最优投资的长时间渐近性

此外，最优策略π±，l对于v±(l) 预计将为CRRA效用最大化问题SUPπ的解决方案提供良好的近似值∈AE（XπT）θ(l),有一个很大但有限的时间范围。4玩具模型：Black-Scholes案例我们在一个玩具示例中展示了前一节的结果，即Black-Scholes模型，其中一个存货的价格过程为DST=Stbd+σdWt, T≥ 0.我们还考虑具有固定比例投资组合策略的代理。换句话说，容许控制集A等于R。给定一个常数比例π∈ R投资于股票，以单位资本开始w.l.o.g.时，代理人的平均增长率投资组合等于lπT=lπTT=bπ-σπ+ σπWTT。因此，\'LπT根据高斯定律分布：\'LπT Nbπ-σπ，σπT,其（极限）对数拉普拉斯函数等于Γ（θ，π）：=（limT）→∞)Tln EheθT′LπTi=θhbπ- (1 - θ） σπio上突变概率。上边情形下的对偶控制问题由∧+（θ）=supπ给出∈RΓ（θ，π）=(∞, 如果θ≥ 1，Γ（θ，^π（θ））=b2σθ1-θ、 如果0≤ θ<1，其中^π（θ）=bσ（1- θ).因此，在[0,1]上∧+可微，且∧′+（0）=b2σ，且∧′+（1）=∞, i、 e.∧是陡峭的。根据定理3.1，上界大偏差概率的值函数明确计算为：v+(l) := supπ∈我是苏普特→∞Tln PLπT≥ l= inf0≤θ< 1Λ+(θ) - θl=（0，如果l ≤ ∧′+（0）=b2σ-p∧′+（0）-√l, 如果l > 具有最佳策略的∧′+（0）：π+，l=bσ，如果l ≤ ∧′+（0）q2lσ、 如果l > Λ′+(0).注意，当l ≤ 在∧′+（0）中，我们不仅有OREM 3.1中所述的近似最优控制，还有π+=b/σ给出的最优控制，这正是具有对数效用函数的经典Merton问题的最优组合。事实上，在这个模型中，我们根据大数定律：\'Lπ+T→b2σ=∧′+（0），随着T进入完整性，因此限制→∞Tln P[\'Lπ+T≥ l] = 0=v+(l).

否则，什么时候l > ∧′+（0），最优策略取决于l, 而且目标增长率水平越高，e对股票的投资就越多下行风险概率。下侧情况下的对偶控制问题由∧给出-（θ） =infπ∈RΓ（θ，π）=Γ（θ，π）（θ））=b2σθ1- θ, θ ≤ 0，其中^π（θ）=bσ（1）- θ).因此∧-在R上是可区分的-带∧′的-(-∞) = 0和∧′之间-（0）=b2σ。从理论3。1，下行大偏差概率的值函数显式计算为：v-(l) := infπ∈Rlim infT→∞Tln PLπT≤ l= infθ≤0Λ-(θ) - θl=(-∞, 如果l < 0-p∧′-(0) -√l, 如果0≤ l ≤ Λ′-（0）=b2σ，最优策略：π-,l=r2lσ、 如果0≤ l ≤ Λ′-(0).此外，当l < 0，然后选择π-= 0，我们有Lπ-T=0，所以P[\'Lπ-T≤ l] =0，因此v-(l) = -∞. 换句话说，当目标增长率l < 0，什么都不做，我们就有了v的最佳策略-(l).备注4.1上述直接计算依赖于我们将投资组合π按比例限制为常数的事实。实际上，如果我们允许先验投资组合策略π，那么价值函数和最优策略的合法形式保持不变∈ A根据可用信息随时间变化，即F-可预测。这需要更多来自随机控制和偏微分方程的先进工具以更一般的框架呈现在续集中。5因素模型我们考虑一个市场模型，其中一个无风险资产的价格S=1，d个股票的价格S由DST=diag（St）控制b（Yt）dt+σ（Yt）dWt）dYt=η（Yt）dt+γ（Yt）dWt，其中Y是以Rm表示的因子过程，W是d+m维标准布朗运动。假设系数b，σ，η，γ满足正则条件，从而确保上述随机微分方程存在唯一的强解，且σ也是满秩的，即。

d×d-矩阵σ′是可逆的。投资组合策略π是一个Rd值的适应过程，代表投资于d储蓄的财富的分数。A中π的可容许条件将在稍后进行精确计算，但目前需要π满足可积条件：ZT |π′tb（Yt）| dt+ZT |π′tσ（Yt）|dt<∞, a、 对于所有的T>0。增长率组合由以下公式得出：LπT=ZTπ′tb（Yt）-π′tσ′（Yt）πtdt+ZTπ′tσ（Yt）dWt。对于任何θ∈ R、 π，我们计算增长率组合的对数拉普拉斯函数：ΓT（θ，π）：=lneeθLπT= 在EhEZTθπ′tσ（Yt）dWteθRTf（θ，Yt，πt）dti，其中e（.）表示多尔指数，f是函数：f（θ，y，π）=π′b（y）-1.- θπ′σ′（y）π。我们现在施加可接受性条件，即π位于A，如果Dol’eans Dade lo calmartingale ER.θπ′tσ（Yt）dWt0≤T≤这是任何T>0的真鞅，这是由Novikov条件保证的。在这种情况下，这个Dol’s Dade指数定义了一个相当于P on的概率度量Qπ(Ohm, 我们有：ΓT（θ，π）=ln EQπhexpθZTf（θ，Yt，πt）dti、 其中Y受QπbydYt控制=η（Yt）+θγ（Yt）σ′（Yt）πtdt+γ（Yt）dWπt.与来自Girsanov定理的Wπa Qπ-布朗运动。然后我们考虑双重控制问题：o上升机会：对于θ≥ 0，∧+（θ）=supπ∈阿利姆·苏普特→∞Tln-EQπhexpθZTf（θ，Yt，πt）dti、 o下行风险：对于θ≤ 0,Λ-（θ） =infπ∈Alim infT→∞Tln-EQπhexpθZTf（θ，Yt，πt）dti、 这些问题在文献中称为遍历风险敏感控制问题，并在[1]、[5]和[14]中用动态规划方法进行了研究。现在让我们正式推导与这些风险敏感控制问题相关的遍历方程。

我们考虑了有限期风险敏感随机控制问题：u+（T，y；θ）=supπ∈AEQπhexpθZTf（θ，Yt，πt）dtY=yi，θ≥ 0u-（T，y；θ）=infπ∈AEQπhexpθZTf（θ，Yt，πt）dtY=yi，θ≤ 0，并使用形式替换：lnu±（T，y；θ） λ±（θ）T+ν±（y；θ），对于大T，在对应的汉密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程中，对于u±：u±T=supπ∈研发部θf（θ，y，π）u±+（η（y）+θγ（y）σ′（y）π）′Dyu±+tr（γγ′（y）Dyu±）,我们得到该对的遍历HJB方程（λ±（θ），Γ±（，θ））为：Γ（θ）=η（y）′Dy~n+tr（γγ′（y）Dy~n）+γ′（y）Dy~n+ θsupπ∈Rdhπ′（b（y）+σ（y）γ′（y）Dy~n-1.- θπ′σ′（y）πi，对于θ<1定义良好。在上述等式中，Γ（θ）是∧±（θ）的候选解，而Γ是Γ±（θ）的候选解。这可以被改写为一个半线性遍历偏微分方程，它在梯度上有二次增长：Γ（θ）=η（y）+θ1- θγσ′(σσ′)-1b（y）.Dyа+tr（γγ′（y）Dyа）+Dyа′γ（y）Id+m+θ1- θσ′(σσ′)-1σ（y）γ′（y）Dy~n+θ2（1）- θ） b′（σ′）-1b（y），（5.1）和对偶问题最优反馈控制的候选者：^π（y；θ）=1- θ(σσ′)-1（y）b（y）+∑γ′（y）Dy~n（y；θ）.

（5.2）我们现在面临的问题是：o遍历偏微分方程（5.1）的对解（Γ（θ），Γ（，θ））的存在性我们有Γ（θ）=∧±（θ）吗？Γ的域是什么？我们给出了一些假设，这使我们能够回答上述问题。（H1）b，σ，η和γ是光滑的，整体上是Lipschitz。（H2）σ′（y）和γγ′（y）均为椭圆形：存在δ，δ>0 s.t.δ|ξ|≤ ξ′σ′（y）ξ≤ δ|ξ|, ξ、 y∈ Rm，δ|ξ|≤ ξ′γ′（y）ξ≤ δ|ξ|, ξ、 y∈ Rm。（H3）存在c>0和c≥ 0 s.t.b（σ∑′）-1b（y）≥ c|y|- CY∈ Rm。（H4）稳定条件：存在c>0和c≥ 0 s.t。η（y）- γσ′(σσ′)-1b（y）.Y≤ -c | y |+c根据[1]（另见[15]和[20]），下一个结果说明了ergo-dic方程的光滑解的存在。命题5.1在（H1）-（H4）下，对于任何θ<1，都存在一个解（Γ（θ），Γ（；θ）），对于遍历HJB方程s.t:o对于θ<0，Γ（；θ）是上界的Γ（y；θ）-→ -∞, as | y |→ ∞,o 对于θ∈ （0，1），魟（；θ）是下限魟（y；θ）-→ ∞, as | y |→ ∞,和Dy~n（y；θ）≤ Cθ（1+| y |）。现在，我们将遍历方程的解与双重风险敏感控制问题联系起来。换句话说，这意味着有限视界r isk-sen正态随机控制收敛于遍历方程的分量Γ。我们区分下行和上行情况下行风险：在这种情况下，在[15]中显示，对于所有θ<0的解（Γ（θ），Γ（；θ）到（5.1），以及Γ（.，θ）和上边界，是唯一的（直到Γ（；θ）的一个ad ditiveconstant），我们有：Γ（θ）=∧-(θ), θ < 0.此外，对于∧，存在一个可容许的最优反馈控制^π（.，θ）-（θ） 由（5.2）给出，其中因子过程Y在Q^π下是遍历的。[15]也证明了Γ=∧-是有区别的(-∞, 0).

因此，根据定理3.2，下行风险大偏差概率的解由以下公式给出：-(l) = infθ≤0Γ(θ) - θl, l < Γ′（0），最优控制：π-,lt=π（Yt；θ）(l)), Γ′(θ(l)) = l, l ∈ (Γ′(-∞), Γ′（0）），而v-(l) = -∞ 对于l < Γ′(-∞).o 优势：在这种情况下，0<θ<1，遍历方程没有唯一的解（Γ（θ），Γ（；θ）），而Γ（；θ）则是唯一的，甚至是[6]中指出的加性常数。一般来说，我们只有一个验证类型的结果，即如果过程Y在Q^π下是遍历的，那么Γ（θ）=∧+（θ），并且∧π（，θ）是∧+（θ）的最佳反馈控制。在下一段中，我们考虑一个线性因子模型，它可以导出显式计算。5.1线性高斯因子模型我们考虑线性因子模型：dSt=diag（St）（BYt+B）dt+σdWt），在Rd中，dYt=KYtdt+γdWt，在Rm中，具有Rm中的稳定矩阵K，Ba常数d×m矩阵，Rd中的Ba非零向量，秩d的σad×（d+m）-矩阵和γa非零m×（d+m）矩阵。我们正在寻找二次型遍历方程（5.1）的候选解：ν（y；θ）=C（θ）y.y+D（θ）y，y∈ 对于一些m×m矩阵C（θ）和D（θ）。将这种形式的φ代入（5.1），我们发现C（θ）必须解代数Riccati方程：C（θ）′γId+m+θ1- θσ′(σσ′)-1σγ′C（θ）+K+θ1- θγσ′(σσ′)-1B′C（θ）+θ1- θB′（σ∑′）-1B=0，（5.3），而B（θ）由K+θ1- θγσ′(σσ′)-1B+γId+m+θ1- θσ′(σσ′)-1σγ′C（θ）′D（θ）+θ1- θσγ′C（θ）+B′（σσ′）-1B=0。然后，Γ（θ）由以下公式给出：Γ（θ）=tr（γγ′C（θ））+D（θ）′γ（Id+m+θ1- θσ′(σσ′)-1σ）γ′D（θ）+θ1- θB′（σ∑′）-1σγ′D（θ）+θ1- θB′（σ∑′）-1B，最优反馈控制的候选者是：^π（y；θ）=1- θ(σσ′)-1.（B+σγ′C（θ））y+B+σγ′D（θ）.在[6]中，证明了存在一些足够小的正θ，s.t。对于θ<θ，存在Riccati方程（5.3）s.t的解C（θ）。

Y在Q^π下是遍历的，s oby检验定理Γ（θ）=∧±（θ）。在[17]中研究的一维资产和因素模型中，我们得到了更精确的结果。实际上，在这种情况下：d=m=1，Riccati方程是C（θ）中的一个二阶多项式方程，它允许两个表达式根，由：C±（θ）=-K |γ|1.- θ1.- ρ|γ| BK |σ|±p（1）- θ)(1 - θβ)1 - θ(1 - ρ),对于所有θ≤θ，其中θ=β∧ 1, β = 1 - ρ+ρ -|γ| BK |σ|> 0，其中|γ|（resp.|σ|）是γ（resp.σ）的欧几里德范数，ρ∈ [-1，1]是S和Y之间的相关性，即ρ=γσ′|γ| |σ|。实际上，只有解C（θ）=C-（θ） 在这个意义上是相关的，对于这个根，Y在Q^π下是遍历的，因此通过验证定理：∧±（θ）=Γ（θ）=|γ| C-（θ） +|γ| D（θ）1 +θ1 - θρ+θ1 - θB |σ|ρ|γ| D（θ）+θ1- θB |σ|，θ<θ，式中（θ）=-BK |σ|θρ|γ| C-（θ） +B |σ|p（1）- θ)(1 - θβ），并且∧±（θ）的最优控制由以下公式给出：^π（y；θ）=（1- θ） |σ| hB |σ|+ρ|γ| C-(θ)y+B |σ|+ρ|γ| D（θ）i.此外，在[17]中还证明了Γ′（0）=B2 |σ|-B |γ| 4 |σ| K>0（回想一下K<0），函数Γ是陡峭的，即limθ↑θΓ′(θ) = ∞.根据定理3.1和3.2，上扬概率和下扬风险大偏差概率的解由以下公式给出：+(l) = inf0≤θ<θΓ(θ) - θl, l ∈ R、 五-(l) = infθ≤0Γ(θ) - θl, l < Γ′（0），具有最优控制和近似最优控制+(l):π+，lt=π（Yt；θ）(l)), Γ′(θ(l)) = l, 什么时候l > Γ′（0），π+（n）t=^π（Yt；θn），其中θn=θ（Γ′（0）+n）n→∞-→ 0，什么时候l ≤ Γ′（0）和v的最优控制-(l):π-,lt=π（Yt；θ）(l)), Γ′(θ(l)) = l, l ∈ (Γ′(-∞), Γ′（0））.5.2个例子o布莱克-斯科尔斯模型。这对应于B=0的情况。那么，β=’θ=1，C-（θ） =D（θ）=0，D so∧±（θ）=Γ（θ）=θ1- θB |σ|，θ < 1.因此，我们获得了与第4节所述相同的最优策略平皿重沸模型。

在这个模型中，股价S的对数由一个或nstein-Uhlenbeck过程Y控制，这对应于B=K<0，B=|γ|>0，γ=σ，因此ρ=1的情况。那么，β=0，θ=1，C-（θ） =|K | |σ|1.-√1.- θ, D（θ）=-θ、 所以Γ（θ）=|K|1.-√1.- θ+ θ|σ|, θ < 1,Γ′(0) =l :=|K |+|σ|，Γ′(-∞) = l:=|σ|,θ(l) = 1.-l - ll - l, l > l.上界概率大偏差概率的解由以下公式给出：+(l) =-(l-l)l-l+|K |，如果l >l0，如果l ≤l.最优（接近最优）投资组合策略：π+，lt=K- 4(l -l)|σ| Yt+，如果l >lπ+（n）t=K- 1/n |σ| Yt+，如果l ≤l.下行风险大偏差概率的解决方案如下：-(l) =(-(l-l)l-l, 如果l < l ≤l-∞, 如果l ≤ l,最优波尔图利奥策略：π-,lt=-4(l - l)|σ| Yt+，如果l< l ≤l参考文献[1]Bensoussan A.和J.Frehse（1992）：“关于RN中遍历控制的Bellman方程”，J.ReineAngew。数学429, 125-160.[2] Bielecki T.R.和S.R.Pliska（1999）：“风险敏感动态资产管理”，应用。数学优化。，39, 337-360.[3] Davis M.和S.Lleo（2008）：“风险敏感的基准资产管理”，QuantitativeFinance，8415-426。[4] Dembo A.和O.Zeitouni（1998）：大偏差技术和应用，第二版，Springer Verlag。[5] Fleming W.和W.McEnea ne y（1995）：“有限期内的风险敏感控制”，SIAMJ。继续和Optim。，33, 1881-1915.[6] Fleming W.和S.J.Sheu（2000）：“风险敏感控制和最优投资模型”，数学。《金融》，10197-213。[7] Guasoni P.和S.Robertso n（20 12）：“长期投资组合和风险溢价”，应用概率年鉴，22239-284。[8] Hata H.，Nagai H.和S.J.Sheu（2010）：“最小化下行风险的概率的渐近性”，《应用概率年鉴》，20，52-89。[9] Hata H.和J。

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