布朗桥的最优双停

然而，这可以通过使用以下版本的It^o公式（参见[10]）来彻底解决≤ u<1，W*（u，Xu）=W*（t，x）+ZutLW*（s，Xs）1{Xs6=0}ds+Zut林茨↓0zW*（s，z）- 林茨↑0zW*（s，z）dls+ZutxW*（s，Xs）1{Xs6=0}dWs，其中{ls}t≤s<1表示X的本地时间为0。过程{W]的超鞅性质*（u，Xu）}t≤U≤1通过（5.13）和引理5.5保持不变。对于案例A*> 引理5.2（2）保证q>1；在这种情况下，limz↓0zW*（s，z）=limz↓0zh（s，z）=limz↑0zh（s，z）=limz↑0zW*（s，z），（5.14）使用等式（Fq+Gq）（0）=0和xq-1.→ 0作为x→ 0.由于与定理3.1.22 E.J.BAURDOUX，N.CHEN，B.A.SURYA和K.YAMAZAKITheorem 5.1相似，因此省略了其余的证明。函数W*是值函数。也就是说，W（t，x）=W*（t，x）每0≤ t<1和x∈ R最佳停车时间为τ*:= σ（A）*) 和τ*:= inf{s≥ σ（A）*) : |Xs|≥ D*√1.- s} 。附录A引理2.1的证明。n=0的情况很简单（如B*> 0）因此我们将重点关注案例n≥ 1.假设B*<√n、 然后我们可以取（t，x），这样x/√1.- T∈ （B）*,√n） 。ByIt^o的公式dx2n+1s=（2n+1）N-Xs1- sX2n-1sds+（2n+1）X2nsdWs，t≤ s<1。（A.1）确定X:T的首次下穿时间-（δ） ：=inf{u≥ t:徐≤ δ}, δ ≥ 0.（A.2）对于s，固定0<ε<x∈ [t，τ+(√n）∧ T-（ε） ]我们有ε/√1.- s≤ Xs/√1.- s≤√n（因此ε≤ Xs≤√N√1.- s） 。因此，对于（A.1）给定集的积分，x[X2n+1τ+(√n）∧T-（ε） ]=x2n+1+Et，x“Zτ+(√n）∧T-（ε） t（2n+1）N-Xs1- sX2n-1sds#≥ x2n+1。主导收敛给出了ε↓ 0表示Et，x[X2n+1τ+(√n）∧T-(0)] ≥ x2n+1。此外，因为X2n+1τ+(√n）≥X2n+1τ+(√n）∧T-（0）a.s.，我们还有Et，x[X2n+1τ+(√n） ]≥ x2n+1。另一方面，通过（2.7）和（2.9），因为√n>x/√1.- t>B*, 我们必须有X2n+1=Et，x[X2n+1τ+（x/√1.-t） ]>Et，x[X2n+1τ+(√n） ]。这是一个矛盾，因此B*≥√N

引理2.2的证明。因为案例q≤ 1是微不足道的，我们关注的是q>1的情况。假设D*<p（q）- 1)/2. 然后我们可以取（t，x），这样x/√1.- T∈ （D）*,p（q）- 1)/2).与引理2.1 giveEt，x[|xτ的证明中的论点类似的论点(√（q）-1)/2)∧T-（0）|q]=Et，x[Xqτ(√（q）-1)/2)∧T-(0)] ≥ xq，其中T-（0）的定义如（A.2）所示。此外，因为| Xτ(√（q）-1） /2）| q≥ Xqτ(√（q）-1)/2)∧T-（0）a.s.，我们也有Et，x[|xτ(√（q）-1） /2）| q]≥ xq。另一方面，通过（2.16）和（2.18），以及因为（q- 1） /2>x/√1.- t>D*, 我们必须有xq=Et，x[|xτ（x/√1.-t） |q]>Et，x[|xτ(√（q）-1） /2）| q]。正如所希望的那样，这是一个矛盾。布朗桥的最优双停止23引理3.3的证明。区分（3.6），十五*（t，x）=v（C）*)√2π十、√1.- tex/（2（1）-t） ）Φ(-x/√1.- （t）-√2π,还有亨塞利姆↓C*√1.-T十五*（t，x）=v（C）*)√2πC*e（C）*)/2Φ(-C*) -√2π= C*√2π(1 -（B）*))e（C）*)/2Φ（C）*) - （C）*)-Φ（C）*)Φ(-C*)(1 - （B）*)) + C*√2πΦ(-C*)E-（C）*)/另一方面，limx↑C*√1.-Txf（t，x）=√2π(1 -（B）*))C*e（C）*)/2Φ（C）*) - （B）*).两个极限之间的差异↓C*√1.-T十五*（t，x）- 利克斯↑C*√1.-Txf（t，x）=1- （C）*)-1+Φ（C）*)Φ(-C*)(1 - （B）*)) + C*√2πΦ(-C*)E-（C）*)/2=Φ(-C*)hΦ(-C*)(1 - （C）*)) - (Φ(-C*) + Φ（C）*))(1 - （B）*)) + C*√2πe-（C）*)/2i=-u（C）*)Φ(-C*),由于我们选择了C，它等于0*如引理3.1。引理4.4的证明。我们证明了x=B的可微性*√1.- t（x的值=-B*√1.- t（对称性）。关于x的微分（4.2）给出xJ*（t，x）=（1）- t） n（F2n+1+G2n+1）（x/√1.- t） j（B）*),通过备注4.1，limx↑B*√1.-TxJ*（t，x）=（1）- t） n（B）*)2n+1（F2n+1+G2n+1）（B）*)F2n+1（B）*)= (1 - t） n（B）*)2n+1F2n+1（B*) - F2n+1(-B*)F2n+1（B）*).（A.3）另一方面，xg（t，x）=-(1 - t） n（B）*)2n+1F2n+1(-x/√1.- t） F2n+1（B）*)+ （2n+1）x2n。因此，limx↓B*√1.-Txg（t，x）=-(1 - t） n（B）*)2n+1F2n+1(-B*)F2n+1（B）*)-2n+1B*,24 E.J.BAURDOUX、N.CHEN、B.A.SURYA和K.Yamazakia，根据需要，它们等于（A.3）乘以（2.8）。

致谢作者感谢匿名推荐人的富有洞察力的评论。E.J.Baurdoux在瓜纳华托的Cimat进行部分工作时，对他们的热情款待和支持表示感谢。B.A.苏里亚感谢哥伦比亚大学IEOR系在他逗留期间提供的支持。K.Yamazaki的部分资金来自MEXT KAKENHI第26800092号赠款、theInamori基金会研究赠款和关西大学2014年资助青年学者的补贴。参考文献[1]ABRAMOWITZ，M和STEGUN，I.A.（1972）数学函数手册：公式、图表和数学表格。信使多佛出版社，第55期。[2] AVELLANEDA，M.和LIPKIN，M.D.（2003）股票钉扎的市场诱导机制。定量。财务3417-425。[3] EKSTR–OM，E.，LINDBERG，C.和TYSK，J.（2011）成对交易的最优清算。金融高级数学方法，247–255。[4] Ekstrom，E.和WANNTORP，H.（2009）。布朗桥的最优停止。J.阿普尔。Probab。46, 170–180.[5] GALLEGO，G.和VAN RYZIN，G.（1994年）。单位区域随机需求下库存的最优动态定价。管理科学40（8），999–1020。[6] 伊瓦什科，A.A.（2014）。urn方案中的增益最大化问题。俄罗斯科学院卡累利安研究中心学报。4号。数学建模和信息技术。第五卷。彼得罗扎沃茨克：卡尔克拉斯（俄语）。[7] LEUNG，T.，LI，X.（2013）具有交易成本和止损退出的最优均值回归交易。预印本。[8] 林泰昆（2013）。新投资者。加州大学洛杉矶分校法律评论60（3），678-735。[9] 马扎洛夫，V.V.和塔玛基，M.（2007）。轨迹上的持续时间问题。随机79（3-4），211-218。[10] PESKIR，G.（2005）在曲线上随当地时间变化的变量公式。理论概率杂志18（3），499–535。[11] 洛杉矶谢普。

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