一般对偶关系及其在定量风险中的应用

因此，约束条件（4.3）迫使更多的概率mas进入区间[0，1]的右半部分，其中未知（真实）密度f（x）具有更多质量，并产生更多样本点。作为第二个例子，取密度f（x）=3x和与上述相同的线性测试函数。这一次，我们发现φ（x）f（x）dx=1+3a/4，以及[0,1]上满足φ（x）df（x）=1+3a的最常用概率测度，在0处有一个重量为3/4的原子，在1处有一个重量为1/4的原子，独立于a 6=0，其结论与上述类似，但影响更大，正确反映了密度f（x）的定性特征。4.2。一般设置和二元性。将Φ分解为具有非空内部的多面体Ξi的分区Φ=Ski=1Ξiof，选择作为区域，其中有合理数量的数据点可用于估计形式（4.1）的积分。每个多面体都有一个关于属的原始描述，Ξi=conv（qi，…，qini）+cone（ri，…，rioi），其中conv（qi，…，qini）是顶点为qin的多面体∈ Rn，and cone（ri，…，rioi）=（oiXm=1ξmrim:ξm≥ 0（米）∈ Noi）是具有后退方向边缘的多面体圆锥体∈ 注册护士。每个多面体也有一个线性不等式的对偶描述，Ξi=ki\\j=1十、∈ 注册护士：hfij，xi≥ lij,对于一些向量fij∈ Rnand界限lij∈ R.主要关注的情况是，平面平行于坐标轴的有限或有限长方体，或此类长方体与线性半空间的交点，在这种情况下，很容易在原始描述和双重描述之间传递。然而，请注意，对偶描述更可取，因为Rn中框的描述只需要2n个线性不等式，而原始描述需要2n个极端顶点。现在让我们考虑一下问题（P）supF∈ MFZΦh（x）df（x）s.t.ZΦs（x）df（x）≤ as，（s=1，…，M），s.t.ZΦψt（x）df（x）=bt，（t=1。

ZΦ1df（x）=1，F≥ 0，其中测试函数ψ在分区Φ=Ski=1Ξi上是分段线性的，其中-h（x）和测试函数φ在分区的有限多面体上是分段线性的，在分区的有限多面体（即多边形）上是线性的、凹的或凸的。（P）的对偶是（D）inf（y，z）∈RM+N+1MXs=1asys+NXt=1btzt+z，s.t.MXs=1ysφs（x）+NXt=1ztψt（x）+zΦ（x）- h（x）≥ 0，（x∈ Φ，（4.4）y≥ 0.我们注意到（P）是一个半无限规划问题，具有无数变量和无数约束，而（D）是一个半无限规划问题，具有无数变量和无数约束。然而，（D）的约束（4.4）可以重写为多面体Ξi上的共正性要求，MXs=1ysφs（x）+NXt=1ztψt（x）+zΦ（x）- h（x）≥ 0，（x∈ Ξi，（i=1，…，k）。接下来，我们将看到如何通过数字方式处理这些竞争性约束，通常是通过放松所有约束，但不包括很多约束。Nesterov的一阶方法可以用来解决由此产生的问题，见[8,9,17]。在下面的内容中，我们将使用符号φy，z（x）=MXs=1ysφs（x）+NXt=1ztψt（x）+z- h（x）。4.3。分段线性测试函数。我们讨论的第一种情况是φsi和hi联合线性。由于我们进一步假设函数ψt | i是线性的，因此存在向量vis∈ 机智∈ 注册护士，gi∈ Rnand常数∈ R、 迪特∈ 兰德·艾∈ R使得φsΞi（x）=hvis，xi+cis，ψtΞi（x）=hwit，xi+dit，hΞi（x）=hgi，xi+ei。共正性条件mxs=1ysφs（x）+NXt=1ztψt（x）+zΦ（x）- h（x）≥ 0，（x∈ Ξi）可以写成ashfij，xi≥ lij，（j=1，…，ki）==>*MXs=1ysvis+NXt=1ztwit- gi，x+≥ 工程安装-MXs=1yscis-NXt=1ztdit- z、 Farkas’L e mma认为，这相当于constra intsMXs=1ysvis+NXt=1ztwit- gi=kiXj=1λijfij，（4.5）ei-MXs=1yscis-NXt=1ztdit- Z≤kiXj=1λijlij，（4.6）λij≥ 0，（j=1。

，ki），（4.7），其中λij是额外的辅助决策变量。因此，如果所有测试函数在所有多面体块Ξi上都是线性的，那么对偶（D）可以作为一个线性规划问题来求解，其中M+N+1+Pki=1kivariables和k（N+1）线性约束，加上y和λij上的界约束。更一般地说，如果一些但不是所有的多面体对应于联合线性测试功能块，那么联合线性饼图可以被视为上文讨论的，而其他的饼图可以被视为下文讨论的。让我们简要地评论一下数值实现，第二作者的论文[17]中描述了其中的进一步细节：上述公式的一个重要案例对应于一个离散化的边缘问题，其中φs（x）是分段常数函数，选择s=（i，j）如下，（ι=1，…，n；j=1，…，m）：引入m+1断点ξ<ξι<ξ··<ξιmalong每个坐标轴，并考虑有限板条ι，j=十、∈ Rn:ξιj-1.≤ xι≤ ξιj, （j=1，…，m）。然后选择φι，j（x）=1Sι，j（x），平板Sι，j的指标函数。我们注意到，这种方法与重新定义第3节中描述的边际问题的约束相关，但不讨论我们最大化总风险的概率度量。虽然测试函数的数量是nm，因此在问题维度上是线性的，但多面体的数量是指数大的，因为所有形式的相交都是Ξι，~j=n\\ι=1Sι，jι，对于~j的可能选择∈ NNM必须单独处理。此外，在VaR应用中，h（x）被视为半空间{x:Pxι的指示函数≥ τ} 对于适当选择的阈值τ，对于CVaR应用，h（x）为分段线性函数h（x）=max（0，Pxι-τ). 因此，满足有效超平面{x:Pxι=τ}a的多面体Ξι，~j被进一步切割成两个分离的多面体。

因此，直接应用上述LP框架将导致LP具有指数级的多个约束和变量。然而，请注意，约束条件（4.5）-（4.7）现在readgi=kiXj=1λijfij，（4.8）ei-MXs=1yscis- Z≤kiXj=1λijlij，（4.9）λij≥ 0，（j=1，…，ki），（4.10）作为vis=0，不使用测试函数ψt（x），其中gi=[1…1]TwhenΞi {x:Pxι≥ τ} 否则gi=0。也就是说，出现在约束（4.8）左侧的向量由多面体Ξialone固定，不依赖于决策变量y、z。由于在（D）的最优解中选择的ZI尽可能小，因此约束（4.9）必须尽可能松弛。因此，λij的最佳值也由多面体Ξialone确定，并可通过求解小规模LP（λij）来识别*= arg maxλkiXj=1λijlijs。T- gi=kiXj=1λijfij，λij≥ 0，（j=1，…，ki）。换句话说，当第一次考虑多面体时，变量（λij）*可以一次性确定，之后约束（4.8）-（4.10）可以用EI代替-Xsyscis- Z≤ Ci，其中Ci=Pkij=1（λij）*lij如果左侧的和仅延伸到n个指数s上，该指数s对应于Ξi.t hus上非零的tes t函数，则只需要nm+1决策变量（y，z）来求解（D）。此外，指数多个约束对应于一个极其稀疏的约束矩阵，使得（D）的对偶成为应用单纯形算法和延迟列生成的理想候选。对于φsis的形式φs（x）=1Ss（x）×（hvs，xi+cs），对于all s=（ι，j），类似的方法是可行的。

使用这种形式的测试函数的好处是，较少的断点ξι，jare需要适当地约束分布。为了说明延迟共柱发电的威力，我们给出了以下数值实验，比较了我们的标准单纯形（SS）实现和我们的延迟列生成单纯形（DCG）对于不同维度d和多面体数k的计算时间：d k DCG SS DCG/SS2 256 2.282 0.963 2.3402 1\'024 1.077 1.3450.8012 4\'096 3.963 7.923 0.5002 16\'384 20.237 34.495 0.5872\'536 124.89 187.826 0.6653 4\'0962.653 13.103 0.2023 32′768 42.863 145.002 0.3004 4′096 4.792 25.342 0.1894 65′536 345.6 28′189.7。由于这两种方法的Matlab实现都没有经过优化，因此绝对计算时间可以显著提高，但使用延迟列生成实现的加速是有代表性的。4.4. 分段凸测试函数。当φs|926;-h |Ξiare jointlyconvex，则φy，z（x）是凸的。共正收缩intMXs=1ysφs（x）+NXt=1ztψt（x）+zΦ（x）- h（x）≥ 0，（x∈ Ξi）可以写成ashfij，xi≥ lij，（j=1，…，ki）==> νy，z（x）≥ 根据Farkas定理（参见[11]），该条件等价于φy，z（x）+kiXj=1λijlij- hfij，xi≥ 0，（x∈ Rn），（4.11）λij≥ 0，（j=1，…，ki），其中λij再次是辅助决策变量。虽然（4.11）没有减少到很多约束，但可以通过全局最小化凸函数φy，z（x）+Pkij=1λij来检查该条件的有效性lij- hfij，xi. 如果使用线搜索方法来求解对偶（D），则约束（4.11）可以显式实施。分段凹测试函数。

当φs|926;-h |Ξiare jointlyconcave但不是线性的，那么Ξy，z（x）是凹的，Ξi=conv（qi，…，qini）是多面体。共正性约束tmxs=1ysφs（x）+NXt=1ztψt（x）+zΦ（x）- h（x）≥ 0，（x∈ Ξi）（4.12）可以写成Ξy，z（qij）≥ 0，（j=1，…，ni）。因此，（4.12）c可以被决策变量y和zt上的非线性不等式约束所代替。4.6. 分段多项式测试函数。另一种情况是，当φs|Ξi，ψti和hi联合多项式时，可以通过许多约束条件来处理。拉塞尔（Lasserre）[7]和帕里洛（Parrilo）[10]的方法可用于转换共正性约束Fij，xi≥ lij，（j=1，…，ki）==> νy，z（x）≥ 0，转化为无数线性矩阵不等式。然而，这种方法通常仅限于低维应用。5.结论。我们的分析表明，从第2节讨论的广义二元关系的单一视角可以理解定量风险管理中广泛使用的二元关系。通过以boundson积分的形式表示有限个约束，提供了一类有趣的特殊情况。这类模型的双重性是半无限优化问题，通常可以通过利用协正性的标准结果重新表述为无限优化问题。致谢：本研究的一部分是在第一作者从牛津大学休假期间访问苏黎世ETH FIM时进行的。他感谢在那里得到的支持和良好的研究环境。前两位作者的研究得到了英国工程和物理科学研究委员会的EP/H02686X/1资助。参考文献[1]Borwein，J.和Lewis，A.：凸分析和非线性优化：理论和实例（CMS数学书籍）。[2] 贝尔西马斯博士。

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