远期利率曲线的噪声主成分分析

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英文标题：
《A Noisy Principal Component Analysis for Forward Rate Curves》
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作者：
Marcio Laurini and Alberto Ohashi
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  Principal Component Analysis (PCA) is the most common nonparametric method for estimating the volatility structure of Gaussian interest rate models. One major difficulty in the estimation of these models is the fact that forward rate curves are not directly observable from the market so that non-trivial observational errors arise in any statistical analysis. In this work, we point out that the classical PCA analysis is not suitable for estimating factors of forward rate curves due to the presence of measurement errors induced by market microstructure effects and numerical interpolation. Our analysis indicates that the PCA based on the long-run covariance matrix is capable to extract the true covariance structure of the forward rate curves in the presence of observational errors. Moreover, it provides a significant reduction in the pricing errors due to noisy data typically founded in forward rate curves.
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中文摘要：
主成分分析（PCA）是估计高斯利率模型波动结构最常用的非参数方法。估计这些模型的一个主要困难是，远期利率曲线无法从市场上直接观察到，因此在任何统计分析中都会出现非平凡的观察误差。在这项工作中，我们指出，由于存在由市场微观结构效应和数值插值引起的测量误差，经典的PCA分析不适合估计远期利率曲线的因素。我们的分析表明，基于长期协方差矩阵的主成分分析能够在存在观测误差的情况下提取前向速率曲线的真实协方差结构。此外，由于通常在远期利率曲线中发现的噪声数据，它显著降低了定价误差。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> A_Noisy_Principal_Component_Analysis_for_Forward_Rate_Curves.pdf (306.94 KB)

2022-5-6 18:54:28 上传

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关键词：主成分分析 远期利率 利率曲线 主成分 Quantitative

远期利率曲线的噪声主成分分析，*, Albe rto OhashibaFEA RP USP-14040-905，Ribeiro Preto，SP，巴西联邦大学巴西数学系，13560-970，Jo＠ao Pessoa，PB，Brasilabs摘要主成分分析（PCA）是估计高斯利率模型波动结构的最常见非参数方法。估计这些模型的一个主要困难是，远期利率曲线不能直接从市场上观测到，因此在任何统计分析中都会出现非平凡的观测误差。在这项工作中，我们指出，由于存在由市场微观结构效应和数字插值引起的测量误差，经典的PCA分析不适合估计远期利率曲线的因素。我们的分析表明，在观测误差存在的情况下，基于长期协方差矩阵的主成分分析能够提取前向速率曲线的真实协方差结构。此外，它还显著降低了由于远期利率曲线中通常存在的噪声数据而导致的定价错误。关键词：金融、定价、主成分分析、利率期限结构、HJMmodels。1.导言利率期限结构是一个高维的对象，在金融文献中有很多研究。这是为固定的国际债券和其他金融资产定价的自然起点。特别是，能够解释其变动的因素的识别在复杂利率衍生产品建模中起着关键作用。自Steele y（1990年）、Stambaugh（1988年）和Litterman and Scheinkman（1991年）的开创性著作以来，众所周知，大多数协方差收益率曲线结构都可以用几个不可观察的因素来概括。

这种程式化事实基本上基于基于样本协方差矩阵的主成分分析（以下简称PCA）。在这种情况下，一小部分特征向量总结了屈服曲线的整个二阶矩结构。我们要感谢Josef Teichman对本文主题的启发。第二作者得到了CNPq拨款308742的支持。*电话：+55-16-33290867URL:mplaurini@gmail.com（马西奥·波莱蒂·劳里尼），ohashi@mat.ufpb.br（Alberto Ohashi）提交给Arxiv的预印本2018年10月18日利率市场可以由两个基本的高维对象求和：收益率x 7→ yt（x）和远期利率曲线x7→ rt（x）；T≥ 0，通过以下线性关系t（x）=xZxrt（z）dz连接；0≤ t<∞, 十、≥ 0.（1.1）更多详情请参见例如菲利波维奇（2009）。特别是，收益率和远期利率曲线的潜在协方差结构在利率期限结构的统计分析中起着重要作用。参见Rebonato（2002）、Schmidt（201 1）和其他参考文献。例如，通过Heath等人（1992）提出的经典方法，远期利率曲线在利率衍生品的定价和对冲中起着核心作用。它们的贡献可以用随机部分微分方程drt（x）表示的前向速度曲线动力学来概括=rt（x）x+αHJM（t，rt（x））dt+dXj=1σj（t，rt（x））dBjt；r（x）=ξ（x），0≤ t<∞, 十、≥ 0（1.2）式中，αHJMis，所谓的（HJM）漂移条件，完全由挥发性结构σ=（σ，…，σd），（B，…，Bd）决定，是d维布朗运动，x 7→ ξ（x）是agiven初始远期利率曲线。然后，初始远期利率曲线ξ和波动率结构σ完全决定了模型（1.2）的无套利动态。

有关更多详细信息，请参见例如Filipovic（2009）。固定收入市场中有大量即期利率数据（以及henc e收益率曲线数据）。然而，由于缺乏明确的远期利率市场，必须根据基于其他金融工具的利率来估计隐含的远期利率。这已经表明，在实施基于经典Heath JarrowMorton方法的衍生品定价模型时存在很大困难。估计前向速率曲线协方差结构最常见的非参数过程是PCA方法。基本上，三种常用的策略在远期利率曲线的PCA估计中非常流行：（A）假设存在一个有限维参数化光滑曲线族G={G（z；x）；z∈ Z RN，x≥ 0}和一个Z值状态进程Y，使得Yt（x）=G（Yt；x）代表x≥ 0, 0 ≤ t<∞. （1.3）通过插入基于G的可用产量数据，然后通过任何数值格式提取相关的前向速率曲线，以恢复rt（x）=yt（x）- 十、yt（x）x、 PCAI随后应用于该预估远期利率曲线，如Jarrow（2002）和Lord and Pelsser（2007）所述。（B） 代替（1.3），应使用非参数多项式样条法插值屈服数据，并执行（a）的相同步骤。如需更多详细信息，请参见Vasic ek和Fong（1982年）、Barzanti和Corradi（1998年）和Chiu等人（2008年）。或者，可以使用代理与给定的插值平滑曲线族共同构造远期利率曲线。有关更多详细信息，请参见Bhar et a l.（2002））、Alexander and Lvov（2003）和Gauthier and Simonato（2012）。对于给定的初始远期利率曲线，编码（1.2）整个动态的基本对象是波动率。

特别是，由于衍生产品价格和套期保值的封闭式表达式，通常（参见Rutkowski（1996）、Jarrow（2002）和Falini（2010））假设波动率结构是确定性的。在这种情况下，远期利率的随机动力学由高斯HJM模型给出：drt（x）=rt（x）x+αHJM（x）dt+dXj=1σj（x）dBjt；r（x）=ξ（x），0≤ t<∞, 十、≥ 0.（1.4）估计潜在波动率结构的最常见替代方法是基于给定样本（rt（x），…）的静态协方差矩阵，使用PCMethodology（参见Jarrow（20 02）Filipovic（2009）、Schmidt（2011）和其中的其他参考文献），rt（xn））。主成分分析法为波动率结构σi=iqλi提供了以下估计量；i=1，^m，（1.5），其中^m是远期利率曲线主成分的估计数，相关静态c矩阵的估计特征值和特征因子分别由^λi和^i给出。关于在远期利率曲线中使用PCA的一个基本假设（1.5）和更普遍的假设是：假设（I）远期利率曲线中没有观测误差。在这个阶段，一个自然的问题是假设（I）在利率期限结构中的有效性。事实上，我们将比较收益率曲线和远期利率曲线之间主成分的现有文献，以查看违反假设（I）的一些证据。一方面，关系（1.1）的线性度强烈表明远期利率和收益率曲线的维度必须是相合的（见命题2.1）。另一方面，显然，文献中关于正向速率和y场曲线的光谱结构已经报道了不同的结果。Akahori等人。

（2006年）和Liu（2010年）报告了wardrate曲线和收益率曲线之间因子s的估计数量存在显著差异，他们认为这可能是违反r andom walk假设的一种解释。Lekkos（2000）也报道了同样的行为，他认为将远期利率平均化到到期日将导致对收益率数据的强烈依赖。他认为，主成分分析法可以人为地估计收益率曲线的少量主要成分。Alexander和Lvov（2003）研究了英国伦敦银行同业拆借利率的统计特性。他们表明，策略（A）在电场和隐含的远期利率曲线之间诱导了等效的加载因子结构。Lord和Pelsser（2007年）报告，通过使用欧元市场的估计斯文森曲线，远期和收益率曲线的PCA存在明显差异。基本上，现有文献将讨论限制为两条线：（i）需要更多的因素来考虑远期利率曲线中的相关性。平均效应是对收益率曲线产生艺术依赖的原因。（ii）纠正这种模式的一种方法是通过参数或非参数形式对收益率数据进行平滑处理，然后计算隐含的远期利率。人们应该注意到，（i）和（ii）后面的一个重要结论是（i）。更重要的是，目前的文献仅建议基于（A-B）的特别方法。在本文中，我们采取了一种截然不同的策略。通过本文，我们假设观测曲线时间序列，我们用X（·）表示，Xn（·），它们会受到xt（u）=rt（u）+εt（u）的误差影响；U≥ 0，t=0，1。（1.6）（1.6）中噪声项ε的可能存在反映了从产量数据中提取远期利率时的经典插值过程（AB）。

它也可能由市场微观结构效应引起的观测误差引起。潜在买入和卖出债券价格结构的存在污染了收益率和远期利率曲线（参见Mizrach和Neely（2011）和Goyenko等人（2011））。对这些有噪声的离散数据进行平滑处理，以提供“观察到的”曲线→ Xt（x），其中rt（·）和εt（·）都是不可观测的。我们详细研究了观测误差{εt（x）；t的存在及其影响∈ N、 x∈ 经典PCA方法中的R+}in（1.6）。我们发现，市场微观结构效应和常用插值程序（A-B）会导致远期利率曲线出现噪声，这会导致PCA方法中的严重偏差。我们分析的出发点是，远期利率和收益率曲线的协方差算子的秩是相同的（见命题2.1）。此外，我们还表明，基于所谓的长期协方差矩阵（以下简称LRCM）的PCA显著改善了对前向速率曲线协方差结构的估计。本文还讨论了噪声数据对利率衍生品定价的影响。本文的组织结构如下。在第二节中，我们报告了一个关于前向速率和yie-ld曲线的协方差算子之间秩的等价性的初步结果。在第3节中，我们描述了在观测误差存在的情况下估计共变结构的一些替代方法，即所谓的LRCM e刺激器。第4节给出了详细的模拟分析，报告了基于LRCM估计器的主成分分析的性能，以及应用于利率期限结构的主成分分析方法中测量误差所起的作用。为了将模拟结果与真实数据集进行比较，第5节对美国和英国利率期限结构的主成分数量进行了实证分析。

第六部分，我们根据主成分分析法分析了在利率变动定价中忽略观测误差的影响。第7节给出了最后的评论。2.前向速率和收益率曲线协方差算子中的秩等价在这一节中，我们给出了一个简单的注释，表明在一些温和的条件下，前向速率曲线中的主成分数应该与yie-ld曲线完全相同。尽管它很简单，但它是调查违反假设（I）的起点，它也为我们的统计分析提供了一个比较标准。设{P（t，t）；（t，t）∈ } 债券价格的期限结构在哪里:= {（t，t）；0≤ T≤T<∞}. 让我们（t，t）：=-对数P（t，t）t- T（t，t）∈ , （2.1）为到期日t时的即期利率，并设yt（x）：=s（t，t+x）为到期日x=t所指时间的修正y-ie-ld曲线-t、 到期日t时的远期利率isf（t，t）：=- logP（t，t）T（t，t）∈ ,远期利率曲线为rt（x）：=f（t，t+x），x=t- t、 为了简化说明，我们分析了基于曲线空间E的PCA方法，以便将远期利率和产量数据解释为随时间变化的样本曲线。在续集中，我们考虑一个离散时间设置t∈ N:={0,1,2，…}我们假设YT和RTA是离散时间弱平稳E值过程。也就是说，存在t个函数（uy（·）、ur（·）、Qr（·，·）、Qy（·，·）），使得每个tur（u）=Ert（u）、uy（u）=Eyt（u）、Qy（u，v）=Cov（yt（u）、yt（v））、Qr（u，v）=Cov（rt（u）、rt（v））；u、 五∈ （2）我们假设第一个过程满足。

s et E是有界集合K:=[0，x]中的可分离希尔伯特函数空间)  R+到R，这样j，T:E→ 定义byf 7→ Jx（f）：=xZxf（y）dy；F7→ Tx（f）：=xddxf（x），（2.3）是有界线性算子。在续集中，我们用内积h·，·i1/2=k·k表示E。假设离散时间过程r和y是平方可积的，由（2.2）中的核诱导的协变算子允许E上的谱分解如下（·）=∞Xk=1λk（y）h·，νk（y）iаk（y），Qr（·）=∞Xk=1λk（r）h·，аk（r）iаk（r），其中（аk（r））∞k=1和（φk（y））∞k=1是具有特征值（λk（r））的E的正交基∞k=1和（λk（y））∞k分别为1。正向曲线和收益率曲线的主成分数分别是qr和Qy的非零特征值数。我们假设λ（r）>…>λp（r）>λp+i=0；λ（y）>…>λq（y）>λq+i=0≥ 1，最大值（p，q）<∞ 所以那就好了- urk=pXi=1λi（r），Ekyt- uyk=qXi=1λi（y）；T∈ N.与r和y的第k主成分相关的解释方差可分别表示为λk（r）Ppi=1λi（r），λk（y）Pqi=1λi（y）。在序列l中，我们表示∧：=Id- 式中，Idis为身份运算符，T由（2.3）给出。对于给定的有界线性算子G，相应的自伴算子将用G表示*. 下面的简单注释说明了前向速率和产量曲线的协方差算子是如何相互关联的。提议2.1。设y和r是平方积分的弱平稳E值离散时间过程。假设Qrand-Qyare有限秩算子和E是希尔伯特空间（2.3）。那么Qr=Qy∧*Qy=JQrJ*. 特别是，秩Qr=秩Qy。证明：我们记得qr和qy是唯一的自伴、非负且有界的算子，比如hqrf，gi=Ehrt- ur，fihrt- ur，gi（2.4）hQyf，gi=Ehyt- 是的，菲伊特- μy，gi；f、 g∈ E、 t∈ N

（2.5）此外，我们将写出yt（x）=Jx（rt）和rt（x）=∧x（yt）。这一事实，再加上关系式（2.4）和（2.5）以及∧和J的连续性假设，允许我们得出结论Qr=∧Qy∧*andQy=JQrJ*. 现在让我们定义以下有限秩、非负和自伴算子\'Qr:=Qy∧*∧，Qy:=QrJ*J.根据定义，“qyan”和“Qy”具有相同的非零特征值，因此，秩Qy=秩Qy≤ 秩QrJ*≤ 排名Qr。同样的论点也适用于“Qr”和Qr，因此排名Qr≤ 排名Qy。证据到此结束。尽管命题2.1很简单，但它提供了基于主成分分析的远期利率和收益率曲线降维技术的重要信息：远期利率和收益率曲线的主成分有效数量应相同。2.1. 相关工作命题2.1的含义与Lekkos（2000）给出的启发性论点相矛盾。Lekkos（2000）认为，属性y=J（r）将平滑屈服曲线协方差算子的规范结构。这也为许多作者报告的结果提供了一些线索，这些作者比较了PCA的前向和产量。一方面，Akahori和Liu（2011年）、Liu（2010年）、Lord和Pelsser（2007年）和Lekkos（2000年）报告了前向曲线和产量曲线的相关性结构之间的巨大差异。另一方面，Alexander和Lvov（2003）通过使用离散复合远期利率和参数Svensson族来提取远期利率，报告了一个非常稳定的e估计。他们的实证结果以及Propo position 2.1可能表明，为了从观察到的债券价格中提取远期利率的光谱特性，合理选择平滑曲线的参数族是一个很好的起点。然而，人们应该注意到，这个过程可能会在远期利率上引入一个基本的加载因子结构。