一般对偶关系及其在定量风险中的应用

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英文标题：
《A General Duality Relation with Applications in Quantitative Risk
  Management》
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作者：
Raphael Hauser, Sergey Shahverdyan and Paul Embrechts
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  A fundamental problem in risk management is the robust aggregation of different sources of risk in a situation where little or no data are available to infer information about their dependencies. A popular approach to solving this problem is to formulate an optimization problem under which one maximizes a risk measure over all multivariate distributions that are consistent with the available data. In several special cases of such models, there exist dual problems that are easier to solve or approximate, yielding robust bounds on the aggregated risk. In this chapter we formulate a general optimization problem, which can be seen as a doubly infinite linear programming problem, and we show that the associated dual generalizes several well known special cases and extends to new risk management models we propose.
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中文摘要：
风险管理中的一个基本问题是，在几乎没有或根本没有数据可用于推断其依赖性信息的情况下，不同风险源的稳健聚合。解决这个问题的一种流行方法是制定一个优化问题，在该问题下，在所有与可用数据一致的多元分布上，最大化风险度量。在这类模型的几种特殊情况下，存在更容易解决或近似的对偶问题，从而对聚合风险产生鲁棒界。在这一章中，我们提出了一个一般的优化问题，可以看作是一个双无限线性规划问题，并且我们证明了相关的对偶推广了几个著名的特殊情况，并扩展到我们提出的新的风险管理模型。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> A_General_Duality_Relation_with_Applications_in_Quantitative_Risk_Management.pdf (186.19 KB)

2022-5-7 00:02:26 上传

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关键词：Optimization Quantitative Applications Multivariate distribution

一般对偶关系及其在定量风险管理中的应用*, SERGEY SHAHVERDYAN+和PAUL EMBREC HTS摘要。风险管理中的一个基本问题是，在几乎没有或几乎没有数据可用于推断其相关性信息的情况下，不同风险源的稳健聚合。解决这个问题的一种流行方法是制定一个优化问题，在这个问题下，一个人在所有与可用数据一致的多元分布上最大化一个风险度量。在这类模型的几种特殊情况下，存在着更容易解决或近似的对偶问题，从而产生了聚合风险的鲁棒界。在本章中，我们公式化了一般优化问题，它可以被看作是一个双有限线性规划问题，我们证明了相关的对偶推广了几个著名的特殊情况，并扩展了我们提出的新的风险管理模型。1.导言。定量风险管理中的一个重要问题是将几个单独研究的风险类型纳入一个整体位置。从数学上讲，这转化为研究ψ（X）的最坏情况分布尾，其中ψ：Rn→ R是一个给定的函数，表示未来的风险（或不确定性），其中X是一个随机向量，它取RNA中的值，其分布仅部分已知。例如，一个人可能只有关于X的边缘的信息，可能还有关于一些矩的部分信息。为了解决这样的问题，对偶经常被分解，因为对偶可能更容易用数值或分析方法来逼近[3,4,5,14,2]。

在原始目标可通过算法接近的情况下，能够制定对偶也是很重要的，因为在求解过程中，联合解决原始和对偶问题提供了近似保证：如果对偶差距（原始和对偶目标值之间的差异）低于相对于原始目标的选定阈值，算法可以在保证将最佳值近似为取决于所选阈值的执行精度的情况下停止。这是凸优化中的一种众所周知的技术，参见例[1]。尽管存在一些特殊的边际问题解析解和强大的数值启发式[12、13、6、19、18]，但当施加额外的约束以强制概率度量时，这些技术并不适用，因为在这种情况下，我们将风险最大化，以符合经验观察结果：在典型情况下，大部分经验数据可能包含在一个区域D中，该区域可以用一个椭球或几个（不相交或重叠）多面体的并集来近似。为了将概率度量u视为（多维）损失真实分布的合理解释，需要英国牛津大学伍德斯托克路拉德克利夫天文台区安德鲁·威尔斯大楼牛津大学数学研究所D+中包含的概率mas，hauser@maths.ox.ac.uk.牛津彭布罗克C学院数值数学副教授和田中应用数学研究员。

本文作者通过英国工程和物理科学研究委员会的EP/H02686X/1资助。+牛津大学数学研究所，安德鲁·威尔斯大厦，英国牛津大学伍德斯托克路拉德克利夫天文台区，牛津牛津大学，谢尔盖。shahverdyan@maths.ox.ac.uk.This作者获得了英国工程和物理科学研究委员会（Engineering and Physical Sciences Research Council of the UK）的EP/H02686X/1资助苏黎世ETH数学系，瑞士苏黎世8092embrechts@math.ethz.ch.SeniorSFI教授。位于经验估计的置信区间，即，l ≤ u（D）≤ u为某个估计界l < u、 在这种情况下，通过对偶问题推导风险集合边界仍然是一种强大而有趣的方法。在这一章中，我们提出了一个一般的优化问题，它可以看作是一个双有限线性规划问题m，并且我们证明了相关的dua一般化了几个众所周知的特殊情况。然后，我们将这种双重性框架应用于第4.2节中提出的一类新的风险管理模型。一般的二元关系。设（Φ，F）、（Γ，G）和（∑，S）为完备测度空间，设A:Γ×Φ→ R、 答：Γ→ R、 B：∑×Φ→ R、 b.∑→ R、 andc:Φ→ R在这些空间和相应的乘积空间上是有界可测函数。让MF、MG和MSbe分别对（Φ，F）、（Γ，G）和（σ，S）进行细分，得到一组签名度量。现在，我们分别考虑mf和MG×msp（P）supF上的一对优化问题∈ MFZΦc（x）df（x）s.t.ZΦA（y，x）df（x）≤ a（y），（y）∈ Γ），ZΦB（Z，x）df（x）=B（Z），（Z∈ ∑），F≥ 0和（D）inf（G，S）∈MG×MSZΓa（y）dg（y）+Z∑b（Z）ds（Z），S.t.ZΓa（y，x）dg（y）+Z∑b（Z，x）ds（Z）≥ c（x），（x∈ Φ），G≥ 0.我们声称有限编程问题（P）和（D）是彼此的对偶。定理2.1（弱对偶性）。

对于每个（P）-可行测度F和每个（D）-可行对（G，S），我们有zΦc（x）df（x）≤ZΓa（y）dg（y）+Z∑b（Z）ds（Z）。证据利用富比尼定理，我们得到了zΦc（x）df（x）≤ZΓ×ΦA（y，x）d（G×F）（y，x）+Z∑×ΦB（Z，x）d（S×F）（Z，x）≤ZΓa（y）dg（y）+Z∑b（Z）ds（Z）。在各种特殊情况下，如第3节中讨论的情况，强对偶性在正则性假设下成立，即（P）和（D）的最优值重合。强对偶适用的另一种特殊情况是，当测度F、G和S在适当的希尔伯特空间中具有密度时，参见第二作者的ForthcomingPhil论文[17]。我们注意到，如果一组允许的措施受到限制，约束中的数量可能会被削弱。例如，如果G被限制在一组相对于固定测度G绝对连续的测度中∈ MG，然后是数量（y∈ Γ）可以减弱为（G-几乎所有y）∈ Γ).3. 经典例子。orem 2.1的一般对偶关系推广了许多经典对偶结果，现在我们给出几个例子。Letp（x，…，xk）是k个参数的函数。然后我们写{x:p（x）≥0}:=1{y:p（y）≥0}（x）=（如果p（x）为1）≥ 否则为0,0。换句话说，我们把指示函数的参数x直接写入集合{y:p（y）≥ 0}定义函数，而不是使用单独的变量集。这种对符号的滥用将使我们更容易通过函数1{y:p（y）的参数来确定哪些不等式是可满足的≥0}（x）取值1。我们从Berts imas和Popescu[2]研究的矩问题开始，他们考虑了形式为（P’）supXP[r（X）的广义切比雪夫不等式≥ 0]s.t.Eu[Xk…Xknn]=bk，（k∈ J） ，X一个随机向量，取Rn中的值，其中r:Rn→ R是多元多项式，J是多元多项式 NNI是一组有限的多指标。

换句话说，X的某些时刻是已知的。通过选择Φ=Rn，Γ=,∑=J∪ {0}，B（k，x）=xk。xknn，b（k）=bk，（k∈ J） ，B（0，x）=1Rn，B（0）=1，c（x）=1{x:r（x））≥0}，其中我们使用了上面讨论的滥用符号。问题（P\'）成为第2节中考虑的原始问题的特例，（P）supFZRn{x:r（x）≥0}df（x）s.t.ZRnxk。xknnd F（x）=bk（k∈ J） ，ZRn1 d F（x）=1，F≥ 0.我们的双（D）inf（z，z）∈R | J |+1Xk∈Jzkbk+zs。t、 Xk∈Jzkxk。xknn+z≥ 1{x:r（x）≥0}，（x∈ Rn）很容易与Bertsimas&Popescu（D’）识别的双（D’）相同，（D’）inf（z，z）∈R | J |+1Xk∈Jzkbk+zs。T 十、∈ Rn，r（x）≥ 0=>Xk∈Jzkxk。xknn+z- 1.≥ 0, 十、∈ Rn，Xk∈Jzkxk。xknn+z≥ 0.注意，由于Γ，∑是有限的，（D\'）的约束是多项式共正性约束。这种类型的半无限编程问题的数值解可以通过半无限编程松弛的嵌套层次结构来实现，从而产生对（D\'）更好的逼近。在这个层次结构中，最高级别的问题保证能精确地解决（D’）e，尽管相应的SDP在维数n、多数r、a和inmaxk的树中是指数大小的∈J（皮基）。有关更多详细信息，请参见[2,10,7]和下文第4.6节。接下来，我们考虑R¨uschendorf[15,16]和Ramachandran&R¨uschendorf[14]，（P\'）supF研究的边际问题∈ MF，。。。，FnZRnh（x）df（x），其中MF，。。。，Fn是RN上概率测度的s e t，其边缘具有cdfsFi（i=1，…，n）。

通过设置c（x）=h（x），Φ=Rn，Γ=, ∑=Nn×R，B（i，z，x）=1{y:yi≤z} （使用前面讨论的滥用符号）和bi（z）=Fi（z）（i∈ Nn，z∈ R） ，（P）supFZRnh（x）df（x）s.t.ZR{xi≤z} df（x）=Fi（z），（z∈ R、 我∈ Nn）F≥ 0.采用双重标准，我们发现（D）infS，。。。，SnnXi=1ZRFi（z）dsi（z）s.t.nXi=1ZR{xi≤z} d Si（z）≥ h（x），（x∈ Rn）。符号度量的是有限变量，函数Si（z）=S((-∞, z] ）和极限si=limz→∞Si（z）=S((-∞, +∞)) 定义明确。此外，使用limz→-∞0和limz=→+∞Fi（z）=1，我们有nXi=1ZRFi（z）ds（z）=nXi=1Fi（z）Si（z）|+∞-∞-ZRSi（z）d Fi（z）=nXi=1si-nXi=1ZRSi（z）dfi（z）=nXi=1ZR（si）- Si（z））dfi（z），同样，nXi=1ZR{xi≤z} d Si（z）=nXi=1Z+∞xi1 d Si（z）=nXi=1（Si- Si（xi））。写hi（z）=si- 因此，Si（z），（D）相当于（D’）infh，。。。，hnnXi=1ZRhi（z）d Fi（z）s.t.nXi=0hi（xi）≥ h（x），（x∈ Rn）。这是Ramachandran&R–uschendorf[14]的双重身份。由于函数hi的一般形式，有限规划问题（D\'）在数值计算中不直接可用。然而，对于特定的h（x），（D\'）-可行函数（h，…，hn）有时可以被构造，从而根据定理2.1得出最优目标函数值（P\'）的上界。Embrechts&Puccetti[3,4,5]使用这种方法推导了X+···+Xn上的分位数界，其中X是一个具有已知边缘但未知联合分布的r andom向量。在这种情况下，相关的原始目标函数由h（X）=1{X:eTx定义≥t} ，在哪里∈ R是一个固定的水平。更一般地说，h（x）=1{x:ψ（x）≥t} 可以选择，其中ψ是相关的风险聚合函数，或者h（x）可以模拟任何选择的风险度量。我们的下一个例子是带有Copula边界的Mar-ginal问题，这是对[3]中提到的边际问题的扩展。

由亲婴儿测量F定义的连接词是函数cf:[0，1]n→ [0,1]，u7→ FF-1（u），F-1n（联合国）.copula是任何函数C:[0，1]n→ [0,1]对于Rn的某些概率测量，sa tis FIE s C=Cf。等价地，copula是单位立方体[0，1]n上具有均匀边缘的任何概率测度的多元cdf。在量化风险管理中，使用modelsupF∈ MF，。。。，FnZRnh（x）df（x）约束具有边际分布的随机向量x的最坏情况风险可能过于保守，因为假设xi的坐标之间没有依赖结构。决定这种依赖性的结构是群体CF，其中F是X的多元分布，Embrechts&Puccetti[3]提出了（P\'）supu形式的问题∈MF，。。。，FnZRnh（x）du（x），s.t.二氧化氯≤ 查阅≤ Cup，作为一种天然的框架来研究部分独立信息可用的情况。在问题（P\'）中，Clo和cup被赋予了连接函数，而pula之间的不等式由逐点不等式Clo（u）定义≤ CF（u）（u）∈ [0,1]n）。同样，（P\'）是第2节研究的通用框架的一个特例，因为它相当于写（P）supFZRnh（x）df（x）s.t.ZRn{x≤（F）-1（u），。。。，F-1n（un））}（u，x）df（x）≤ 杯（u），（u）∈ [0,1]n），ZRn- 1{x≤（F）-1（u），。。。，F-1n（un））}（u，x）df（x）≤ -Clo（u），（u）∈ [0,1]n），ZRn{xi≤z} （z，x）df（x）=Fi（z），（i）∈ Nn，z∈ R） ，F≥ 这个问题的对偶由（D）infGup，Glo，S，。。。，SnZ[0,1]nCup（u）d Gup（u）-Z[0,1]nClo（u）d Glo（u）+nXi=1ZRFi（Z）d Si（Z）s.t.Z[0,1]n{x≤（F）-1（u），。。。，F-1n（un））}（u，x）d Gup（u）-Z[0,1]n{x≤（F）-1（u），。。。，F-1n（un））}（u，x）d Glo（u）+nXi=1ZR{xi≤z} d Si（z）≥ h（x），（x∈ Rn）、Glo、Gup≥ 0.使用第3节中介绍的符号si，si，这个问题可以写成NFGUP，Glo，S，。。。SnZ[0,1]nCup（u）d Gup（u）-Z[0,1]nClo（u）d Glo（u）+nXi=1ZR（si）- Si（z））dfi（z）s.t。

Gup（B（x））- Glo（B（x））+nXi=1（si）- Si（xi））≥ h（x），（x∈ Rn）、Gup、Glo≥ 0，其中B（x）={u∈ [0,1]n:u≥ （F（x），Fn（xn））}。据我们所知，这种双重ha以前从未被识别过。由于原始和对偶中变量空间和约束空间的高维性，即使是非常粗糙的不可分近似，也很难用数值方法求解带有copula边界的边缘问题。4.通过积分边界进行稳健的风险聚合。在定量风险管理中，分布通常是根据可用数据在一个参数族内估计的。例如，边际分布的尾部可以通过极值理论进行估计，或者高斯copula可以适用于考虑的所有风险的多变量分布，以建模其相关性。参数族的选择引入了模型不确定性，而通过统计估计从该族中拟合分布引入了参数不确定性。在其他情况下，一个更可靠的替代方案是研究模型，其中可用数据仅用于估计公式zΦφ（x）df（x），（4.1）的整数的上下界，其中φ（x）是一个合适的测试函数。从样本数据xi（i）估计此类积分的上下限的合适方法∈ Nk）是通过自举估计密度界限。4.1. 动机为了鼓励以积分（4.1）的边界形式使用约束，我们提供以下解释：首先，离散化边缘约束的形式是分段常数测试函数，要求Fi（ξk）- Fi（ξk）-1） =bk（k=1，l) 对于一组固定的离散点ξ<···<ξl可表示为zΦ{ξk≤xi≤ξk-1} df（x）=bk，（k=1，l).

（4.2）此外，将每个平等约束放松为两个不平等约束是很自然的lk、 我≤ZΦ{ξk≤xi≤ξk-1} df（x）≤ buk，iwhen BK是根据数据估算的。更多通用汽车拉力赛，形式P[X]的约束∈ Sj]≤ 对于一些可测量的 感兴趣的RN可以写成ΦSj（x）df（x）≤ 布吉。一系列l 这种形式的约束可以通过c onvexcombinationZ重新设置来放松lXj=1wjSj（x）df（x）≤lXj=1wjbuj，其中权重wj>0满足ypjwj=1，并表示每个成分约束的相对重要性。因此，非负测试函数可以自然地解释为约束松弛和中的重要性密度。这使得人们能够更专注于在其特别重要的地区（例如，占金融机构大部分资产的X值）获得正确的概率质量，同时最大化尾部的风险，而不必诉诸于过于明确的分类。虽然这建议使用X的密度先验估计的分段近似作为测试函数，但在该先验的错误规定下，结果是稳健的，只要φ（X）是非恒定的，涉及积分（4.1）的约束往往会迫使X的概率权重进入样本点更密集的区域。为了说明这一点，考虑一个密度为x=2/3（1+x）的单变量随机变量∈ [0,1]和测试函数φ（x）=1+ax∈ [-1, 1]. 然后rφ（x）f（x）d x=1+5a/9。[0,1]上最分散的概率测度，即满足度φ（x）df（x）=1+5a（4.3），在0时的atom为4/9，在1时的atom为5/9，只要a 6=0。