交易限制下的稳健定价和套期保值

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英文标题：
《Robust pricing and hedging under trading restrictions and the emergence
  of local martingale models》
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作者：
Alexander M.G. Cox, Zhaoxu Hou and Jan Obloj
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We consider the pricing of derivatives in a setting with trading restrictions, but without any probabilistic assumptions on the underlying model, in discrete and continuous time. In particular, we assume that European put or call options are traded at certain maturities, and the forward price implied by these option prices may be strictly decreasing in time. In discrete time, when call options are traded, the short-selling restrictions ensure no arbitrage, and we show that classical duality holds between the smallest super-replication price and the supremum over expectations of the payoff over all supermartingale measures. More surprisingly in the case where the only vanilla options are put options, we show that there is a duality gap. Embedding the discrete time model into a continuous time setup, we make a connection with (strict) local-martingale models, and derive framework and results often seen in the literature on financial bubbles. This connection suggests a certain natural interpretation of many existing results in the literature on financial bubbles.
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中文摘要：
我们考虑在有交易限制的情况下，在离散和连续时间内，衍生工具的定价，但不对基础模型进行任何概率假设。特别是，我们假设欧洲看跌期权或看涨期权在某些到期日进行交易，这些期权价格隐含的远期价格可能会随着时间的推移而严格下降。在离散时间内，当看涨期权交易时，卖空限制确保没有套利，我们证明了经典对偶性在最小超复制价格和所有超鞅测度下的收益预期的上确界之间成立。更令人惊讶的是，在唯一的普通期权是看跌期权的情况下，我们证明了存在二元性缺口。将离散时间模型嵌入到连续时间系统中，我们与（严格的）局部鞅模型建立了联系，得到了金融泡沫文献中常见的框架和结果。这种联系表明，对金融泡沫文献中的许多现有结果有某种自然的解释。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Robust_pricing_and_hedging_under_trading_restrictions_and_the_emergence_of_local.pdf (384.6 KB)

2022-5-6 07:01:28 上传

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关键词：套期保值 Restrictions Mathematical Quantitative Expectations

交易限制下的稳健定价和套期保值与局部鞅模型的出现*Alexander M.G.Cox+侯昭旭Jan Ob l\'oj§2018年10月30日摘要我们采用稳健的定价和套期保值方法，其中没有固定的概率度量，但不同到期日和行权的看涨期权或看跌期权最初可以按其市场价格进行评级。通过指定可行路径集，我们允许包含稳健的建模假设。在没有卖空的离散时间设置中，我们描述了没有套利的情况，并表明，如果买入期权进行交易，则通常的定价对冲二元性得以保留。相比之下，如果只交易期权，可能会出现二元性缺口。将结果嵌入到一个连续的时间框架中，我们证明了对偶缺口可以被解释为一个金融泡沫，并将其与严格的局部鞅联系起来。这为严格的局部鞅提供了内在的调整，作为交易限制和当前市场价格组合产生的金融泡沫的模型。1简介通过考虑在风险中性度量下确定支付预期价值的双重问题，期权定价和套期保值的方法既经典又广为人知。正如Black和Scholes[5]所说，在一个完整的市场环境中，这只是计算套期保值价格的方法。在不完全市场中，该方法起源于El Karoui和Quenez[17]，最终在Delbaen和Schachermayer[15]的开创性工作中达到顶峰。几乎同样经典的问题是，在可接受的投资组合集合上的各种约束条件下，找到超边际价格。这类问题出现在Cvitani\'c和Karatzas[12]中，对冲问题中的凸约束导致*侯昭旭感谢牛津曼恩定量金融研究所和牛津巴利奥尔学院的支持。

Jan Ob l\'oj感谢欧洲研究理事会根据欧盟第七框架计划（FP7/2007-2013）/ERCgrant agreement no.335421收到的资金。Jan Ob l\'oj还感谢牛津曼恩定量金融研究所和牛津圣约翰学院的财务支持。+巴斯大学，电邮：a.m.g。cox@bath.ac.uk，网址：http://www.maths.bath.ac.uk/~mapamgc——牛津大学，电子邮件：赵旭。hou@maths.ox.ac.uk，网址：http://www.maths.ox.ac.uk/people/profiles/zhaoxu.hou§牛津大学，电子邮件：Jan。Obloj@maths.ox.ac.uk，网址：http://www.maths.ox.ac.uk/people/profiles/jan.obloj.a双重问题，即在一类辅助市场中寻找衍生工具收益的最大预期，其中辅助市场是反映交易约束的原始市场的修正。在参与者不得卖空资产的市场的特殊情况下，辅助市场的类别对应于超级马丁格尔测度的类别。[Lazi，Toui]和[Cvitan]的研究结果在本文中，我们将交易约束与稳健衍生产品定价的概念相结合。在稳健定价中，我们的目标是通过不预先假设标的资产存在给定的概率模型来最小化建模假设。相反，我们通过两个较弱的假设替换建模假设：首先，我们假设我们观察到的价格过程的实现将存在于一些可能的结果集合中，例如：。

其平方差之和以某一给定常数为界的路径集，或连续时间模拟，即以给定常数为界的二次变化路径集；第二，我们假设，对于市场上观察到的价格，有额外的期权可以在零时间进行交易。在本文中，我们假设交易的附加期权是欧式看跌期权或看涨期权。特别是，我们将假设在固定的到期日，所有相关看跌期权/看涨期权的价格都是已知的。在任何校准模型中，看跌期权和看涨期权的存在都会改变风险中性度量下的过程法则——这是Breeden和Litzenberger[7]首次观察到的事实，因此限制了我们优化的概率度量集。最近，人们对稳健的定价问题产生了浓厚的兴趣，其文献可以追溯到霍布森的开创性论文[23]。本文的结果基于Beiglb¨ock等人[4]的离散时间方法，其中使用最优运输的概念显示了对偶结果。在离散时间环境下，我们的结果可以总结如下：我们假设我们在到期日T<T<····<Tn给出了一系列看涨价格函数。我们证明，这些价格与某些自然套利类型的缺失是一致的，当且仅当它们产生一系列概率测度u，u非Rn+，满足自然排序特性。如上所述，这些对应于可行的风险中性措施下资产的隐含边际分布。（请注意，自始至终，我们假设所有资产都以某种计价单位计价，例如通过货币市场账户贴现）。按经典的顺序排列。

然而，在缺乏卖空资产的能力的情况下，当mk=Rxuk（dx）>Rxuk+1（dx）=mk+1时，不可能产生套利，因此根据（隐含的）风险中性度量，资产的预期价值在以后到期时可能会更小。然后我们证明，涉及看涨期权和资产多头头寸的投资组合的最小价格，以及P中每条路径的衍生工具的超边际价格，等于衍生工具的预期价值的上确界，其中上确界覆盖了对P有充分支持的所有超边际测度，Tkis的资产定律等于uk。这一结果概括了Beiglb¨ock等人[4]的推论1.1，包括对路径P的特定集合的限制和卖空约束。还要注意的是，如果度量值ukall具有相同的平均值，即等于初始股价s，则超鞅度量的类别就是鞅度量的类别。我们还考虑了一组看涨期权被相同期限的看跌期权取代的情况。由于不允许对资产进行卖空，因此，即使一组可能适用的边际法则保持不变，也不能立即比较看涨期权可用于交易的情况。在这种情况下，我们表明，当初始资产价格严格大于某些到期日的隐含平均值时，就会出现二元缺口。

特别是，最便宜的超级优势和最大的模型一致价格之间不再平等——相反，我们看到了一种差异，这种差异可以通过履约到最终的看跌期权价格的限制行为来描述。这种二元性差距最简单的例子出现在考虑资产上的远期合同的隐含价格之间的差异时——将远期合同视为在未来某个日期Tk向持有人支付资产价值的合同，那么远期合同将有一个模型隐含价格mk=Rxuk（dx），在利益的情况下，将严格小于资产s的初始价格。在买入期权交易的情况下，可使用买入期权为MK对远期进行超级对冲（行使0的买入期权与远期具有相同的支付）。在买卖看跌期权的情况下，情况并非如此——相反，最便宜的超级复制策略将只是在时间0购买资产，这会产生成本s。从历史上看，文献中对资产价格的研究相对较少，在风险中性度量下，资产价格是严格的超级定价。它们的主要出现是作为金融泡沫研究的模型，其中考虑了严格的局部鞅。我们相信，我们在离散时间和连续时间内的研究结果，有助于并提供了一个关于金融泡沫的现有文献的新视角。在数学金融领域，使用局部鞅模型对金融泡沫进行建模可以追溯到Heston等人[22]，随后的贡献包括Coxand Hobson[10]；Jarrow等人[26,27]。在Heston等人之前。

[22]许多作者观察到，在某些情况下，仅为严格局部鞅的模型自然地和/或本身就很有趣（并可归因于某些财务解释）；见刘易斯[29]；Delbaen和Schachermayer[16]；Loewenstein and Willard[30]；罪[38]。一类自然发生的局部鞅模型最常见的例子是CEV模型，dSt=SαtdBt，S=S，其中α>1。在α=2的情况下，我们可以恢复三维贝塞尔过程的逆过程，这在德尔巴恩和舍尔迈耶[16]中进行了研究。最近，还研究了二次正态波动率（QNV）模型，它们是最严格的局部鞅，但通常很好地根据市场数据进行校准；参见卡尔等人[9]。我们通过将离散时间结果嵌入一个连续的时间框架来构建我们对这篇文献的贡献。考虑资产动态交易的连续时间框架，以及最初为某些固定期限交易的看涨期权或看跌期权。然后，通过考虑仅在期权到期日重新平衡的交易策略，可以自然地纳入离散设置。离散时间超鞅测度是通过满足给定边界条件的局部鞅测度的投影得到的。看跌期权交易时，二元套利保值，这种缺口可能被解释为金融泡沫。为了实现这一概括，有必要引入一个可行的超边缘要求，该要求强制执行一项附带要求。考克斯和霍布森[10]已经考虑过类似的要求。因此，我们认为本文的一个重要结果是对严格超鞅中的局部鞅模型的以下解释，即超鞅是一个非鞅的超鞅。

由于我们只考虑有限时间范围内的非负过程，因此严格超鞅是具有非常数期望值的超鞅。同样，严格非负局部鞅是局部鞅，也是严格超鞅。金融应用：由于交易限制，本地市场模型自然会出现。这对关于金融泡沫的现有文献产生了影响：从本质上讲，我们认为资产价格为严格局部鞅（在风险中性度量下）的模型是由于可能的交易策略受到限制而产生的模型。因此，它们完全符合资产定价和经济学文献中的理性或投机泡沫。这些通常是由卖空约束和/或代理人之间由于异质信念或过度自信而产生的基本价值观分歧所驱动的，见Hugonnier[24]、Harrison and Kreps[20]和Scheinkman and Xiong[37]。严格的局部鞅模型是一类非常自然的泡沫模型，因为存在一个与交易价格不同的“基本”价格的自然通知。然而，正如weshow所说，这种分歧是“理性的”，是由没有套利和交易限制所驱动的，就像在投机泡沫中一样。这不同于“非理性泡沫”的情况，即资产的市场价格与其基本价格之间的差异是由市场参与者的某些行为方面而不是特定的市场特征驱动的。

从严格意义上讲，本文对非理性金融的研究是对非理性金融的重要贡献。我们还观察到，尽管我们在连续时间内给出了局部鞅模型的结果，但我们的方法完全植根于离散时间设置，并且连续时间内的所有PricingResult基本上遵循相应的离散时间结果。一种解释是，这些模型因此是局部鞅模型的自然离散时间类比（从这个意义上说，我们的结果为Protter[35]中讨论的第一个批评提供了另一种回应；另见Jarrow和Protter[25]）。然而，在我们看来，这意味着更自然地运行在另一个方向上：在离散时间中，我们的模型非常自然，并且易于指定。然而，在连续时间中，局部鞅是非常微妙的过程，局部鞅和鞅之间的差异不容易发现——我们的论文提供了一个明确的特定时间设置，可以在连续时间内解释为局部鞅模型。因此，在我们的设置中，本地鞅现象自然出现，并反映特定的市场条件。这与Guasoni和Rasonyi[19]的观点形成了对比，他们反对局部鞅模型，因为它们总是可以被鞅模型逼近。卖空禁令作为抑制投机和稳定市场的监管工具，在新兴市场和金融危机时期很受欢迎。在美国。

2008年9月19日至10月8日，美国证券交易委员会禁止在美国市场卖空797只金融股。大约在同一时间，韩国金融监督管理委员会（Financial Supervisory Commission）全面禁止卖空任何上市股票，以遏制市场上恶性谣言的蔓延。一年后，对非金融类股票的禁令解除，而对金融类股票的限制一直持续到2013年11月。有趣的是，美国和韩国都有非常活跃的衍生品市场。在这两个例子中，卖空禁令都没有延伸到衍生品市场。这使得做市商和投资者可以使用期权对冲投资组合，表达悲观看法。鉴于全球范围内的一系列卖空禁令，它们对股票和衍生品市场的影响问题再次成为学术界和政策制定者关注的问题，参见Battalio和Schultz[2]，Hendershott等人[21]；本论文代表了对该文献的理论贡献。Battalio和Schultz[2]研究了2008年9月美国的卖空禁令，发现被禁股票的综合股价（分别计算看跌期权和看涨期权）显著低于实际股价，并伴随着买卖价差的增加。该发现以mk<s响应我们论文的设置，使其特别有趣。最后，我们注意到，在进行研究的同时，Fahim和Huang[18]以及Bayraktar和Zhou[3]考虑了离散时间稳健定价和带有交易限制的对冲。Fahim和Huang[18]使用了最优鞅运输的概念，但假设市场投入以分布的形式存在，并满足一组假设，在我们的论文中，这些假设的特点是套利机会。