用有限差分法重构复杂网络的拓扑性质

结果是两个交替的rRMSE s（我们将其表示为RX和rOhm十、 分别）提供BS方法准确性的不同估计。事实上，rXtests能够重现集合采样的单个输出，而rOhm外部参照系综上预期的X理论值。请注意，由于合奏Ohm（z） 是通过fifitness模型，通过构建r生成的Ohm十、→ 0代表n→ N然而，rXdoes不一定趋向于零，因为生成的配置是Gis的单一实现Ohm（z） 因此，一般X（G）6=hXiOhm（z） 。在真实网络上测试。实际网络的测试程序与上述程序等效，唯一的区别是，Gand Xa现在是经验网络，X值分别在此类网络上计算。在这种情况下，rRMSE表示为rRX。我们再次回顾，由于适应性模型只是真实网络的近似值，在这种情况下，我们预计BS重建的误差比合成网络的误差更大。后果为了研究BS重建的准确性，我们研究了我们考虑的各种拓扑特性的rRMSE如何随用于校准ERG模型的节点子集的大小而变化（即，关于度的信息可用）。WTW的结果如图2所示，E-mid的结果如图3所示。我们观察到，在所有情况下，随着用于重建拓扑结构的节点数n的增加，相对误差都会迅速减小。这表明了BS方法提供的估算结果的可靠性。正如预期的那样，真实网络的rRMSE比合成网络的rRMSE更高，两条曲线之间的差异给出了用适应性模型对真实网络中的误差进行的定量估计。

这种差异在中前期高于WTW，这一事实与后一种情况下观察到的淋巴结密度和淋巴结程度之间更好的相关性直接相关。还要注意的是，对于相应的合成网络，E-mid的误差也高于WTW的误差。这个特性很容易用WT的更高链接密度来解释。在后一种情况下，我们使用pij=haijiOhm（z） 作为邻接矩阵元素的期望值，定义（4,5,6,7）。0,01 0,1 10050,10150,20,25rRrrOhm0,01 0,1 10010020030040050060,01 0,1 1n/N0020040060080,10120,01 0,1 10020040060080,10120,14图2：不同n值的各种拓扑特性的rRMSE，通过BS方法在真实WTW网络中获得，并在通过fififitness模型获得的合成版本上获得。左上角：密度D；右上角：聚类系数c；botto m left：平均最近邻度knn；右下角：富有的俱乐部效率。（D） 相对于E-mid（D 0.2 0）：稠密r网络更容易重建，因为节点有更多的链接，因此携带更多的信息供BS方法利用（随着函数被驯化）。6结论在本文中，我们测试了一种新的网络重建（BS）方法，该方法允许仅使用其连通性的部分信息来估计网络的拓扑属性，以及与每个节点相关的非拓扑数量（解释为fifight）。这种方法特别适用于克服拓扑信息的缺乏，这通常会阻碍复杂网络的研究。

我们在经验网络以及通过适应性模型生成的合成网络上测试了该方法，并研究了该方法如何能够很好地估计广泛用于描述网络模式的基本拓扑特性：连通性、分类性、聚类系数和富俱乐部系数。我们发现这些属性可以准确地重建，例如，公差通常在2%到0,01 0,1 10,20,40,60,8rRrr之间Ohm0,01 0,1 10050,10150,20250,01 0,1 1n/N0,10,20,30,40,01 0,1 10020040060080,1图3：不同n值的各种拓扑特性的rRMSE，通过BS方法在真实E-mid网络中获得，并在通过Fifitness模型获得的合成版本上获得。左上角：密度D；右上角：聚类系数c；botto m left：平均最近邻度knn；botto m right：仅使用5%的节点的rich clubcoe效率φ.15%（取决于所检查的属性）。我们还发现，BS方法在更密集的网络（有更多信息可用）中带来了更好的估计；此外，方法的有效性在很大程度上取决于用于描述经验数据集的能力模型的准确性。在WTW的情况下，可用性模型相当准确地描述了如何在GDP[13]的基础上形成跨国家的链路，因此BS能够有效地重建网络拓扑属性。在E-mid的情况下，适应性模型不太准确，SO是BS方法，但后者仍然可以产生有用的结果。虽然最初认为一小部分节点能够高精度地估计网络的全局新兴特性可能令人惊讶，但重要的是要注意，BS方法假设所有节点的能力以及能力模型在描述数据时的有效性。

因此，当考虑高阶拓扑性质作为公共结构时，可能会产生这种方法的简化。在这些情况下，该方法可能需要更大的初始信息才能获得相同的结果。对这些案件的调查留待将来研究。最后要注意的是，与过去的工作[2,6,7,8,9]相反，在本文中，我们着重于估计以前未经测试的网络数量，即网络的最基本属性。这使我们能够扩大估计值与观测值显著一致的房地产的数量。事实上，任何网络重建方法在用于更高要求的任务之前，都必须根据这些基本量进行测试，这些任务对于一类网络来说是特定的（例如金融网络中的系统风险估计）。因此，我们在这里介绍的BS方法的验证也允许我们将其适用性扩展到复杂系统中任何一组组件之间的依赖关系。致谢这项工作得到了欧盟项目GROWTHCOM（611272）、意大利PNR项目CRISISLab、欧盟项目MULTIPLEX（317532）和荷兰科学研究组织（NWO/OCW）的支持。DG感谢荷兰经济物理学基金会（Stichting Eco nophysics，荷兰莱顿）的支持，该基金会的资金来自Duyfken Trading Knowledge BV（阿姆斯特丹，荷兰）的福利机构。参考文献[1]Claus et，A.，Moore，C.，Newman，M.：网络中的层次结构和缺失环节预测。《自然》杂志453（7191），98-101（2008）。[2] 马斯·特罗马特奥，I.，扎里内利，E.，马西里，M.：重建金融网络以稳健估计系统风险。J.统计机械师。理论实验。

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