平均比率或平均比率：统计不确定性应用于

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英文标题：
《Mean of Ratios or Ratio of Means: statistical uncertainty applied to
  estimate Multiperiod Probability of Defaul》
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作者：
Matteo Formenti
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  The estimate of a Multiperiod probability of default applied to residential mortgages can be obtained using the mean of the observed default, so called the Mean of ratios estimator, or aggregating the default and the issued mortgages and computing the ratio of their sum, that is the Ratio of means. This work studies the statistical properties of the two estimators with the result that the Ratio of means has a lower statistical uncertainty. The application on a private residential mortgage portfolio leads to a lower probability of default on the overall portfolio by eleven basis points.
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中文摘要：
应用于住宅抵押贷款的多期违约概率估计值可以使用观察到的违约平均值，即比率平均值估计器，或将违约和已发行抵押贷款相加，并计算其总和的比率，即平均比率。本文研究了这两种估计量的统计性质，结果表明均值比具有较低的统计不确定性。对私人住宅抵押贷款组合的应用导致整体组合违约概率降低11个基点。
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分类信息：

一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Applications        应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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关键词：不确定性 不确定 确定性 Applications Quantitative

平均比率或平均比率：用于估计多期违约概率的统计不确定性Matteo Formentio Group Risk Management UniCredit Group UniversitáCarlo Cattaneosepter 2014年12月3日摘要应用于住房抵押贷款的多期违约概率估计值可使用观察到的违约平均值，即所谓的平均比率估计值，或者将违约和已发放的抵押贷款相加，计算其总和的比率，即平均值比率。本文研究了这两种估计量的统计性质，结果表明均值比具有较低的统计确定性。对私人住宅抵押贷款组合的申请导致整体组合的违约概率降低11个基点。本演示文稿表达了作者的观点，并不代表UniCredit的观点，UniCredit不对其内容的任何使用负责。违约概率的多周期估计考虑了一类评级和银行在={1，…，年内发放的抵押贷款。在每一个发行年份，都有可能在年的期限内观察到违约。从2006年到2009年，相应的一年期和五年期抵押贷款违约观察表显示。表1 2006-2009年发行的抵押贷款和违约实际违约率，即观察到的水平违约概率，等于已发行抵押贷款的违约数量，如等式1所示：() =()方程式1:j年发行的抵押贷款t期违约率表2适用于表1中给定数据的每个发行年和每个时间期的违约率。表2违约率有两个估计器可以在时间范围内汇总违约概率信息：1。

比率平均值：它计算每个时间范围内每个违约率的平均值：() = Ε()方程2比率的平均值2。平均值比率：它计算违约总额与已发行抵押贷款总额之间的比率，也就是说，相应平均值的比率：()=∑()∑()=Ε[]Ε[]方程3平均值比率第一个估计器被称为平均值比率，因为平均值的每个数字都是一个比率，而第二个估计器被称为平均值比率，因为比率的分子和分母都是平均值，如果除以相同的观察数。（Cochrane，1977）表明，当使用anTime-to-default 2006 2007 2008 2009def@1Y0 1 0def@2Y1 2 4def@3Y2 4 6def@4Y2 7def@5yisued（N）3.385 4.375 3.518 2.486发行年份2006 2007 2009def@1y00000%00000%00284%00000%def@2y00295%00457%01137%def@3y00591%01706%def@4y00591%01600%def@5Y00886%发布年度泰勒扩展应用。在这项工作中，我们研究了这两个估计器的统计特性，目的是了解哪一个估计器在多年累计违约率时具有最低的统计不确定性。我们的目标是要有一个唯一的违约概率，代表违约的多周期可能性和统计不确定性最低的估计量。在表3中，我们计算了表1所示示例的平均比率和平均比率。两者的差异不可忽略，因为发行年份很少，抵押贷款的数量急剧变化。事实上，这两个估计器在分配给已发行抵押贷款的发行年份数的相对权重方面是不同的。

在比率均值估值器中，平均值为已发行年数指定了更高的权重，因为它为每个比率提供了相等的加权概率。与此相反，平均值比率缩小了违约事件的波动性，因此它和估计器对发行年数的依赖性较小。表3平均值比率和比率平均值表4显示了使用比率平均值相对于平均值比率的潜在偏差的一个例子：违约率的轻微增加（从1到2）导致比率估计值的平均值增加2.5%，而已发行抵押贷款数量的相同变化导致平均值比率的差异为-0.227%。这是两个数据集合并的情况，例如收购abank及其信贷组合后。在下一节中，我们提供统计特性的证据，以确认本示例的结果。表4估计器的差异统计性质自（Cochrane，1977）理论结果以来，关于平均数比率和平均数比率估计器的统计性质的文献争论。然而，理论结果也得到了证实，不仅是在体积之间，而且在体视学上，如在（Hamdan，Szarka和Jacks，2006年），或矿物提取的子样本（Rao，2002年）或正常人群（Rao C.，1952年）。根据（Hamdan，Szarka和Jacks，2006），平均值比率是均方误差最小的估计器。这可以通过模拟带有噪声的完美对象（或已知值）或一般对象（带有噪声的未知值）来证明。

在2008年12月31日发布的数据中，2008年12月31日发布的数据中，有条件的平均偏差率为1596%，而在2008年12月31日发布的数据中，有条件的偏差率为1596%，而在2008年12月31日发布的数据中，有条件的偏差率为542%平均还款事件的总和平均比率（d）110 100 1000 1111 277,8 10000%抵押贷款数（N）10 100 1000 10000 11110 2778比率平均比率（d/N）10%10,00%10,00%10,00%10,00%10,00%10,00%10年t1 t2 t3 t4平均还款事件总和平均比率（d）10 100 1000 1112 278 10009%抵押贷款数（N）10 100 1000 10000 11110 2778比率平均比率（d/N）20%10,00%10,00%10,00%10,00%10,00%12500%t1 t2 t3 t4平均支付事件之和平均比率（d）110 100 1000 1111 277,8 9999%抵押贷款数（N）100 1000 10000 11111 2778比率平均值（d/N）9%10,00%10,00%10,00%10,00%9773%（Baddeley&Jensen，1991），假设分母的每个元素（即抵押贷款）是条件不相关的，并且需要校准分母对分子的条件方差。

作为一个序列，CBLU估计器不能用于估计违约概率，因为商业政策会导致抵押贷款随时间的推移而发生相关性。另一方面，从实证的角度对两种测试的使用进行了辩论，例如在（Larivière&Gingras，2011）中，将估计器应用于研究论文的引用，或在药物成本效益中（Stinnett&Paltiel，1996）。为了验证这两个估计量的有效性，我们使用一个常数违约概率，通过蒙特卡罗模拟，提供了估计量性质的统计证据，但受到阿加西随机变量~（0,1）的轻微扰动：()= (+ )方程4违约率模拟，我们通过控制扰动的影响，并将默认值四舍五入为整数值。最后，根据表5-8中的实际抵押贷款，我们允许已发行抵押权人的数量在500到10000之间。最后，我们认为最好的估计量是相对均方误差（RMSE）较低的估计量。图1显示了两个估计器的估计平均值的一个模拟，使用的扰动等于=0.1%和=5、10或=15。比率的估计均值具有较高的RMSE（）= 3.4798%=2，和= 0.3229%=10）关于平均数比率（= 0.3479%=2，和= =10）为1.2626%。当=1500时，我们验证了两个RMSE的差异，作为稳健性检查，。正如预期的那样，通过增加发行年数，差异可以忽略不计（0.02%），如图2所示。对于每个时间范围和已发放的抵押贷款，违约概率都是恒定的。

我们为每个时间范围和发布的年份模拟了10万个周期。图1 T=5,10,15年的估计值平均值图2 T=1500年的估计值平均值我们通过计算扰动较低（=0.1）和较高发布年数（100年）时两个RMSE的比率来验证效率。图3证实了根据RMSEare得出的结果，如我们预期的任何估算值，年数在减少，两者的差异将趋于稳定。图3发布100年的RMSE平均比率（MR）和平均比率（RM）。最后，我们使用不同的扰动计算RMSE的比率∈ （0,1）和固定的发行年数=10，作为稳健性检查。图4显示，增加扰动会使Ratios估值器的平均值变得更不确定。图4不同误差扰动下MR和RM的标准偏差我们得出结论，均值比是相对均方误差较低的估计器，因此是统计误差最低的估计器，它更适合聚合违约率的目的，以便具有多期违约概率。使用私人抵押贷款组合的经验证据使用2008-2011年期间的住宅抵押贷款组合，以了解这两个估计器应用的差异。投资组合每年分为12个等级。应用每个指标是为了获得唯一的多周期观察违约概率。在表5-表8中，我们显示了每年和每类评级的抵押贷款，以及不同时间段的相应违约率。

需要指出的是，只有在至少五年前发行的抵押贷款中才能观察到五年期的违约率，因此有一个违约率观察，即2008年发行的抵押贷款，2013年（第五年）违约。