论关联违约与不完全信息

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英文标题：
《On Correlated Defaults and Incomplete Information》
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作者：
Wai-Ki Ching, Jia-Wen Gu and Harry Zheng
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  In this paper, we study a continuous time structural asset value model for two correlated firms using a two-dimensional Brownian motion. We consider the situation of incomplete information, where the information set available to the market participants includes the default time of each firm and the periodic asset value reports. In this situation, the default time of each firm becomes a totally inaccessible stopping time to the market participants. The original structural model is first transformed to a reduced-form model. Then the conditional distribution of the default time together with the asset value of each name are derived. We prove the existence of the intensity processes of default times and also give the explicit form of the intensity processes. Numerical studies on the intensities of the two correlated names are conducted for some special cases. We also indicate the possible future research extension into three names case by considering a special correlation structure.
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中文摘要：
本文利用二维布朗运动研究了两个相关企业的连续时间结构资产价值模型。我们考虑不完全信息的情况，市场参与者可以获得的信息集包括每个公司的违约时间和定期资产价值报告。在这种情况下，每个公司的默认时间对于市场参与者来说都是完全无法访问的停止时间。首先将原始结构模型转换为简化模型。然后导出默认时间的条件分布以及每个名称的资产值。我们证明了违约时间强度过程的存在性，并给出了强度过程的显式形式。针对一些特殊情况，对两个相关名称的强度进行了数值研究。考虑到未来可能出现的三种关联结构，我们也指出了这种关联。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
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关键词：不完全信息 完全信息 全信息 Participants Mathematical

论关联违约与不完全信息*贾文谷*+Harry Zheng——2018年10月2日摘要本文利用二维布朗运动研究了两个相关企业的连续时间结构资产价值模型。我们考虑了信息不完整的情况，市场参与者可获得的信息集包括每家公司的默认时间和定期资产价值报告。在这种情况下，对于市场参与者来说，每家公司的默认时间变成了完全不可访问的映射时间。将原始结构模型转换为简化模型。然后导出默认时间的条件分布以及每个名称的资产值。我们证明了违约时间强度过程的存在性，并给出了强度过程的显式形式。针对一些特殊情况，对两个相关名称的强度进行了数值研究。通过考虑一种特殊的关联结构，我们还指出了未来研究扩展到三个名字案例的可能性。关键词：相关默认值、布朗运动、不完全信息、强度模型。1简介信用风险建模有两种方法，即Black and Scholes[3]和Merton[16]提出的结构固定价值模型和简化形式*香港大学数学系高级建模与应用计算实验室，香港薄扶林道。电子邮件：wching@hku.hk.+*丹麦哥本哈根大学帕克恩5大学数学科学系，丹麦哥本哈根DK-2100。电子邮件：jwgu。hku@gmail.com.——英国伦敦帝国理工学院数学系，SW7 2AZ。电子邮件：h。zheng@imperial.ac.uk.model杰罗和特恩布尔[12,13]著。

在经典的企业价值法中，企业的资产价值由几何布朗运动描述，当资产价值低于给定的默认屏障水平时，就会触发违约。在基于简化形式强度的方法中，默认值被建模为外部事件，并使用随机m点过程描述其到达，默认时间是完全不可访问的停止时间。这篇论文背后的基本思想可以追溯到杜菲安德兰多[5]的开创性论文，文中给出了一个具体例子，说明如何通过限制信息结构从结构模型中获得简化模型。它们考虑了连续时间环境中嘈杂且离散观察到的固定资产价值，其中固定资产价值由一个差异过程给出。Eillott、Jeanblanc和Yor[9]、Guo、Jarrow和Zeng[8]研究了这个想法和相关的数学化问题。这些论文表明，通过引入“不完全信息”，可以将具有可预测违约时间的结构模型转化为具有完全不可接近违约时间的简化形式模型。然而，大多数论文侧重于一维差异，而对多企业不完全信息模型中的关联结构关注较少。Giesecke[6]提出了一个信息不完整的相关多公司违约模型。债券投资者可以观察发行人的资产和违约情况，但不能观察违约阈值水平，而违约阈值水平只能在违约时显示。违约事件之间的随机依赖性是通过相关资产价值和相关违约阈值来诱导的。我们研究了不完全信息框架下的相关结构，企业资产价值由二维相关布朗运动驱动，默认阈值水平已知。

可用信息集包括定期资产价值报告和默认时间，市场参与者通常无法访问这些时间。我们可以将原始结构模型转换为基于简化形式的模型，并在这种转换下找到两家公司的相关结构。本文的主要贡献在于，我们研究了多重相关资产从结构模型到“不完全信息”简化模型的转换，给出了违约时间条件分布的解析表达式，并证明了违约时间强度过程的存在性及其显式形式。本文对组合信用风险的适当强度过程的形式提出了一些新的见解。我们的发现表明，考虑传染模型更为合理，在该模型中，相互作用的强度随衰减的违约影响（7,19,20）而随时间变化。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们介绍了我们的模型框架，并给出了我们的主要结果：表征两家公司相关性结构的违约强度过程。在第三节中，我们用一些数值例子来说明我们的结果。在第4节中，我们给出了关于条件违约时间和资产价值分布的主要结果和初步结果的证明。在第五节中，我们给出了结论，并指出了关于三名案件的进一步研究问题。2.模型和主要结果概述(Ohm, P、 F）是给定的概率空间。企业i的资产价值过程由Vi给出，i=1,2。通过τi:=inf{t>0:Vi（t）确定τi的默认时间≤ Bi}，i=1，2，其中b满足0<Bi<Vi（0）的企业i的默认阈值。表示byXi（t）=lnVi（t）b或t≥ 0和X=（X（t），X（t））t，X是X的转置。

假设x表示SDE，dX（t）=udt+∑dW（t），（1），其中W是二维标准布朗运动，u是常数向量，∑是由∑=σp1给出的常数矩阵- ρσρ0 σ!,其中σi>0是Xi的波动率，ρ是满足ρ的相关系数≤ 1.注意Xi（0）>0，i=1,2。通过Xi的连续性，可以将形式i的默认时间等效为τi=inf{t>0：Xi（t）=0}，i=1，2。假设投资者在某个固定时间点收到周期性信息0=t<t<t<tk<。截至t时，投资者可获得的信息由FT:=FX提供∨ 外汇∨ σ(1{τ≤s} ，1{τ≤s} ，0≤ s≤ t） 式中fxi（t）：=σ（Xi（tj），j=0，1，Kitki≤ min{t，τi}<tki+1），i=1，2。尽管xi是一个扩散过程，bi是一个常数，但τ是一个完全不可接近的映射时间，因为投资者只能观察Xiat离散时间tk，k=0，1。，而不是Xiat的所有信息≥ 0（这将导致τi成为可预测的停止时间）。本文的主要目的是研究从结构模型到简化模型的转换，以及这种新的信息流在两种资产上，并用特定的相关结构处理违约。我们通过使用Iyengar[11]和Metzler[17]中提出的转换来重新表述问题，可以重新定义默认时间τi（i=1,2）。设Z（t）=∑-1X（t），wehavedZ（t）=mdt+dW（t），其中m=∑-1u. 等效违约时间可重新定义如下：τ=inft>0:Z（t）=-ρ√1.-ρZ（t）,τ=inf{t>0:Z（t）=0}。用α表示=π+tan-1.-√1.-ρρ, ρ>0，π，ρ=0，tan-1.-√1.-ρρ, ρ < 0.我们有α∈ (0, π).

定义τ：=min（τ，τ）。那么τ是Z从楔块的第一次退出时间Ohmα：={（r cosθ，r sinθ）T:r>0，0<θ<α}，Z的初始位置由zt给出：=Z（0）=∑-1X（0）=（rcosθ，rsinθ）T，其中0<θ<α。（Z（τ），τ）和（τ，τ）的无条件联合分布在Iyengar[11]中首次推导，并在Metzler[17]中进行了校正。下一个定理说明了它们显著的结果。定理1（Iyengar[11]和Metzler[17]）对于m=（m，m）T∈ R、 P（Z（τ）∈ dz，τ∈ dt）=f（r，t，zt）drdt，（2）其中z=（r cosα，r sinα）Tandf（r，t，zt）=expmT[（r cosα，r sinα）T-z]-|m|sb（r，t，zt）（3）和b（r，t，zt）=παtrexp-r+r2t∞Xn=1n sinnπ（α）- θ)απαrrt（4） IVI是第一类v阶的修正贝塞尔函数，即Iv（z）=∞Xk=0（z）2k+vk！Γ（v+k+1）。（5） 对于s<t，le tg（s，t，zt）=Z∞f（r，s，zt）π（rsinα，t-s） dr，（6）式中π（x，h）=x√2πhexp-（x+mh）2h. （7） 我们有p（τ）∈ ds，τ∈ dt）=g（s，t，zt）dsdt。（8） 注2：定理1中的函数π是初始值为x的漂移指令的单布朗运动在时间h到达零的时间密度。我们可以通过取π（x，h）的部分竞争来轻松检查，对于固定的h>0，π（，h）达到其最大值x=pmh+4h- 嗯对于固定x>0，π（x，.）实现其最大值ath=qxm+4m-200万。τi和Zi的条件分布可以用给定的信息流导出和表征，见第4节中的引理8和9。本文的主要目的是在给定过滤Fu的情况下，找出强度过程λiofτi。默认时间τi是一个强度过程λi，与过滤系数有关，如果λi是一个非负的渐进可测量过程，满足ztλi（u）du<∞a、 对于所有t，使得{τi≤t}-Ztλi（u）du，t≥ 0是一个Ft鞅。由于投资者在tk，k=0，1，….时收到定期资产信息。

，va值ztk:=Z（tk）=（rkcosθk，rksinθk）皮重在tk处已知。我们现在可以陈述论文的主要结果。tj的定理3≤ u<tj+1，τ的断裂强度过程存在，由λ（u）=1{τ>u}·1{τ>u}π（z（2）tj，u）给出- （tj）-汝-tjg（美国南部）- tj，ztj）dsROhmαh（r，θ，u）- tj，ztj）drdθ+1{tj≤s<u}·1{τ>u}·1{τ=s}g（s- tj，u- tj，ztj）R∞U-tjg（s）- tj，t，ztj）dt+1{τ>u}·1{τ<tj}π（z（2）tj，u- tj）R∞U-tjπ（z（2）tj，t）dt,（9） 其中z（2）tjr表示ztj的第二个分量，函数g和π分别在（6）和（7）中定义，h定义为b yh（r，θ，t，zj）=expmT[（r cosθ，r sinθ）T- [zj]-|m|t2rtα×exp-r+rj2tP∞n=1sin（nπθα）sin（nπθjα）Inπα（rrjt）。（10） 我们推导出时间∑ANST∑W的形成过程-1X和<<m=<<T∑-1u，其中▄T=-ρp1- ρp1- ρρ!.然后我们有dZ=~mdt+dW。默认时间τi，i=1，2，由（τ=inf{t>0:~Z（t）=0}τ=inf{t>0:~Z（t）=-ρ√1.-ρZ（t）}。根据同样的论点，我们得到了推论4，默认时间τ的强度过程存在，并且由，对于tj给出≤ u<tj+1，λ（u）=1{τ>u}·1{τ>u}π（~z（2）tj，u-（tj）-汝-tj~g（s，u）- tj，~ztj）dsROhmα~h（r，θ，u）- tj，~ztj）drdθ+1{tj≤s<u}·1{τ>u}·1{τ=s}g（s- tj，u-tj，~ztj）R∞U-tj~g（s）- tj，t，~ztj）dt+1{τ>u}·1{τ<tj}π（~z（2）tj，u-tj）R∞U-tjπ（~z（2）tj，t）dt,（11） 式中，~g和d~h分别与g和h相同，m被~m取代。备注5定理3和推论4表明，一家公司的运营状态可能会对另一家公司的违约产生重大影响。一家公司的违约可能会导致另一家公司的违约率在一定时期内发生重大变化，并且在新的通知解除后，其影响会降低。

从投资组合信用风险的十次模型的简化形式开始，该定理还表明，考虑一个固定模型更合理，因为交互内容随时间变化而衰减。定理3的证明见第4节。我们首先用单次观察来证明这种情况，然后扩展到多次观察。我们证明了局部违约率的存在，并在Aven条件[2]的帮助下，根据强度过程建立了局部违约率。证据依赖于相关布朗运动的击中时间分布，见Iyengar[11]和Metzler[17]。我们还推导了违约时间和资产价值作为副产品的条件分布（引理8，9）。3估值和近似3。1在某些特殊情况下的估值和含义由于（9）和（11）中的结果比较复杂，因此不容易找到λ和λ的强度。在本节中，我们给出了一些特殊情况下λ和λ的估值，并对不完全信息下的相关结构给出了一些见解。注意，Iyengar[11]和Metzler[17]通过解偏微分方程推导出表达式（6）和（10）。当两个布朗运动的相关性ρ满足一定条件时，可以简化（6）和（10）中的表达式。设ρk=-余弦πkαk=πk，k=1。对于固定的k，Tjis是代表直线y=x tan（jαk）和Sj=TjSj的反射的矩阵-1，S=I。那么我们有定理6（Iyengar[11]），如果m=0，α=α和z∈ Ohmα、 thenP{m=0}（Z（t）∈ dz，τ>t）=t2k- 1Xj=0(-1） jψZ- Sjz√T式中ψ（x）=（2π）-1exp(-xTx）。如Iyengar[11]所述，并在Blanchet Scalliet和Patras[4]中验证，P{m=0}（Z（t）∈ dz，τ∈ dt）=nP{m=0}（Z（t）∈ dz，τ>t）其中ndente表示垂直于边界向内的方向上的导数Ohmα在z点。

这简化了（4）中b（r，t，z）的计算如下：b（r，t，z）=2t2k- 1Xj=0(-1） jnψZ- Sjz√T=2t2k- 1Xj=0(-1） jn′ψ~z- Sjz√T=2t2k- 1Xj=0(-1） jψ~z- Sj~z√T（zTSje），（12）式中n=（sinα，-cosα），n′=（0，1），~z=（rcosθ，rsinθ）和∧θ=α- θ和▄z=（r，0）。我们还可以得到h的一个简单表达式，定义在（10）中，ash（r，θ，t，z）=expmT[（r cosθ，r sinθ）T- z]-|m|trt2k- 1Xj=0(-1） jψZ- Sjz√T.（13） 通过结合方程式（9）、（11）、（12）和（13），我们进行了一项数值研究，以研究在特殊情况下（α=αk），这两种形式的相互作用强度。备注7我们有ρk→ -1作为k→ ∞, 这意味着当ρ足够接近-1，可以用ρk近似强度过程，其中ρk≤ ρ<ρk+1。接下来我们给出两个数值例子来说明这两家公司的感染效应。使用的数据为x=（9,10）T，u=（2,3）T，σ=4和σ=5。图1显示了独立情况下（ρ=0），负相关情况下（ρ=-0.5）和高度负相关病例（ρ=-0.7），其中两次观测之间的时间长度(t） 为10年，且A公司的故障时间为τ=2。不是说当ρ=0时，λ不受a公司违约事件的影响，这与我们的预期一致，因为a公司和B公司彼此独立。当ρ6=0时，企业A的违约对强度过程λ有重大影响，当两个企业负相关时，强度过程λ急剧下降。当A公司的违约率与B公司的违约率高度负相关时，A公司的违约率对B公司的影响更为显著。该图还揭示了一个事实，即在观察到违约之前，相关情况下的强度过程λ与独立情况下的强度过程λ几乎相同。图2显示了具有相同数据且ρ=-0.5.

我们观察到，由于两个公司是负相关的，λ在公司a的默认时间会急剧下降，之后λ会随着默认时间的减少而略微增加。从长远来看，随着漂移为正，λ趋于零。3.2一般情况下的近似我们现在关注区间[t，t]。为了简化符号，我们在本文的其余部分将g（s，t，z）asg（s，t）和h（r，θ，t，z）写成g（r，θ，t）。强度的评估0 2 4 6 8 1000.0050.010.0150.020.0250.03TimeName 2的默认强度ρ=0ρ=-0.5ρ=-0.7图1：当τ=20 2 4 6 8 1000.0050.010.0150.020.0250.03时间名称的默认强度2τ1=1τ1=2τ1=3图2：企业B的默认强度，其中ρ=-通过对g（s，t）和h（r，θ，t）进行积分，每个企业中有0.5%会产生巨大的计算成本。我们使用Kou和Zhong[15]，Rogers和Shepp[18]中的数值方法来计算（τ，τ）和τ的拉普拉斯变换。使用拉普拉斯逆变换，我们可以找到（τ，τ）和τ的分布。OREM 14中λ（t）表达式中的术语可以表示为：Zug（s，u）ds=dP（τ）≤ s、 τ≤ t） dt（s，t）=（u，u）Z∞ug（s，v）dv=dP（τ）≤ s、 τ>u）ds，g（s，u）=dP（τ）≤ s、 τ≤ t） dsdt，ZOhmαh（r，θ，u）drdθ=P（τ>u）。（τ，τ）联合分布的拉普拉斯变换由[e]给出-pτ-pτX（0）=（X，X）]。（14） 以下PDEL（u）（x，x）=（p+p）uWhere=σ的解x+ρσ十、x+σx+ux+uxif存在，具有式（14）中给出的表示。在他们的创新论文[15,18]中，Kontorovich-Lebedev变换和有限傅里叶变换被提出用于求解（14）的模型。我们使用这些方法来求解偏微分方程，并在数值上找到联合分布。对于一般ρ，我们不能再近似计算强度过程。图3给出了独立情况下的近似和精确强度过程λ。