破产约束下的最优股利支付：指数情形

对于这些值，不同∧值的V∧（x）图反映了最小∧的存在*> 0.要找到它，请找到b*这满足了ψb*（x） =kT并使用命题3.2得到∧*, 参见图3。最优解是V∧*（x） 最佳屏障为b*.KTx0ψ0.8ψb*xψbL*lvlhx0l图3：活动约束。现在，让T和xhave的值使得KT=^ψ（x）。对于这些值，不同∧值的V∧（x）曲线图显示，在∞ 值为0时，请参见图4。在这种特殊情况下，我们得出结论：V（x）=0，因此对于（P1），最优策略是什么都不做。KTx0ψ`HxLψ0.8xψBLVLHX0L图4：什么都不做。在最后一种情况下，让T和xhave的值使得kT位于^ψ（x）之上。对于这些值，不同∧值的V∧（x）图反映了在∞. 这是因为没有b，所以ψb（x）=KT，见图5。这个问题是不可行的，所以它的最优值是-∞.KTx0ψ0.8xψb-300-200-100图5：问题不可行。图6显示了K的无约束（实线）和约束问题（虚线）的值函数。在这种情况下，对于x<4.23，约束问题的值函数等于-∞.xVFigure 6:V（x）用于无约束和约束问题。最后，图7显示了问题（P1）的解决方案如何通过（x，KT）、δ、^ψ（x）和ψb（x）水平线的图形表示。1KTψbo*HxLψ`hxlinactiveactiviteunfasiblexψb图7：溶液描述。6结论和未来工作在经典股息问题的框架内，稳定性和盈利能力之间存在权衡。最小化破产概率可能导致无股息支付，而最大化贴现支付的预期值则会导致股息支付趋势，无论初始金额x为多少，收益都是确定的。

在这项工作中，我们研究了一种从股息支付策略D中得出的将利润和破产时间联系起来的方法。我们引入了一种对破产时间施加约束的限制。在索赔额呈指数分布的情况下，我们利用对偶理论成功地解决了约束问题。考虑一下一般索赔分配问题是未来研究的一部分。正在进行的研究还涉及不同类型的限制和依赖时间的最优策略。一个辅助引理A.1。设rbe为特征多项式（7）的负根。然后r+α>0。证据r+α>0<==>-αc+（λ+δ）-p（[αc- （λ+δ）]+4cαδ）2c+α>0<==> 2cα>αc- （λ+δ）+p（[αc- （λ+δ）]+4cαδ）<==> cα+（λ+δ）>p（[αc- （λ+δ）]+4cαδ）<==> cα+（λ+δ）>p（[αc+（λ+δ）- 2（λ+δ）+4cαδ）<==> cα+（λ+δ）>p（[αc+（λ+δ）]- 4（αc+（λ+δ））（λ+δ）+4（λ+δ）+4cαδ）<==> -4（αc+（λ+δ））（λ+δ）+4（λ+δ）+4cαδ<0<==> 4（αc+（λ+δ））（λ+δ）>4（λ+δ）+4cαδ<==> 4αc（λ+δ）>4cαδ<==> 4αcλ>0。引理A.2。设ψb（x）为问题（A1）的解。为了x≥ 0固定，ψb（x）在b中增加。证明基于计算的ψb（x）db。

对于x<bg（x）：=dψb（x）db=（α+r）（α+r）rerbαδ[rerb（α+r）- rerb（α+r）]（αδ[rerb（α+r）- rerb（α+r）]erx-（α+r）（α+r）rerbαδ[rerb（α+r）- rerb（α+r）]（αδ[rerb（α+r）- rerb（α+r）]erx-（α+r）rerbαδ[rerb（α+r）- rerb（α+r）]（αδ[rerb（α+r）- rerb（α+r）]）erx+（α+r）rerbαδ[rerb（α+r）- rerb（α+r）]（αδ[rerb（α+r）- rerb（α+r）]）erx。这个表达式的分子可以简化为αδr（α+r）（α+r）er（b+x）[rrerb（α+r）- rerb（α+r）- rerb（α+r）+rerb（α+r）]- αδr（α+r）er（b+x）[rrerb（α+r）- rerb（α+r）- rerb（α+r）+rerb（α+r）]=αδrr（α+r）（α+r）er（b+x）erb[r- r]- αδrr（α+r）（α+r）er（b+x）erb[r- r] =-αδrr（α+r）（α+r）er（b+x）erb[r- r] >0。现在，对于x≥ b、 ψb（x）=ψb（b），因此我们必须计算ψb（b）db=g（b）+（α+r）（α+r）rerbrerbαδ[rerb（α+r）- rerb（α+r）]-（α+r）rerberbαδ（erbr（α+r）- erbr（α+r））-（α+r）rerbαδ=g（b）+（α+r）（α+r）rre（r+r）bαδ[rerb（α+r）- rerb（α+r）]-（α+r）re2rb- （α+r）（α+r）rre（r+r）b+（α+r）re2rbαδ（erbr（α+r）- erbr（α+r））=g（b）>0。引理A.3。让x≥ 0和T≥ 0.如果KT=^ψ（x），则∧hEx[Rτb∧e-δsds]- KTi→ 0为∧→ ∞.证据根据命题4.1的证明，我们必须计算∧hψb∧（x）- KTias∧→ ∞. 此外，从命题3.2和引理A.2中，我们知道第二项变成了∧→ ∞. 自∧→ ∞ 相当于b→ ∞, 我们将计算-[ψb（x）- KT]dψb（x）d∧=-[ψb（x）- KT]dψb（x）dbdbd∧as b→ ∞.回想一下，ψb（x）=δ+（α+r）（α+r）rerb+rx- （α+r）（α+r）rerb+rxαδ[rerb（α+r）- rerb（α+r）]，KT=^ψ（x）=δ-α+rαδerx。

因此（ψb（x）- （KT）=（α+r）r[erx（α+r）- erx（α+r）]（αδ[rerb（α+r）- rerb（α+r）]erb.从命题3.2和引理A.2可以导出dψb（x）dbdbd∧=Δα（α+r）（α+r）[r- r] erber（b+x）（αδ[rerb（α+r））- rerb（α+r）]·e-rb（r（λ+δ）+αδ）- E-rb（r（λ+δ）+αδ）。现在-（ψb（x）- KT）dψb（x）dbdbd∧=-（（α+r）r[erx（α+r）- erx（α+r）]）e2rbαδ（r- r） （α+r）（α+r）ErbErx·（e）-rb（r（λ+δ）+αδ）- E-rb（r（λ+δ）+αδ）=-（α+r）r[erx（α+r）- erx（α+r）]）αδ（r- r） （α+r）（α+r）erx·（e）-rb（r（λ+δ）+αδ）- e（r）-2r）b（r（λ+δ）+αδ）），从中可以得出最后一个表达式变为0，即b→ ∞ 因为r<0<r.参考文献[1]S.阿斯穆森和H.阿尔布雷谢。破产概率。科学与应用概率。SpringServerLag，第二版，2010年。[2] P.阿兹库和N.穆勒。克拉姆-厄伦堡模型中的最优再保险和股息分配政策。《数学金融》，15（2）：2613082005。[3] H.B–乌尔曼。风险理论的数学方法。格伦德伦·德·维森查滕（Grundlehren der mathematischen Wissenschaften）。斯普林格·维拉格，1970年。[4] B.德费内蒂。这是一种另类的美食。在1957年第433-443页第2期第XVT届国际精算师大会的交易中。[5] P.格兰迪斯。一个有限时间内的最优消费问题，具有破产概率约束。预印本，2013年。[6] C.希普。破产约束下的最优股利支付：离散时间和状态空间。《法国外交部部长公报》，26（2）：255–264，2003年。[7] J.保尔森。有偿付能力约束的公司的最优股息支付。《金融与随机》，7（4）：457–473，2003年9月。[8] 施密德利。通过投资和再保险最小化破产概率。《应用概率年鉴》，12（3）：890–9072002。[9] 施密德利。保险中的随机控制。概率及其应用。斯普林格，2008年。[10] S.Thonhauser和H.Albrecher。

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