ(-z） bw（z）。偏离（5）和（3），通过积分符号下的微分得到t=及物动词St=-Ste-rτ2πZiv+Rizθ（z）dz，ρt=及物动词r=-τe-rτ2πZiv+r（1+iz）θ（z）dz，Vt=及物动词σ=τσe-rτ2πZiv+Riz（1+iz）θ（z）dz，Θt=及物动词τ=e-rτ2πZiv+rΨ(-z）- （1+iz）rθ（z）dz。通常，文献中使用的L’evy模型依赖于一组参数，这些参数指定了跳跃度量。因此我们表示ν（dy）=νθ（dy）和ψ（z）=ψθ（z），然后：及物动词θ=τe-rτ2πZiv+rΨθ(-z）θθ（z）dz。2.2二阶Greek同样，我们得到Γt=及物动词St=St-rτ2πZiv+Riz（1+iz）θ（z）dz，Vannat=及物动词σSt=τσSt-rτ2πZiv+Rz（1+iz）θ（z）dz，Vommat=及物动词σ=τe-rτ2πZiv+r1+τσiz（1+iz）iz（iz+1）θ（z）dz，Charmt=及物动词圣τ= -Ste-rτ2πZiv+RizΨ(-z）- （1+iz）rθ（z）dz，维塔特=及物动词στ=σe-rτ2πZiv+Riz（1+iz）τΨ(-z）- （iz+1）rτ+1θ（z）dz，维拉特=及物动词σr=-τσe-rτ2πZiv+Riz（iz+1）θ（z）dz。其他衍生物也可以类似地获得。在下一节中，我们将重点讨论看涨期权。这样可以获得更明确的公式。3.指数L’evymodel中的买入期权希腊人为了利用特定的支付函数，我们详尽地开发了买入期权希腊人。通过看跌期权平价，可以立即得到看跌期权对应的公式。对于其他的支付，获得希腊人的程序是类似的。当走向K固定时，x=ln（K/St）- rτ在St、r和τ方面是可变的。那么，我们在计算希腊人时必须考虑到这一点, Γ、ρ等。引理3.1。

设Xτ是一个L′evy过程，具有三重态（γ，σ，ν）和特征指数ψ（z），使得ψ(-i） =0 andR | y |>1evyν（dy）<∞ 和v≥ 0.那么，如果z∈ iv+R |ψJ(-z） |≤ （|z |+|z |）evZ | y|≤1yν（dy）+2Z | y |>1（evy+1）ν（dy）和|ψ(-z） |≤ （|z |+|z |）evZ|y|≤1yν（dy）+σ+ 2Z | y |>1（evy+1）ν（dy），（6）式中ψJ（z）=RR艾兹- 1.- 伊兹（ey）- 1)ν（dy）。证据让I（z）=RR艾兹- 1.- izy1{|y|≤1}ν（dy）。在点y=0处应用Lagrange误差形式的泰勒展开式，存在θy和|θy |≤ |真是太好了- 1.- izy1{|y|≤1} =izy1{| y |>1}- zyeizθy=- zyeizθy{124; y|≤1}+伊兹- zyeizθy{| y |>1}=- zyeizθy{124; y|≤1} +（艾兹）- 1） 1{y}>1}。然后|我(-z） |≤锆- 齐伊-izθy{124; y|≤1} +（e）-伊兹- 1） 1{y}>1}ν（dy）≤|z | z | y|≤1evθyyν（dy）+Z|y |>1（evy+1）ν（dy）≤|z | evZ | y|≤1yν（dy）+Z|y |>1（evy+1）ν（dy）。（7） 利用（7）我们得到了|ψJ(-z） |=|我(-z） +izI(-（一）|≤（|z |+|z |）evZ | y|≤1yν（dy）+2Z|y |>1（evy+1）ν（dy）。对于连续部分，设ψC(-z） =（iz）- z） σ，因此|ψ(-z） |≤|ψC(-z） |+|ψJ(-z）|≤（|z |+|z |）evZ|y|≤1yν（dy）+σ+ 2Z | y |>1（evy+1）ν（dy）。引理3.2。设{Xτ}τ≥0是一个具有三重态（γ，σ，ν）和特征指数ψ（z）的L′evy过程，使得ψ(-i） =0和E[evXτ]<∞ v>0.1。IfRiv+R | z|-1 | eτψ(-z） |dz<∞ 然后p（Xτ>X）=-2πZiv+Reizxizeτψ(-z） dz，（8）E（eXτ{Xτ>X}）=-2πZiv+Re（1+iz）x1+izeτψ(-z） dz。(9)2. IfRiv+R | z | n | eτψ(-z） |dz<∞ 对一些人来说∈ Z、 那么Xτ的密度为Cnandnf（x）xn=2πZiv+R（iz）neizxeτψ(-z） dz。（10） 证据。对于看涨期权，付息函数的傅里叶变换是bw（z）=eiz（ln（St）+rτ+x）iz（1+iz）。然后从选项值（5）我们得到，x=log（K/St）- rτ，Ct（x）=Stex2πZiv+Reizxeτψ(-z） iz（iz+1）dz。（11） 然后，成为x∈ [α，β]和C=最大α≤十、≤βe（1）-v） xe（1+iz）xeτψ(-z） [iz（iz+1）]-1.十、≤ C|z-1 | | eτψ(-z） |∈ L（iv+R），根据（Folland（1999））中的定理2.27，我们可以在积分符号下进行微分。

因此，当St=1P（Xτ>X）=- E-十、xZ∞x（es）- ex）F（ds）=- E-十、Ct（x）x=-2πZiv+Reizxizeτψ(-z） dz。另一方面，当St=1E（eXτ{Xτ>X}）=Z∞xesF（ds）=-前任xZ∞x（es）-十、- 1） F（ds）=- 前任E-xCt（x）x=Ct（x）-Ct（x）x=2πZiv+Re（1+iz）xiz（1+iz）eτψ(-z） dz-2πZiv+Re（1+iz）xizeτψ(-z） dz=-2πZiv+Re（1+iz）x1+izeτψ(-z） dz。对于第二部分，请注意（8）中的：∈ [α，β]和C=最大α≤十、≤βe-vxn+1eizxizeτψ(-z）xn+1≤ C | z | n | eτψ(-z） |∈ L（iv+R）。结果来自于（Folland（1999））.3.1 L’evy过程的广义Black-Scholes公式中的定理2.27。现在我们考虑X={Xt}t≥0in（1）是一个满足鞅条件（2）的任意随机过程，我们通过方程dQd Q=eXT引入测度Q。（12）这个新测度Q是参数θ=1的Q的埃舍尔变换，Shiryaev等人（Shiryaev，Kabanov，Kramkov和Melnikov（1994））将其作为对偶鞅测度。我们考虑一个带payoff（4）的看涨期权，并用x=ln（K/S）表示log forwardmoneyness- rτ。在我们考虑的模型中，它的价格可以被转换为asCt（x）=e-rτE（Sterτ+Xτ）- stex+τ- ex）+=StE（exτ）- ex）1{Xτ>X}=StE eXτ{Xτ>X}- exE 1{Xτ>X}= 圣Q（Xτ>X）- exQ（Xτ>X）.然后，我们得到了一个关于概率Q和Q的闭合公式。该公式在（Tankov（2010），第68页）中获得，是标的资产X为正态随机变量时Black-Scholes公式的推广。

此外，我们观察到，要计算的第一项eXτ{Xτ>X}=~Q（Xτ>X）是资产或无期权的价格，而第二项e 1{Xτ>X}=Q（Xτ>X）是数字期权的价格。如果X={Xt}t≥0是Q下的一个L′evy过程，我们通过公式∧σ=σ，δ（dx）=exν（dx），δγ=σ+ZR（e）得到了∧Q下的特征三重态（∧σ，δ，γ）-Y- 1+h（y））～ν（dy）。这似乎是标准定义，尽管在（Cont and Tankov（2004））中定义为相反的数量。此外，如果x的密度为ft（x），乘以（12），我们就得到了密度ft（s）=esft（s）。为了获得风险中性度量的希腊人，我们在（8）中用Q替换P，因此（9）、（10）和（11）与概率度量Q.3.2认购期权的一阶希腊人在本节中，我们不假设一般要求。我们详细说明了每种情况下的要求。Delta假设Riv+R | z|-1 | eτψ(-z） |dz<∞ 圣∈ [A，B]。从（11）我们得到中尉=Ct（x（St））圣=StSt2πZiv+Re（1+iz）x（St）iz（1+iz）eτψ(-z） dz=2πZiv+Re（1+iz）xiz（1+iz）eτψ(-z） dz-2πZiv+Re（1+iz）xizeτψ(-z） dz=-2πZiv+Re（1+iz）x1+izeτψ(-z） dz=~Q（Xτ>X）。现在x=ln（K/St）- rτ，这取决于利率r。假设riv+r | z|-1 | eτψ(-z） |dz<∞ 和r∈ [R，R]。那么ρLt=Ct（x（r））r=St2πZiv+r-τe（1+iz）xizeτψ(-z） dz=τStexQ（Xτ>X）。织女星布莱克-斯科尔斯，织女星显示原木价格的变化。在EXPLEVY模型中，Ct（x）w.r.t.σ的导数不能给出完全相同的信息。我们假设Xτ有密度f，σ∈ [∑，∑]带∑>0和z∈ iv+R.Leth（z，σ）=eτiz（1+iz）σ，g（z）=eizx+τRR（eizy-1.-伊兹（ey）-1） v（dy）iz（1+iz）。因此h（z，σ）σ是有界的。另一方面，riv+R|g（z）|dz<∞ 因为| E（E）-i（iv+s）Jτ）|≤ E（evJτ）<∞, 其中Jτ是Xτ的跳跃部分。

通过外稃2。1我们可以在积分符号下微分。那么，VLt=Ct（x）σ=Stex2πZiv+Reizxeτψσ(-z） iz（iz+1）τσiz（1+iz）dz=Stτσexfτ（x）。为了完成织女星提供的信息，我们可以计算跳跃强度的导数。我们假设riv+R | eτψ(-z） |dz<∞. 设ν（dy）=λ′ν（dy）与λ∈[λ，λ]，然后leth（z，λ）=eτλRRE-伊兹-1+iz（ey）-1)ν（dy）τRRE-伊兹- 1+iz（ey）- 1)ν（dy），g（z）=e（iz+1）xeτiz（1+iz）σiz（iz+1）τZRE-伊兹- 1+iz（ey）- 1)ν（dy），在哪里h（z，λ）λ是有界的，由引理3.1Riv+R|g（z）|dz<∞, 然后是Emma 2.1τCt（x）λ=λSt2πZiv+Re（iz+1）xeτψ(-z） iz（iz+1）dz=τSt2πZiv+Re（iz+1）xeτψ(-z） iz（iz+1）ψJ(-z） dz，带ψJ(-z） =RRE-伊兹- 1+iz（ey）- 1)ν（dy）。