远期利率曲线的噪声主成分分析

正如L ord和Pelsser（2007）指出的，基于样条曲线和自举技术的非参数过程可能会在正向曲线上引入不可忽略的噪声。命题2.1表明，远期曲线和收益率曲线之间主成分数量的显著差异是数据中存在未观察到噪声的有力证据。如果是这种情况，那么未观察到的错误可能会在远期利率曲线的统计分析中导致不寻常的偏差。这句话将是我们在本文后面分析的起点。3.基于LRCM和噪声数据的主成分分析在主成分分析方法中，克服观测误差的一种方法是所谓的长期协方差矩阵（LRCM）。我们记得，基于通常静态样本协方差矩阵的PCA方法仅对独立和弱平稳过程有效。在存在由序列相关或污染过程引起的某种时间依赖性的情况下，使用静态样本协方差矩阵不再是正确的方法。纠正这些依赖类型的一种替代方法是使用基于L RCM的估计器。在续集中，我们将感兴趣的过程表示为向量wt，并假设wt的弱平稳性和平稳性。w的LRCM由VLR:=limn定义→∞变量(√\"n\"=∞Xj=-∞γ（j），其中γ（j）：=Ehwt- E[wt]wt-J- E[wt-j]iis是滞后j中的互协方差，`w是样本均值，而 表示矩阵的转置。

一个重要的标准情况是j=0时的γ（j）。在这种情况下，所有非同期交叉方差都等于零，我们检索到通常静态的协方差矩阵Vs:=γ（0），其中通常的估计量将用^Vs表示。尽管可以通过相应的样本量^γ（j）独立估计协方差项γ（j），但长期矩阵的自然估计量^Vn:=Pn-1j=-（n）-1） ^γ（j）不一致，因为参数的数量与样本量成正比。为了克服这一问题，Andrews（1991）提出了一类一般的非参数LRCM一致估计-1） Xj=-（n）-1） α（j）^γ（j），（3.1），其中α（j）是形式为α（j）=K（j/b）的权重序列，其中K（·）是一个连续的对称克内尔函数，使得K（0）=1和b是一个合适的带宽参数，例如→ ∞ asn→ ∞.（3.1）中的核函数和带宽参数的一些最佳选择是discus sedby Andrews（1991）。最重要的是带参数。基于核方法的（3.1）型LRCM估计量一致性的精确条件要求ba NDWITH增加的慢于样本大小。然而，众所周知，这类渐近估计在有限样本中并不适用，特别是对于具有强依赖性和时间异质性的过程（见M¨uller（2007））。正如M¨uller（2007）所讨论的，在小样本以及存在依赖性和污染/测量误差的情况下，使用一致LRCM估计器进行的统计推断表现不佳。为了克服这些问题，Kiefer和Vogelsang（2002年，2005年）引入了一类核型估计器，其带宽规则由样本量的固定部分给出，称为固定b估计器。由于固定的带宽参数，这些LRCM估计值不一致。

然而，它们明确引入了参数不确定性，并且在假设检验中呈现出非常好的有限样本特性。详情见基弗和沃格桑（2002年、2005年）。特别是，Kiefer和Vogelsang（2002）建议在构建LRCM估计值r（3.1）时使用整个样本作为可能的带宽规则。该策略允许我们在估算过程中使用（1.6）中的所有lagsof X。这对于引入中讨论的市场微观结构效应和插值程序（A-B）导致污染的噪声数据集尤为重要。设^ut为系列wt的平均调整偏差。Kiefer和Voge-lsang（2002）估计量由^VV Klr:=T定义-1TXi=1TXj=1^ui1.-|我- j|T^uj，（3.2），对应于Bartlett核的使用，带宽等于TRCM估计中的样本大小。为了处理相关错误或结构和异常值，M¨uller（2007）扩展了Kiefer和Vogelsang（20052002）的结果。他指出，在存在污染和异常值的情况下，通常的LRCM估计是非常脆弱的。他提出了一类LRCM估计器，其带宽基于样本量的固定部分。穆勒（2007）提出的估计器类可以按照基弗和沃格桑（2002、2005）的假设精神构造，但有一个根本区别：它们对自相关结构中的污染，尤其是移动平均过程中的污染具有渐近鲁棒性。特别是，他获得了一类估值器^VUA（p）lr（见M¨uller（2007）第1339-1342页），该估值器具有最佳的稳健性和效率。^VUA（p）lr估计量由^VUA（p）lr定义：=PTi=1PTj=1^ξi^ξjp（3.3），其中^ξ是针对p维序列的^utagain线性回归的残差l，l=1，pwhere^~nt（l）：=p2/t cos（lπ（t）-1/2）/T。

参数表1≤ p<∞ 控制LRCM估算过程中的偏差和效率。M¨uller（2007）证明了该估计量具有良好的性能。r、 t健壮和高效。此外，在假设检验中，它们给出了在零假设下众所周知的渐近分布。在本文中，我们展示了LRCM估计器（3.2）和（3.3）允许我们过滤由观测误差和市场微观效应产生的依赖性结构，这通常是在远期利率市场中发现的。4.因子数量的模拟研究为了研究应用于远期利率曲线的经典PCA方法中观测误差的影响，我们现在提供如下详细的模拟研究。为了研究远期利率曲线中不同类型的数据污染，我们假设收益率曲线和远期利率曲线都存在误差sxt=rt+εt，Zt=yt+ηt；t=0，T、 （4.1）其中ε和η是要指定的误差分量。除了分析曲线（4.1）外，还必须考虑时间序列的第一个差异Xt:=Xt- Xt-1和Zt:=Zt- Zt-1.t=1，T.我们记得，将PCA直接应用于过程（4.1）隐含地假设X和Z已经是脆弱的。如果假设X和（或）Z是非平稳的，则有必要在第一个差异X和Z处应用PCAdecomposition，这可能是弱平稳的。研究时间序列的第一个差异还有一个内在原因。由于HJMR代表远期利率（见（1.2）），PCA方法必须根据增量而非第一级进行计算。更多详情请参见Jarrow（2002）和Filip ovic（2009）。命题2.1的一个明显结果是以下推论。推论4.1。

假设r和y都是独立的弱平稳过程。如果η=ε=0，那么X和Z的主成分数必须相同。主成分的数量将是研究的关键参数，以推断基于^VS的常规主成分分析方法相对于（3.1）、（3.2）和（3.3）中定义的LRCM估计器的性能。当然，推论4.1的相同陈述适用于First t-differenceprocessesX和Y。为了研究PCA方法中观测误差的影响，我们对两种不同的显著模型进行了分析：高斯HJM模型和Cox-Ingersoll-Ross模型。就高斯HJM模型rt（见（1.4））而言，波动性参数是基于Diebold和Li（2006）研究的经典利率曲线进行校准的。它由到期日为3、6、9、12、15、18、21、24、30、36、48、60、72、90、108和120个月的零息（国债）债券组成，涵盖1985年1月至2000年12月。高斯HJ M模拟基于此校准的波动率参数，其中主成分数等于3（三）。Cox-Ingersoll-Ross模型（以下简称CIR模型）的规格基于Chen和Scott（2003年）。在这种情况下，一个三因素循环模型通过一个形式为shortt=Pi=1yit的短期过程来模拟，其中每个潜在因素遵循随机微分方程dyit=κi（θi- Yit）dt+σiqYitdBit；i=1,2,3。模拟研究中使用的参数κi、θi和σi是根据Chen和Scott（2003）选择的，他们根据美国国债市场的弱数据（1980-1988）进行了估计。我们对这些HJM和CIR数据基因评级过程进行了1000次复制，样本量为1000。我们分析了基于标准样本协方差矩阵估计器^VS的PCA方法与LRCM估计器^VAlr、^VV Klrand^VUA（p）lr的PCA方法。

这些估计器适用于（X，Z）和（X，Z）。^VAlrestimator采用了Andrews（1991）提出的二次谱核函数和最佳带宽选择。^VV Klrestimator使用Bartlettkernel函数和作为带宽规则的整个样本来指定。^VUA（p）lrestimator在基础^vt中指定了p=4个分量。详情见第3节。图1-5显示了蒙特卡罗实验中基于静态协方差矩阵和LRCMestimators的PCA分解得到的累积R平方的平均值。图1报告了适用于X=r+εw的PCA方法，其中ε=0，相关的屈服曲线通过（1.1）计算。图E2报告了应用于z=y+η的PCA方法，其中η=0，相关的远期利率曲线通过yt（x）+x计算yt（x）x、 在不存在观测误差的情况下，我们注意到，通过使用任何e刺激，可以正确估计（x，Z）和（~x，~Z）的主成分数量。由于命题2.1以及r和y都是弱平稳过程这一事实，这个结果并不令人惊讶。在存在观测误差的情况下，情况截然不同。4.1. PCA与测量误差我们基于两种类型的观测误差进行分析：市场微观结构效应（MME）和插值误差结构（IES），如引言中（A-B）所述。为了分析主成分分析法中MME的影响，我们引入了一种加性误差结构，这种结构通常建立在利率市场上，由于交易成本和债券价格的流动性溢价（参见Mizrach and Neely（2011）和Goyenko等人（2011））。这种现象可以通过买卖价格的存在直接观察到。在市场微观结构的分类模型中（例如。

Hasbrouck（1991）），资产的真实价格在观察到的买入价和卖出价之间。换句话说，观察到的价格可能被视为真实价格加上一个附加测量误差。我们将对MME的影响进行如下研究。在续集中，（4.2）中的远期利率过程R和（4.3）中的收益率过程y分别由上述高斯HJM和CIRM模型给出。图3报告了应用于（Xt（x）=rt（x）+εt（x）的PCA方法；式中，ε是方差为0.0035Zt（x）=yt（x）+ηt（x）的高斯零均值IID过程；其中y通过公式（2.1）计算，ηt（x）=xRxεt（r）dr.（4.2）关于多因素CIR模型中的有效因子和债券价格的表达式，请参见Chen和Scott（2003）。图4报告了适用于（Zt（x）=yt（x）+ηt（x）的主成分分析方法；其中η是方差为0.0035Xt（x）=rt（x）+εt（x）的高斯零均值IID过程；式中εt（x）=ηt（x）+xηtx（x），rt（x）=yt（x）+xytx（x）。（4.3）当在PCA方法中使用经典静态协方差估计器^VS时，我们显著地注意到（见图3和图4）Liu（2010）中给出的实证分析报告的相同结构。我们观察到，能够解释收益率和远期利率曲线协方差结构的因素数量之间存在显著差异，特别是当应用于曲线的第一个差异时。在图3和图4中，基于标准样本协方差矩阵^vsa的估计对远期利率曲线有很大偏差。这也可以在收益率曲线的第一个差异中观察到。我们注意到，两个^VV Klrand^VUA（p）LR都估计了正确的因素数量，尤其是在计算远期利率曲线的第一个差异时，其中的约束问题更大。

^VAlrestimator仍然表明远期利率曲线的因素过多。图4显示了在pra c tice成立的MME的一个典型情况。人们应该注意到，观察到的产量曲线中存在的加性IID高斯测量误差不会影响PCA估计。通常的样本静态协方差矩阵^vsor^VAlr、^VV Klrand^VUA（p）lr均不受收益率曲线中存在此类误差的影响。相比之下，基于^VS的远期利率和收益率曲线的第一差估计值明显存在偏差。在处理远期利率首次差异时，情况甚至更糟。图3和图4中报告的结果解释如下。我们很容易看到债券市场中MME的存在会对远期利率和收益率曲线产生不同的影响。在（4.3）中，MME在远期利率曲线中引入了一种移动平均线结构，由于这些成分的存在，该结构具有负持续性yt桑德ηtx（x）。人们应该注意到，移动平均误差结构的存在会分别影响协方差矩阵的常用估计量。有关这一问题的讨论，请参见穆勒（2007）和沃格桑与瓦格纳（2013）。相比之下，（4.2）中的MME只在观察到的收益率曲线过程中引入了IID成分。该IID成分不影响收益率曲线的时间依赖性。图1-4中报告的结果表明，用于远期利率曲线的PCA方法是一个非常微妙的问题，因为它可能会受到MME造成的不可忽略的观测误差的影响。MME的存在解释了PCA方法表示的收益率和远期曲线的组分数量之间的巨大差异。

当由于（4.3）中观测到的前向速率曲线的第一个差异而出现下卧移动平均过程的双重差异时，这种说法尤其明显。使用LRCM估计器而不是通常的^Vsis来处理这些类型的观测误差的主要原因。特别是，我们的结果强烈表明，估值器^VKlrand^VUA（p）LR已经成功地过滤了p C A方法中的MME。现在让我们来处理由于（A-B）中所述的收益率曲线yt的插值而产生的非加性误差结构G（yt，ηt）的情况。图5报告了适用于（Zt（x）=G（yt（x），ηt（x））的主成分分析方法；式中，G和η由立方s plinesXt（x）=Zt（x）+x诱导的IES生成Ztx（x），（4.4），其中y由上述CIR模型给出。在本分析中，误差由McCulloch（1975）的经典样条法产生。我们模拟了CIR模型产生的债券价格，我们忽略了随机选择的4个到期日的价格，为这个实验再次产生了1000个重复。然后使用价格曲线，用三次样条插值承诺价格，类似于McCulloch（1975）的方法。因此，债券价格的观测误差通过插值产生。根据这些价格，我们生成收益率和远期利率插值曲线。然后将基于第3节估算值的主成分分析法应用于（4.4）中规定的（Z，X，~Z，~X）。在图5中，三次样条曲线产生的观测误差对收益率曲线中的因素数量没有显著影响，无论是水平差异还是第一差异。然而，它对远期利率的第一个差异X有着非中心性的影响。基于^Vsand^VAlris的PCA计算的X因子的数量没有正确估计。

基于^VS的标准PCA方法表明了六个因子的不相关c t数，这六个因子解释了99%的总变异。与图3和图4中给出的MME分析类似，基于^VV Klrand^VUA（p）lR的主成分分析再次正确估计了三个因素的真实数量。从这些实验中获得的结果表明，MME或IES产生的观测误差的存在会导致应用于前向速率曲线的经典PCA方法产生显著偏差。更重要的是，我们的分析表明，LRCM估计器（^VV Klr，^VUA（p）lr）表明蒙特卡罗实验中因子的正确数量。本节的结果对模型规格和观测误差类型具有鲁棒性。5.因子数量的实证分析在本节中，我们将第4节中描述的结果与PCA应用于两个不同的真实数据集进行比较。第一种是到期日为3、6、9、12、15、18、21、24、30、36、48、60、72、90、108和120个月（17个到期日）的国债（零息票），月观察期从1985年1月到2000年12月。