布朗桥的最优双停

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英文标题：
《Optimal double stopping of a Brownian bridge》
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作者：
Erik J. Baurdoux, Nan Chen, Budhi A. Surya and Kazutoshi Yamazaki
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We study optimal double stopping problems driven by a Brownian bridge. The objective is to maximize the expected spread between the payoffs achieved at the two stopping times. We study several cases where the solutions can be solved explicitly by strategies of threshold type.
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中文摘要：
研究了布朗桥驱动下的最优双停问题。目标是最大化两次停车时的预期收益差。我们研究了几种情况下的解决方案可以显式地解决了阈值类型的策略。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
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关键词：Mathematical Optimization Quantitative mathematica Programming

布朗BRIDGEERIK J.BAURDOUX，NAN CHEN，BUDHI A.SURYA和KAZUTOSHI YAMAZAKIABSTRACT的最优双停止。研究了布朗桥驱动下的最优双停问题。目标是最大化在两个停止时间实现的回报之间的预期价差。我们研究了几种情况，其中解决方案可以通过阈值类型的策略显式解决。关键词：布朗桥；最佳双停、买卖策略数学主题分类（2010）：60G4060H301。本文研究了布朗桥的几个最优双停问题。给定一个aBrownian桥{Xs}t≤s≤1在时间0从x开始≤ 我们的目标是选择一对停止时间，t≤ τ≤ τ<1，使得给定函数f的预期收益f（Xτ）和f（Xτ）之间的利差最大。最近，最优双停止问题在金融领域受到了广泛关注。特别是，这是用来推导一个“低买高卖”的策略，以最大限度地提高两种回报之间的预期差距。称为均值回归的策略通常使用从历史数据计算的“均值”作为基准；如果价格较低，则购买资产；如果价格较高，则出售资产。与此密切相关的是称为配对交易的交易策略。考虑具有相似特征的两项资产（例如，在同一行业类别中）。通过渴望其中一个，做空另一个，你可以构建一个均值回复投资组合。成对交易的实现简化为解决单止损或双止损问题，其中一方希望确定头寸（进入和）清算的时间，以便最大化价差。

我们建议读者参考[3]、[7]和[13]等。将布朗桥视为一个潜在过程有几个动机。我们在这里列出了三个例子，其中一个资产过程在给定时间收敛到给定值，hencea Brownian bridge适合建模。第一个例子被称为股票钉住，是一种现象，即股票价格往往在接近到期时的期权行权附近结束。这通常适用于交易量较大的资产；在到期前几分钟内，股价经历了强烈的均值回归：2018年8月21日。2 E.J.BAURDOUX、N.CHEN、B.a.SURYA和K.YAMAZAKIstrike。关于股票钉扎机制的讨论，请参考[2]和[4]以及其中的参考文献。第二个例子是，由于市场对新闻和谣言的过度反应，资产突然出现错误定价，随后迅速恢复到原始价值。在著名的2010年闪电崩盘中，道琼斯工业平均指数下跌约9%，然后在几分钟内恢复；例如，见[8]第三章。虽然其原因仍存在争议，但据信，首先是希腊债务危机的一些新披露信息引发的，然后是自动算法/高频交易的大规模销售的连锁反应。虽然价格可能无法完全恢复到原价，但与这些事件造成的大幅下跌相比，差异很小。第三个例子来自存在季节性和/或销售截止日期的商品动态价格。重要的例子包括低成本航空公司（LCC）/高铁、酒店客房和食票，这些商品在给定的截止日期后变得一文不值。

在收入/产量管理领域，随着时间的推移，动态（随机）选择此类商品的价格，以最大化预期总产量；问题归结为如何在最大化单位价格和在截止日期前最小化剩余库存之间取得平衡。在典型模型中，应用动态规划原理，最优价格成为剩余股票数量和截止日期前剩余时间的函数；参见Gallego和van Ryzin的开创性论文[5]。根据这些模型，当剩余投资在截止日期前消失时，价格收敛到给定值；这是经理的目标，在需求较高时（如节假日），确实更有可能实现。本文所考虑的布朗桥的最优双停问题适用于这样的情形：一个人想要买卖一项资产，以使价差最大化，直到它收敛到最优值，如这些例子所示。关于布朗桥的单次最优停车问题，已有文献报道。特别是，Shepp[11]解决了最大化停止的布朗桥的第一时刻（假设它从零开始）的问题，方法是根据时间变化的布朗运动重写问题。Ekstr–om和Wanntorp[4]求解了几个具有任意起始值的支付泛函。我们的发现完全依赖于后者；我们将从[4]中的结果开始，并扩展到最优双停止问题。关于离散时间模拟（urn问题），我们请读者参考[9]和[14]中的单个最优停止问题。对于最优双停问题，Ivashko[6]考虑了最大化第一时刻传播的问题；Sofrenov等人[12]在独立观察下考虑一个不同但相关的买卖问题。1.1.

问题。修正0≤ t<1，考虑一个布朗桥{Xs}t≤s≤1满足DXS=-Xs1- sds+dWs，t≤ s<1，（1.1）Xt=x的布朗桥的最优双停止∈ R和where{Ws}t≤s≤1表示标准布朗运动。我们让Pt，x和Et，x表示任意0的Xt=x的条件概率和期望≤ t<1和x∈ R.我们考虑以下三个最大化预期价差的问题：问题1:Et，x[xτ- 问题2：Et，X[（X2n+1τ-X2n+1τ）1{Xτ≤0}+（X2n+1τ-X2n+1τ）1{Xτ>0}]，对于给定的整数n≥ 0，问题3:Et，x[|xτ| q- |Xτ| q]，对于给定的q>0。上确界控制所有对停止时间t≤ τ≤ τ<1 a.s.关于X产生的过滤。问题1对应于不允许卖空的情况，并且资产必须在出售前买入。问题2是允许的情况；如果第一次行使时的价格为负（分别为正），则购买（分别为出售）资产，然后在第二次行使时出售（分别为购买）。问题3模拟了支付函数相对于潜在收益为v形的情况；这是由投资策略推动的，比如多头交易。对于每个问题，我们将证明最佳停止时间是时变过程{Xs的首次命中时间/√1.- s} t≤s≤1.据我们所知，这是有限时间最优双停止问题的第一个结果，该问题的解是非平凡且明确的。值得注意的是，即使对于单个停止情况，有限时间范围内的最优停止通常也缺乏明确的解决方案。对于其他过程，我们认为解决方案要么微不足道（例如，立即购买，在到期时出售），要么不提供分析解决方案。还值得注意的是，多亏了a.s。

布朗桥的固定终点，始终执行两个停止；对于其他过程，需要注意在时间范围内不会发生第一次和/或第二次停止的情况。1.2. 大纲。论文的其余部分组织如下。第2节回顾了[4]中得到的布朗桥的单一最优停止问题，以及我们在后面几节的分析中需要的一些补充。第3、4和5节分别解决问题1、2和3。一些证据被推迟到附录A.2。在这一节中，我们回顾了Ekstrom和Wanntorp[4]关于布朗桥最优单停问题的结果。由于[4]中省略了一些细节，但在我们的分析中很重要，我们在这里补充这些结果。自始至终，让我们定义，对于所有q>0，Fq（y）：=Z∞uq-1eyu-u/2du和Gq（y）：=Fq(-y） ，y∈ R.（2.1）值得注意的是[4]中的（3.5）部分在对FQ和Gq的定义中存在拼写错误。我们建议读者参考Ekstr–om等人[3]的第4节，了解正确的版本。4 E.J.BAURDOUX，N.CHEN，B.A.SURYA和K.YAMAZAKIThese函数可以用对流超几何/抛物线圆柱函数来表示；参见，例如[1]。

考虑偏微分方程（PDE），对于ξ，Lξ（t，x）=0∈ C×Con-开集E，对于布朗桥（1.1），具有极小生成元Lξ（t，x）：=tξ-x1- Txξ+xξ（t，x）∈ E.（2.2）这可以通过设置ξ（t，x）=（1）来简化- t） q/2ζ（x）/√1.- t） 对于常微分方程（ODE），ζ（y）-yζ（y）-qζ（y）=0。（2.3）（2.3）的通解可以写成FQ和Gq的线性组合；见[3]第4节。特别是，当q=1时，（2.1）简化为toF（y）=ey/2Z∞-耶-u/2du=√2πey/2Φ（y）和G（y）=√2πey/2Φ(-y） ，y∈ R、 （2.4）其中Φ表示标准正态分布函数，即Φ（y）：=√2πZy-∞E-z/2dz，y∈ 因此，我们还有（G+F）（y）=√所有y的2πexp（y/2）∈ R.2.1。单边退出问题。对于固定整数n≥ 0，考虑单次停止问题：U（t，x）：=supt≤τ<1Et，x[X2n+1τ]，0≤ t<1，x∈ R.（2.5）确定过程的上升时间{Xs/√1.- s} t≤s≤1，τ+（B）：=inf{s≥ t:Xs≥ B√1.- s} ，B∈ R.（2.6）根据[4]中的论点，我们有，对于任何B∈ R、 Et，x[X2n+1τ+（B）]=（1- t） n+1/2B2n+1F2n+1（B）F2n+1x/√1.- T, x<B√1.- t、 （2.7）可通过求解q=2n+1和y=x的（2.3）得出/√1.- t及其边界条件；见[4]第172页。Ekstr–om和Wanntorp[4]表明，（2.5）通过选择最大化（2.7）的B或等效函数B 7的停止时间（2.6）来求解→ B2n+1/F2n+1（B）。以它的导数为例，BB2n+1F2n+1（B）=B2nF2n+1（B）h（2n+1）-BF2n+1（B）F2n+1（B）i，B∈ R.上述符号由函数B 7的符号确定→ （2n+1）-BF2n+1（B）/F2n+1（B），布朗桥5的最佳双停止，如图1所示。

如[4]所示，它是单调递减的，并且存在唯一的零B*> 例如*F2n+1（B）*) = （2n+1）F2n+1（B）*)（2.8）和BB2n+1F2n+1（B）>0<==> B<B*, B∈ R.（2.9）定义候选值函数U*（t，x）：=Et，x[X2n+1τ+（B*)] 为了0≤ t<1和x∈ R.最优性的验证要求B上有以下下限*; 由于[4]中没有包含这一点，我们将给出它的证明。请注意，图1的数字图也证实了这一点。引理2.1。我们有B*≥√n、 证据。见附录A。-2-1.5-1-0.50.51.5 20246810B图1。函数b7的曲线图→ （2n+1）-当n=0,1,2,3时，BF2n+1（B）/F2n+1（B）。三角形表示点的位置√n、 圆圈表示B处的点*.引理2.1，对于x>B*√1.- t（你在哪里*（t，x）=x2n+1），LU*（t，x）=（2n+1）N-x1- Tx2n-1.≤ 0.这与B处的平滑配合*√1.- t（可由简单代数证实）通过It^o公式使用鞅参数验证了最优性。6 E.J.BAURDOUX，N.CHEN，B.A.SURYA和K.YAMAZAKITheorem 2.1（Ekstrom和Wanntorp[4]，定理2.1和3.1）。（1） （2.5）的最佳停止时间由τ+（B）给出*) 值函数U（t，x）由U（t，x）=U给出*（t，x）=（1- t） n+1/2（B）*)2n+1F2n+1（x/√1.-t） F2n+1（B）*), 如果x<B*√1.- t、 x2n+1，如果x≥ B*√1.- t、 （2.10）（2）特别是当n=0时，B*\' 0.84是唯一的解决方案√2π(1 -B） eB/2Φ（B）=B.（2.11）如果x<B，则值函数U（t，x）由*√1.- t、 U（t，x）=U*（t，x）=√1.- 肺结核*ex/（2（1）-t） )-（B）*)/2Φ（x）/√1.- t） /Φ（B）*)=p2π（1）-t） （1）- （B）*))ex/（2（1）-t） ）Φ（x/√1.- t） ，（2.12），否则等于x。2.2. 双边退出问题。

现在考虑一下，对于固定整数q>0，最大化绝对值的问题：U（t，x）：=supt≤τ<1Et，x[|xτ| q]，0≤ t<1，x∈ R.（2.13）[4]表明，最佳停止时间的形式为：τ（D）：=inf{s≥ t:|Xs |≥ D√1.- s} ，D≥ 0.（2.14）分-D√1.- t<x<D√1.- t、 通过[4]，再次用所需的边界条件Et，x[（1）求解（2.3）- τ（D））q/2]=（1- t） q/2（Fq+Gq）（x）/√1.- t） （Fq+Gq）（D）、（2.15）和henceEt，x[|xτ（D）|q]=DqEt，x[（1）- τ（D））q/2]=（1- t） q/2Dq（Fq+Gq）（x）/√1.- t） （Fq+Gq）（D）。（2.16）注意，（Fq+Gq）是一个偶数函数。这个期望值的最大化相当于函数D7的最大化→ Dq/（Fq+Gq）（D），其导数等于DDq（Fq+Gq）（D）=Dq-1（Fq+Gq）（D）总部-D（Fq+Gq）（D）（Fq+Gq）（D）i，D>0。类似于上面关于B的论点*, 存在一个最大化子D*> 0，它是0=q的唯一根- D（Fq+Gq）（D）/（Fq+Gq）（D），（2.17）和DDq（Fq+Gq）（D）>0<==> D<D*, D>0。（2.18）布朗桥的最佳双停车7我们在图2中展示了（2.17）右侧定义的函数。与引理2.1类似，我们证明了D的以下下界*.引理2.2。我们已经成功了*≥p（q）- 1)/2 ∨ 0.证明。见附录A。0.5 1 1.5 2-2-101234D图2。函数D7的曲线图→ Q- D（Fq+Gq）（D）/（Fq+Gq）（D）表示q=1,2,3,4。三角形表示点atp（q- 1)/2. 圆圈表示atD的点*.定义候选值函数U*（t，x）：=Et，x[|xτ（D）*)|q] 为了0≤ t<1和x∈ 再次，引理2.2显示，对于| x |>D*√1.- t、 撒鲁*（t，x）=qQ- 1.-|x | 1- T|x | q-2.≤ 0.这与D处的平滑配合*√1.- t和-D*√1.- 验证最优性。定理2.2（Ekstrom和Wanntorp[4]，定理3.2）。（2.13）的最佳停止时间由τ（D）给出*) 值函数U（t，x）由U（t，x）=U给出*（t，x）=（1- t） q/2（D）*)q（Fq+Gq）（x）/√1.-t） （Fq+Gq）（D）*), 如果| x |<D*√1.- t、 |x | q，如果|x |≥ D*√1.- t、 （2.19）3。

问题1我们首先解决形式为：V（t，x）：=supt的最优双停止问题≤τ≤τ<1Et，x[xτ- Xτ]0≤ t<1，x∈ R.8 E.J.BAURDOUX，N.CHEN，B.A.SURYA和K.Yamazaki首先，通过强马尔可夫性质，我们可以将其改写为一个两阶段问题：V（t，x）=supt≤τ<1Et，x[f（τ，xτ）]（3.1），其中f（t，x）：=U（t，x）- x、 0≤ t<1，x∈ R、 将（2.12）中定义的U（t，x）作为单个停止问题的值函数。预计第一个最佳停车时间的形式为τ-（C） ：=inf{s≥ t:Xs≤ C√1.- s} ，（3.2）对于某些C∈ R.相应的第二次停止时间变为inf{s≥ τ-（C） ：Xs≥ B*√1.- s} 。对于C∈ R和x>C√1.- t、 通过（2.4）、（2.7）和对称性，Et，xhCp1- τ-（C） i=Et，xXτ-（C）= -Et，-十、Xτ+(-C）=CΦ(-C） e-C/2√1.- tΦ-x/√1.- Tex/（2（1）-t） ）。现在我们关注函数，对于C≤ B*,VC（t，x）：=Et，xf（τ）-（C） ，Xτ-（C） ), 0≤ t<1，x∈ R.（3.3）这就变成了x的f（t，x）≤ C√1.- 而对于x>C√1.- t、 由（2.12），VC（t，x）=Et，xhp2π（1）-τ-（C） ）（1- （B）*))eC/2Φ（C）- Xτ-（C） 我=√2π(1 -（B）*))eC/2Φ（C）C- 1.Et，xhCp1- τ-（C） i=v（C）√1.- T√2πΦ-x/√1.- Tex/（2（1）-t） ），其中我们定义为（C）：=Φ(-C） h（1- （B）*))Φ（C）- 总工程师-C/2√2πi，C≤ B*.（3.4）现在的想法是确定最大化VC（·、·）（或等效v（·））的C，然后使用验证曲线来显示相应策略的最佳性。因此，我们考虑优化上的函数v（C）(-∞, B*]. 图3显示了该函数的曲线图（使用B的定义*上图）。指出只有v（C）和VCover的极大值(-∞, B*] 是需要的；下面的引理3.1用于证明引理3.2，其中只有(-∞, B*] 这是必要的。