为此,我们首先观察到Fn(s,y)≤ 每对(s,y)Fn+1(s,y),因为Fn(s,y)=2nZyy-2.-(n+1)L1{v;M∈Nη ∈[0,2-n] 五-2.-(n+1)+η∈Γ+,m(s)}dv+2nZyy-2.-(n+1)L1{v;M∈Nη∈[0,2-n] v+η∈Γ+,m(s)}dv≤ 2·2nZyy-2.-(n+1)L1{v;M∈Nη ∈[0,2-(n+1)]v+η∈Γ+,m(s)}dv=Fn+1(s,y)。作为yn+1-ynis(直到不可分辨)线性微分方程Yn+1(s)的唯一连续解- yn(s)=Zst(bn(r)(yn+1(r)- yn(r))+cn(r))drforbn(r)=1{yn+1(r)6=yn(r)}Fn+1(r,yn+1(r))- Fn+1(r,yn(r))yn+1(r)- yn(r)cn(r)=Fn+1(r,yn(r))- Fn(右,yn(右))≥ 因此,我们观察到,在一组与n,s,yn+1(s)无关的全P-测度上- yn(s)=Zstcn(r)exp{Zsrbn(u)du}dr≥ 0,即序列yn(s)是非减量的。因为它是以y+L(T)为界的- t) ,P-a.s.limity(s)=limn→∞yn(s)存在于每个s中∈ [t,t]。由支配收敛(yn(s))在L中强收敛到y(s)(Ohm),鉴于上述弱收敛性,我们得出结论,对于每个∈ [t,t]y(s)=y+Zst^u(r)dr,P-a.s.接下来我们介绍B[t,t] F-measurab le setA={(s,ω);y(s,ω)∈ Γ+(s,ω)和infη∈[- 2.-n、 二,-n]∩QX(s,ω)+D-yJ(s,ω,yn(s,ω)+η)≤ 0 i.o.},其中“i.o.”表示事件发生在数量众多的n中。表示s的s截面∈ [t,t]byAs={ω;(s,ω)∈ A} 。当yn(s)收敛到y(s)时,我们观察到 Ohmcs,wher-eOhm是定理1.1的全P-可测性b)的集合→ D-yJ(s,y)是连续的。因此,P(As)=0。因此,通过(unk)对^u的弱收敛,E[ZTt(L- ^u(s))1{y(s)∈Γ+(s)}ds]=limk→∞E[ZTt(L- unk(s))1{y(s)∈Γ+(s)}Acsds]。
|