论关联违约与不完全信息

使用的数据为x=（1,1）T，u=（0.1，-0.2）T，σ=1.2，σ=0.5。数值试验表明，该近似方法能很好地近似强度过程。为了给出一般情况下的默认强度示例，我们采用相同的参数，并假设相关的ed参数ρ等于0.1和-0.1. 从图5和图6中，我们可以观察到，如果ρ=0.1，当Firm a在时间τ=2时，λ会急剧上升，如果ρ=-0.1. 这与我们的直觉是一致的。4定理34.1初步结果的证明本小节的目的是获得给定Fu的τi和Zi（i=1，2）的条件分布。为了简单起见，我们假设t<u<t。我们只需要0 2 4 6 8 1000.050.10.150.20.250.30.35名称的默认强度2精确值近似值图3：当ρ=0 2 4 6 8 1000.050.10.150.20.250.30.35名称的默认强度图4：当τ=2且ρ=0.10 2 4 6 8 1000.050.10.150.250.35名称的默认强度图5:τ=2且ρ=-0.1推导出给定Fu的τ的条件分布，τ的条件分布可以很容易地通过变换得到。推导依赖于定理1中给出的结果。我们现在给出Fu给定的条件缺省时间分布。引理8对于0<s<u<v，τ的条件分布由{τ>u}P（τ）给出∈ dv | Fu）=1{τ>u}·1{τ>u}π（z（2），v）-地毯（s，v）dsROhmαh（r，θ，u）drdθdv+1{τ>u}·1{τ=s}g（s，v）R∞ug（s，t）dtdv,（15） 其中z（2）是zand的第二项，h（r，θ，u）是等式（17）中的given。证明：根据贝叶斯规则，对于s<u<v，τ的条件分布由{τ>u}·P（τ）给出∈ dv | Fu）=1{τ>u}·1{τ>u}·P（τ∈ dv |τ>u）+1{τ>u}·1{τ=s}·P（τ∈ dv |τ>u，τ=s）。（16） 对于Eq RHS的第一个学期。

（16） ，我们有p（τ）∈ dv |τ>u）=P（τ∈ dv，τ>u）P（τ>u）=P（τ∈ （dv）- P（τ）∈ dv，τ≤ u） P（τ>u）=π（z（2），v）-Rug（s，v）dsP（τ>u）dv。根据Iyengar[11]和Metzler[17]，我们还得到了p（τ>u）=ZOhmαh（r，θ，u）drdθ，其中h（r，θ，t）=2rtαexpm（r cosθ）- z（1））+m（r sinθ-z（2））-|m|t经验-r+r2t×∞Xn=1英寸nπθα罪nπθαπαrrt.（17） 注意，式（16）中RHS的第二项为isP（τ∈ dv |τ>u，τ=s）=P（τ）∈ dv，τ∈ ds）P（τ>u，τ∈ ds）=g（s，v）R∞ug（s，t）dtdv。结果如下。我们还给出了Zi（u）的条件分布，i=1，2，给出了过滤Fu。我们再次给出了Z（u）的条件分布，而Z（u）的条件分布可以类似地导出。0<s<u，{τ>u}P（Z（u）的引理9∈ dx | Fu）=1{τ>u}·1{τ>u}π（x，z（2），u）- p（x，u）ROhmαh（r，θ，u）drdθdx+1{τ>u}·1{τ=s}l（s，u，x）R∞ug（s，t）dtdx,（18） 在哪里l（s，t，x）=Z∞f（r，s）~π（x，rsinα，u）- s） dr，p（x，t）=Ztl（s，t，x）ds，~π（x，x，h）=√2πhexp-（十）- 十、- mh）2h1.- 经验(-2xxh）.证明：根据贝叶斯规则，可以得到{τ>u}P（Z（u）∈ dx | Fu）=1{τ>u}·1{τ>u}P（Z（u）∈ dx |τ>u）+1{τ>u}·1{τ=s}P（Z（u）∈ dx |τ>u，τ=s）。（19） 我们注意到，根据第一次通过时间的密度函数和一个简单的计算（例如，见Harrison[10]的第1章），带漂移m的aBrownian运动的概率，条件是从某个水平开始，时间为0，运行最小值为正的时间为h，终点为水平x=√2πhexp-（十）- 十、-mh）2h1.- 经验(-2xxh）.对于等式（19）的第二项，P（Z（u）∈ dx |τ>u，τ=s）=P（τ>u，Z（u）∈ dx，τ∈ ds）P（τ）∈ ds，τ>u），和p（τ>u，Z（u）∈ dx，τ∈ ds）=Z∞f（r，s）P（τ>u，Z（u）∈ dx | Z（s）=r sinα）drds=Z∞f（r，s）~π（x，rsinα，u）- s） drdxds=l（s，u，x）dsdx。对于Eq的第一个学期。

（19） ，P（Z（u）∈ dx |τ>u）=P（τ>u，Z（u）∈ dx）P（τ>u）=P（τ>u，Z（u）∈ dx）- P（τ）≤ u、 τ>u，Z（u）∈ dx）P（τ>u），其中P（τ>u，Z（u）∈ dx）=π（x，z（2），u）dx，和p（τ）≤ u、 τ>u，Z（u）∈ dx=Zul（s，u，x）dsdx=p（x，u）dx。结果如下。考虑到u的存在性，上述定理给出了资产的条件分布，因为V（t）的条件密度可以很容易地从Z（t）的条件密度中获得。4.2λ的存在性和显式形式证明定理3，我们首先从单观测开始，即t<u<t，然后扩展到多个观测。强度的直观含义由局部违约率limδu给出→0δ向上（τi）∈ （u，u+δu]|Fu）。（20） 求强度过程{λi（u）}u≥0，我们需要以下引理。引理10表示a fix ed s，g（s，.）在（s）中是连续的+∞).证明：通过下列初等不等式√a+b±√A.≤p2（2a+b）、a>0、b>0和备注2，对于固定的h>0，π（、h）达到其局部最大值atx=qmh+4h- 嗯.我们有π（x，h）=x√2πhexp-（x+mh）2h≤pmh+4h- 嗯√2πh≤pmh+2√2πh.（21）对于任何t>s和n∈ N+，gs、 t+n=Z∞f（r，s）πr sinα，t+n- sdr，其中f（r，s）π（rsinα，t+n-（s）≤ f（r，s）·qm（t+n）-s） +2q2π（t+n）- （s）≤ f（r，s）·pm（t+1）- s） +2p2π（t）- s） 。因为f给出了（τ，Z（τ））的节理密度，所以我们有Z∞f（r，s）dr<∞.利用支配收敛定理（DCT）和π在（0）中连续的事实，∞) × (0, ∞), 我们有→∞Gs、 t+n=Z∞画→∞f（r，s）πr sinα，t+n-sdr=R∞f（r，s）π（rsinα，t- s） dr=g（s，t）。引理11，用于第一类v、Iv阶修正贝塞尔函数（c.f.等式。

（5） ）我们有∈ (0, 1),∞Xn=1nInπ2α（z）≤ Czπ2α，其中我们用C表示一个一般的正常数，在本文其余部分的每一次出现时不一定相同。证明：对于任何正实数v，Iv（z）=∞Xk=0（z）2k+vk！Γ（v+k+1）≤∞Xk=0（z）2k+vk！=简单Zv<eZv、 所以，∞Xn=1nInπ2α（z）<e∞Xn=1nZnπ2α≤e（1/2）π2αzπ2α[1]- （z/2）π2α]≤e（1/2）π2αzπ2α[1]- （1/2）π2α]=Czπ2α。下一个结果描述了本地违约率。对于0<s<u和{un}a序列，引理12变为0，我们有limn→∞{τ>u}unP（τ∈ （u，u+un]|Fu）=1{τ>u}·1{τ>u}π（z（2），u）-Rug（s，u）dsROhmαh（r，θ，u）drdθ！+1{τ>u}·1{τ=s}g（s，u）R∞ug（s，v）dv.证明：根据定理8，对于s<u，我们有{τ>u}·P（τ∈ （u，u+un]|Fu）=1{τ>u}·1{τ>u}·Ru+unuπ（z（2），v）dv-Ru+UNRUG（s，v）数字视频录像机Ohmαh（r，θ，u）drdθ+1{τ>u}·1{τ=s}·Ru+unug（s，v）dvR∞ug（s，t）dt！。（22）对于等式（22）的RHS的第一个术语，我们有：→∞unZu+unuZug（s，v）dsdv=Zug（s，u）ds。（23）式（23）可证明如下。由于g是非负的a.s.，富比尼定理告诉我们，g是非负的a.s.s.v.dsdv=ZuZ∞f（r，s）unZu+unuπ（rsinα，v- s） dvdrds=ZuZ∞f（r，s）π（r）sinα，u+ηn- s） drds=Zug（s，u+ηn）ds，（24），其中0<ηn<un。让你*∈ （0，u）和0<s<u<t∈ （0，u）*), 通过等式（21）g（s，t）≤pm（t）- s） +2√2π（t）- s） Z∞f（r，s）博士≤pmt+2√2π（u）- U*)Z∞我们可以选择你*, η*非常接近你，以至于∈ （u，η）*) 和s∈ [u]*, u） r2sT- 圣- s cos 2α∈ (0, 1).这件事可以马上完成- s cos 2α=t- s+2s sinα≥ 2u*sinα>0。然后我们声称g（s，t）≤C√s√T- s cos 2α（t- s） 经验|m|s∞Xn=1n sinnπ∧θα！在π2α中r2st- 圣- s cos 2α≤C√s√T- s cos 2α（t- s） 经验|m|sr2st- 圣- s cos 2απ2α（引理11）≤C（t）- s） π2α-1[s（t- s cos 2α）]+π2αexp|m|s≤铜*1+παexp|m|u（t）-s） π2α-1.（26）等式RHS中的第一个不等式。

（26）首先考虑f（r，s）π（r sinα，t- （s）≤ b（r，s）经验m（r）cosα- z（1））+m（rsinα- z（2））-|m|s×r sinαp2π（t- s） 经验-rsinα2（t- （s）-单先生= b（r，s）rsinαp2π（t- s） 经验-rsinα2（t- （s）exp（mr cosα）exp-mz（1）- mz（2）-|m|s≤ b（r，s）rsinαp2π（t- s） 经验-rsinα2（t- （s）×expr4s+s（mcosα）经验-mz（1）-mz（2）-|m|s≤ b（r，s）rsinαp2π（t- s） 经验-rsinα2（t- s） +r4s经验-mz（1）- mz（2）+|m|s=√πsinαp2（t- s） αsexp-r2s经验-mz（1）-mz（2）+|m|s×exp-r4st- s cos 2αt- s∞Xn=1n sinnπ∧θα！πα（rrs）=Cp（t- s） 性爱-r2s+| m | s经验-r4st- s cos 2αt- s∞Xn=1n sinnπ∧θα！在πα（rrs）中。通过使用以下标识（Abramowitz和Stegun[1]），Z∞E-btIv（at）dt=rπbexpa8b四、a8b,g（s，t）=Z∞f（r，s）π（rsinα，t- s） 博士≤C√s√T- s cos 2α（t- s） 经验|m|s经验-rsinαt- s cos 2α×∞Xn=1n sinnπ∧θα！在π2α中r2st- 圣- s cos 2α≤C√s√T- s cos 2α（t- s） 经验|m|s∞Xn=1n sinnπ∧θα！在π2α中r2st- 圣- s cos 2α.结合式（25）和式（26），存在N∈ N+，当N>N时，g（s，u+ηN）≤ f（u，u）*, s） ，其中f（u，u）*, （s）=√m（u+u）+2√2π（u）-U*)R∞f（r，s）dr，s∈ （0，u）*],铜*1+παexp|m|u{α≤π/2}（u+u）- U*)π2α-1+1{α>π/2}（u- s） π2α-1., s∈ （u）*, u） ，在（0，u）上可积为s的函数→∞Zug（s，u+ηn）ds=Zulimn→∞g（s，u+ηn）ds=Zug（s，u）ds。结果如下。类似地，π在（0，∞) ×(0, ∞) 我们有unzu+unuπ（z（2），v）dv=π（z（2），u+ξn）→ π（z（2），u）as n→ ∞,其中0<ξn<un。对于等式RHS的第二个术语。

（22），引理10，当n→ ∞,unZu+unug（s，v）dv=g（s，u+ψn）→ g（s，u），其中0<ψn<un。在证明该小节的ma结果之前，我们介绍了证明中需要的以下结果。引理13（Aven[2]）设N（t）是一个适应于{Ft}的计数过程，并假设存在一个过程{λ（t）}，使得λ（t）=limhn↓0yn其中Yn=E[N（t+hn）-N（t）|Ft]/hn，如果以下条件适用于{λ（t）}和{y（t）}非负且可测量的过程：o对于每个t，limn→∞Yn=λ（t），o对于每一个t，存在al-most-allω和n=n（t，ω），这样|Yn（s，ω）-λ（s，ω）|≤ y（s，ω），s≤ t、 n≥ n、 oRty（s）ds<∞, 0≤ t<∞.然后{N（t）-Rtλ（s）ds}是一个鞅。定理14τ的强度过程由λ（u）=1{τ>u}·1{τ>u}π（z（2），u）给出-Rug（s，u）dsROhmαh（r，θ，u）drdθ！+1{τ>u}·1{τ=s}g（s，u）R∞ug（s，v）dv,其中t<u<t.证明：引理12给出了局部缺省值的极限，即0<s<u，limn→∞{τ>u}unP（τ∈ （u，u+un]|Fn）=1{τ>u}·1{τ>u}π（z（2），u）-Rug（s，u）dsROhmαh（r，θ，u）drdθ！+1{τ>u}·1{τ=s}g（s，u）R∞ug（s，v）dv.为了证明这个极限确实是τ的强度，我们需要验证Emma 13中的三个条件。对于ω∈ {τ>u，τ>u}和0<u<t，letYn（u，ω）=unRu+unuπ（z（2），v）dv-Ru+UNRUG（s，v）数字视频录像机Ohmαh（r，θ，u）drdθ！。注2，π（z（2），u+ξn）≤ πz（2），vuutz（2）米+4米-2米def=φ（z（2）），P（τ>u）=ROhmαh（r，θ，u）drdθ在u中减少，因此Yn（u，ω）≤π（z（2），u+ξn）ROhmαh（r，θ，u）drdθ≤φ（z（2））ROhmαh（r，θ，t）drdθdef=γ（u，ω）。对于ω∈ {τ=s，τ>u}和0<u<t，letYn（u，ω）={u<s}unRu+unuπ（z（2），v）dv-Ru+UNRUG（s，v）数字视频录像机Ohmαh（r，θ，u）drdθ+{u≥s} unRu+unug（s，v）dvR∞ug（s，v）dv！。我们可以检查一下Yn（u，ω）≤ 1{u<s}π（z（2），u+ξn）ROhmαh（r，θ，t）drdθ！+1{u≥s}g（s，u+ηn）R∞tg（s，v）dv.让你**(ω) ∈ （s，t），代表美国∈ [u]**, t） ，类似于式（25），g（s，u+ηn）≤pm（u+u）+2√2π（u）**- s） Z∞f（r，s）博士。

（27）我们可以选择**(ω) ∈ （s，t）非常接近s和n（ω）∈ N+使得forn>N（ω）和u∈ （南、美）**),r2su+ηn-su+ηn- s cos 2α∈ （0,1）andu+un- s cos 2α=u+un- s+2s sinα≥ 2s sinα，这是一个正常数。也类似于式（26），g（s，u+ηn）≤Cs1+παexp|m|s（u+un）-s） π2α-1.因此，g（s，u+ηn）≤~f（u，u）**, s） 其中f（u，u）**, （s）=pm（u+u）+2√2π（u）**- s） Z∞f（r，s）dr，u∈ [u]**, t） ，Cs1+παexp|m|s{α≤π/2}（u+u）-s） π2α-1+1{α>π/2}（u- s） π2α-1., U∈ （南、美）**).因此，我们得到yn（u，ω）≤ 1{u<s}φ（z（2））ROhmαh（r，θ，t）drdθ！+1{u≥s} ~f（u，u）**, s） R∞tg（s，v）dv！def=γ（u，ω）。辛塞利姆→∞Yn（u，ω）=λ（u，ω），我们得到λ（u，ω）≤ γ（u，ω）。可以检查0<t≤ t、 Ztγ（u，ω）du<∞, a、 定理14给出了t<u<t时τ的强度。当包含多个观测值时，定理3立即出现。5进一步的工作和结论我们模型的一个可能扩展是包含两个以上的名称。我们假设有三家公司，公司i的资产价值由Vi（t）给出，i=1,2,3。LetXi（t）=lnVi（t）Bi，其中Bi是企业i的默认阈值。然后名称i的默认时间由τi:=inf{t>0:Xi（t）给出≤ 0}.假设Xi（t）i=1,2,3遵循随机微分方程dx=udt+∑dW，（28），其中W是二维标准布朗运动X（t）=X（t）X（t）X（t）, u =uuu, Σ =σp1- ρσρ0 σσ√1.- ρ σρXi（0）>0，i=1，2，3，和ρ，ρ≥ ρ） 描述三个名称的相关结构。

表示byT=σp1- ρσρ 00 σ0 0 σ-1定义Z=tx，m=Tu，σ=T∑=1 00 1√1.- ρ ρ.然后dz=mdt+σdW。等效违约时间可重新定义为τ=inft>0:Z（t）=-ρ√1.-ρZ（t）τ=inf{t>0:Z（t）=0}τ=inf{t>0:Z（t）=0}。或者，我们有dZ=mdt+dWdZ=mdt+dWdZ=（m）-p1- ρm- ρm）dt+p1- \'ρdZ+\'ρdZ。如果我们假设m>p1- ρm+ρmandZ（0）>p1- ρZ（0）+ρZ（0），则默认时间τ>min{τ，τ}，该模型具有实用价值。例如，我们可以将公司1视为保险合同的参考实体，将公司2视为在参考名称违约时向合同买方提供保护的保险公司，将公司3视为比公司1和2更安全的再保险公司，并在合同买方违约时向其提供保护。在这些假设下，我们可以应用第2节中的信息设置，并通过类似的方法研究默认名称的强度过程，因为我们可以先考虑表1和表2，然后在其中一个默认的情况下保留两个名称。扩展的困难在于，在考虑剩下的两个幸存名称时，我们需要考虑第一个默认时间min（τ，τ）的（Z，Z）值。我们将此留作进一步研究。总之，我们提出了一个连续时间结构资产价值模型，描述了由相关布朗运动和不完全信息驱动的两个企业的资产价值。我们证明了原始结构模型可以转化为基于强度的简化形式模型。我们推导了每个名字的defaulttime和资产价值的条件分布。此外，我们还推导了两个相关名称的强度过程的显式形式，并在一些特殊情况下证明了违约强度的估值方法。

对违约强度的数值实验表明，在不观察违约的情况下，相关情况下的违约强度与独立情况下的违约强度几乎相同。一旦违约发生，违约强度会发生急剧变化，这种影响会逐渐减小。确认：这项研究工作得到了香港大学研究资助委员会17 301214号拨款、香港大学CERG拨款和洪兴英物理研究拨款的支持。参考文献[1]M.Abramowitz和I.Stegun（编辑），《数学函数手册》，美国商务部，1967年。[2] T.Aven，确定计数过程补偿器的定理，斯堪的纳维亚统计杂志，12（1），69-721985。[3] F.Black和M.Scholes，《期权定价与公司关系》，政治经济学杂志，81637-6541973年。[4] C.Blanchet Scalliet和F.Patras，交易对手ri s k CDS估值，工作文件，2008年，可在http://arxiv.org/abs/0807.0309。[5] D.Duffie和D.Lando，《会计信息不完全的期限结构和信用利差》，计量经济学，69633-6642001。[6] K.Giesecke，《与不完全信息相关的违约》，银行与金融杂志，281521-15452004年。[7] 顾文静、程文静、萧泰和郑浩，关于一揽子信用违约掉期定价，量化金融，13，1845–1854，2013年。[8] 郭X，R.Jarrow，和Y.Zeng，信息不完全的信用风险模型，运筹学数学，34320-3322009。[9] R.J.Elliott，M.Jeanblanc和M.Yor，关于违约风险模型，数学金融，10179-195，2000。[10] M.Harrison，《布朗运动与随机流系统》，纽约，约翰威利父子出版社。[11] S.Iyengar，《用二维布朗运动打线》，暹罗应用数学杂志，45983-9891985。[12] R.贾罗和S。

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