破产约束下的最优股利支付：指数情形

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英文标题：
《Optimal dividend payment under time of ruin contraint: Exponential case》
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作者：
Camilo Hernandez and Mauricio Junca
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We consider the classical optimal dividends problem under the Cram\\\'er-Lundberg model with exponential claim sizes subject to a constraint on the time of ruin. We introduce the dual problem and show that the complementary slackness conditions are satisfied, thus there is no duality gap. Therefore the optimal value function can be obtained as the point-wise infimum of auxiliary value functions indexed by Lagrange multipliers. We also present a series of numerical examples.
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中文摘要：
我们考虑了在破产时间约束下，具有指数索赔规模的克拉姆-伦德伯格模型下的经典最优红利问题。我们引入对偶问题，证明了互补松弛条件是满足的，因此不存在对偶间隙。因此，可以通过拉格朗日乘子索引的辅助值函数的逐点下确界来获得最优值函数。我们还提供了一系列数值例子。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Optimal_dividend_payment_under_time_of_ruin_contraint:_Exponential_case.pdf (1.32 MB)

2022-5-7 01:08:24 上传

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关键词：股利支付 Optimization Quantitative Exponential Game Theory

破产时间约束下的最优股利支付：指数索赔*Mauricio Junca+2022年3月2日摘要我们考虑了Cram’er-Lundberg模型下的经典最优红利问题，该模型具有指数索赔规模，且受破产时间的约束。我们引入对偶问题，并证明互补松弛条件是满足的，因此存在节点间隙。因此，可以通过拉格朗日乘子索引的辅助值函数的逐点形式获得最佳值函数。我们还提供了一系列数字样本。1引言精算学中描述保险公司准备金过程的研究最多的模型之一是克拉姆-伦德伯格模型。在该模型中，公司面临的索赔遵循复合泊松过程，保险客户支付固定保费。引入该模型后，此类投资组合的破产概率是该领域的主要利益之一，见[1]。目前，文献[8]证明了考虑再保险和风险资产投资的最小化破产概率的结果。在[9]中，显示了模型离散时间版本和离散近似的类似结果。然而，在一个模型中，一个不会以破产告终的过程超过了每一个有限的水平，也就是说，公司活在有限的时间内，积累了有限的资金，这在实践中是非常不现实的。这一想法促使人们研究此类投资组合的绩效，而不是安全方面。1957年，布鲁诺·德·费内蒂（Bruno de Finetti）有意寻找一种派发股息的方式，以优化从零到破产的股东总收入的预期现值。这个问题通常被称为德费内蒂问题，见[4]。

因此，研究人员在更一般、更现实的假设下解决了最优性问题，这已成为一个丰富而雄心勃勃的研究领域。参见[9]了解克拉姆-伦伯格模型及其扩散近似中关于这个问题的结果，以及[2]考虑再保险时的结果。在指数索赔的情况下，见[9]，de Finetti问题的最优股息支付策略被称为障碍策略，即存在一个值b，使得最优策略*哥伦比亚波哥大洛斯安第斯大学数学系。电邮地址：mc。hernandez131@uniandes.edu.co+哥伦比亚波哥大洛斯安第斯大学数学系。电子邮件地址：mj。junca20@uniandes.edu.cois让Dt=[`Xt- b]∨ 0，其中“XT”表示到时间t的最大储备过程X。然而，在一般设置中，解决方案不一定是这种类型的。在[2]中，作者提供了一个索赔分配的例子，其中没有最优的障碍策略。然而，在稳定性和稳定性之间存在一种权衡。最小化破产概率意味着没有股息支付，利润趋于0。相反，股息最大化会导致一种情况，即无论初始资本是多少，破产都是确定的，见[3]。这项工作的目的是研究如何将克拉姆-伦德伯格模型的最优分配理论中的两个关键概念联系起来：股息支付策略产生的利润和破产时间。我们已经考虑过这方面的方法，参见[6]，了解离散时间和状态下破产约束下最优股息支付问题的解。在[7]中，作者介绍了SolvencConstraints的概念，并研究了它们如何影响屏障的最佳水平。

在[10]中，作者考虑了经典近似模型和差分近似模型，并在目标函数上引入了破产时间的惩罚，但在这项工作中没有说明破产时间的实际限制。最后，在[5]中引入的模型考虑了这一联系，但情况有所不同。更具体地说，[5]提出了一个迭代方案，以解决在给定破产概率上限下，最大化投资者在有限时间内的预期贴现消费，并对破产时的准备金水平进行惩罚的问题。本文的组织结构如下：第2节致力于所考虑问题的表述，并用对偶理论重写它。在接下来的章节中，在指数索赔规模假设下，我们给出了本文的主要结果。我们首先在第3节中集中解决对偶问题，然后在第4节中展示了这个问题不存在对偶缺口。本文的贡献既依赖于破产时间约束下的最优股利支付问题的解，也依赖于为证明该问题的对偶映射为零而开发的工具。第5节专门介绍数值示例，这些示例说明了解决方案的不同场景。在最后一节中，我们给出了本研究的结论，并提出了继续这项工作的方向。2问题公式在本文中，我们考虑了克拉姆-伦德伯格风险模型，其中盈余遵循以下过程：Xt=x+ct-NtXi=1Yi，其中N=（Nt）t≥0表示速率λ>0的齐次泊松过程，模拟claimoccurrence。{Yi}建模索赔金额的顺序，{Yi}iid~ G（y），带G（.）是[0]上的连续分布函数，∞). 假设{Yi}独立于索赔事件n。

初始资本率和初始资本率中的确定性成分都是相同的(Ohm, F、 （Ft）t≥0，P），带（Ft）t≥0流程X产生的过滤。允许保险公司支付流程D=（Dt）t模拟的股息≥0代表截至时间t的累计支付。如果是一个非负、非递减的c`adl`ag过程，适用于过滤（Ft）t，则称为可接受股息过程≥0.因此，进程D下的Surplus进程读取为xdt=x+ct-NtXi=1Yi- Dt。（1） 设τD注意红利过程D下的破产时间，即τD=inf{t≥ 0:XDt<0}。我们要求分红过程不要导致破产，即Dt-- Dt≤ xdt对于所有t和Dt=DτDfort≥ τD，因此破产后不支付股息。我们称Θ为这类过程的集合。公司希望随着时间的推移，股息支付贴现流的预期价值最大化，即最大化Vd（x）：=ExhZτDe-δtdDti，公司的寿命将由其破产决定，见[10]。此外，δ是折扣因子。最后，我们对股息过程D增加了一个限制，我们通过方程Ex“ZτDe”对其建模-δsds#≥中兴通讯-δsds T≥ 0固定。（2） 这种限制背后的动机是对破产时间的限制。为了简单起见，让我们用KT表示限制的右侧，即KT:=RTe-δsds。注意，KT∈ [0，δ），且kT越大，τD必须越大。显然，还有其他限制以更直接的方式捕捉这种影响，例如，e[τD]≥ K

然而，据我们所知，没有一种令人满意的方法在模型中引入此类约束；此外，正如在以下章节中所明确的，所选择的约束函数形式与模型平滑匹配。结合以上所有组件，我们陈述了我们要解决的问题：V（x）：=supD∈ΘVD（x）s.t.Ex“ZτDe-δsds#≥ KTT固定。（P1）为了解决这个问题，我们使用拉格朗日乘数来重新表述我们的问题。我们为∧定义了以下内容：≥ 0VD∧（x）：=Ex“ZτDe-δtdDt+ZτDe-δsds#- ∧KT。（3） 下面的评论明确了我们将在本文剩余部分遵循的策略。备注2.1.o请注意，（P1）相当于supD∈Θinf∧≥0VD∧（x）sinceinf∧≥0VD∧（x）=VD（x）如果Ex“RτDe-δsds#≥ KT-∞ 否则（P1）的对偶问题定义为∧≥0supD∈ΘVD∧（x），（D）始终是原始（P1）的上界。主要目的是证明supD∈Θinf∧≥0VD∧（x）=inf∧≥0supD∈ΘVD∧（x）。为了求解（D），我们注意到（3）的最后一项不依赖于D，并且在∧上是线性的，因此，我们可以关注该方程右侧的第一项，并求解固定∧≥ 0V∧（x）：=supD∈ΘVD∧（x）。（P2）对于这个问题，已知其解必须满足以下HJB方程，即[10]max{∧+cV（x）+λZxV（x）中的位置11- y） 总经理（y）- （λ+δ）V（x），1- V（x）}=0。（4） 作为解决这个问题的第一种方法，我们假设索赔额呈指数分布。在这种情况下，我们通过（D）证明不存在对偶间隙，成功地解决了（P1）。然而，我们还没有研究任意索赔规模分布的一般问题。从现在开始我们假设{Yi}iid~ Exp（α）。

结果（4）转换成max{∧+cV（x）+λZxV（x）- y） αe-αydy- （λ+δ）V（x），1- V（x）}=0，（5）3这个问题的（P2）解[10]证明了最优策略对应于一个障碍策略，并证明了（P2）的解是由定理3.1（引理10[10]）给出的。让∧≥ 0.那么，如果∧≤(λ+δ)αλ- c（P2）的值函数由v∧（x）=x+c+λ+δ+δ（e）给出-δT- 1).否则，存在唯一的b∧>0，使得v∧（x）=（x- b∧+αc-λ-Δαδ+Δe-δTif x≥ b∧Cerx+Cerx+δe-δTif x≤ b∧，（6）式中r，多项式的稀有根alp（r）=cR+（αc- （λ+δ）R- αδ. （7） C，照顾byC=-α+rα“αα+rC+Δ#，C=（α+r）（αδ+erb∧r（α+r））αδ（erbr（α+r）- α（α+erbr））。最佳势垒b∧的值由表达式（r）给出- r） （α+r）（α+r）∧=-重新-rb（r（λ+δ）+αδ）+re-rb（r（λ+δ）+αδ）。（8） 让我们定义临界值∧=（δ+λ）αλ- c、 备注3.1。请注意，对于0≤ Λ ≤“∧最佳屏障策略为b=0。在下一节中，以下命题将是证明这一贡献的主要结果的关键。提议3.2。（i） 如果∧≥ 对于每一个b>0，都存在一个唯一的∧>\'∧，因此b是具有∧的（P2）的最佳势垒红利策略。（ii）如果∧<0，则存在b>0，使得每个b≥ b、 存在唯一的∧≥ 0，使得b是具有∧的（P2）的最佳屏障红利策略。证据注意，等式（8）定义了一个映射∧：[0，∞) → R.对bwe求导数∧（b）db=rr[e-rb（r（λ+δ）+αδ）- E-rb（r（λ+δ）+αδ）]（r- r） （α+r）（α+r）（9）可以很容易地证明特征多项式的两个根都是实的和非零的，而且其中一个是正的，另一个是负的。第一个是自[αc]以来- （λ+δ）]+4cαδ>0和第二个-[αc- （λ+δ）]+p[αc- （λ+δ）+4cαδ>0，-[αc- (λ +δ)] -p[αc]- （λ+δ）+4cαδ<0。

现在，对于负根，假设r，我们有α+r>0（见引理A.1）。这就给我们留下了r>0>r的情况，其中（9）是严格正的，因为算符和分母都是负的，因此映射是内射的。此外，利用rand rin（8）的表达式，我们可以证明∧（0）=（λ+δ）- αλcαλ＝∧。（10） 因此，如果∧（0）<0，存在b>0（以及（？？）的解）这满足了∧之后的（ii）→ ∞当b→ ∞. （i） 从（10）开始。图1显示了从λ=1，c=1.3，Yi的方程（8）中导出的b∧值~ Exp（1），δ=0.1。注意，在命题3.2.4的第二种情况下，该值会下降（P1）的解，让XBTB成为股息壁垒策略下的盈余过程，b级用Db表示。设τbbe为使用这种策略的破产时间，即τb:=inf{t:Xbt<0}。为了找到（P1）的解，我们需要以下命题。提议4.1。每x≥ 0存在Hx≥ 如果0≤ T<hx此处存在∧*, B*) 这满足了：（i）λ*≥ 0和b*是带∧的（P2）的最佳势垒*初始值x，Lb*图1：最佳势垒（ii）ExRτb*E-δsds≥ k和（iii）λ*前任Rτb*E-δsds- KT= 0.证明。让x≥ 0固定。考虑以下IDE问题：A（ψb）（x）- Δψb（x）=-1（A1）ψb（b）=0ψb∈ C[0，b]其中A（f）（x）是cfb（x）+λRxf（x）- y） αe-αydy- λf（x），盈余过程Xt的最小生成元。可以看出，对于0≤ 十、≤ bψb（x）=δ+Cerx+Cerx，其中c=（α+r）（α+r）rerbαδ[rerb（α+r）- rerb（α+r）]和c=-（α+r）rerbαδ（erbr（α+r）- erbr（α+r））-（α+r）αδ是（A1）的解，其中r表示（7）的根。将ψb扩展到R，使ψb（x）=0，x<0，并使ψb（x）=ψb（b），x≥ B

利用Dynkin公式和可选停止定理，我们得到了0≤ 十、≤ bEx[e]-Δτbψb（Xbτb）]=ψb（x）+ExZτbe-δs[A（ψb（Xbs））- Δψb（Xbs）]ds+X0≤s≤t、 4Db6=0e-δsψb（Xbs）- ψb（Xbs）-)+Zτbe-δsψb（Xbs）d′Dbs= ψb（x）+ExZτbe-δs[A（ψb（Xs））- Δψb（Xs）]ds+ 前任Zτbe-δscψb（b）1{Xs=b}ds,其中“Db”表示控制Db的连续部分。对于最后一个等式，我们使用了在Xbs=b的时刻，控件的连续部分仅由c组成，并且控件没有跳跃。因此，对于（A1）的扩展解ψb（x），我们得到ψb（x）=Ex“Zτbe-δsds#。定义，^ψ（x）：=肢体→∞ψb（x）=δ-α+rαδerx。让Hx:=-δ（log（α+rα）+rx）并假设为0≤ T<Hx。召回KT=1-E-δTδ，注意khx=ψ（x），所以KT<ψ（x）。然后我们有以下几个例子：1。假设∧≥ 0.如果ψ（x）≥ KTthen（ii）已满足要求，屏障b*= 对于带∧的（P2），0是最佳值*= 0通过备注3.1。另一方面，如果ψ（x）<KT<^ψ（x）引理A.2保证了唯一b的存在*> 0使得ψb*（x） =KT。在后一种情况下，命题3.2的（i）保证了唯一∧的存在*哪个b*对于具有∧的（P2）是最佳的*. 在这两种情况下，我们都有（iii）。假设∧小于0。如果ψb（x）≥ KTthen（ii）满足且无约束问题满足约束。因此，b*= 带∧的（P2）的双最优*= 如果ψb（x）<KT<^ψ（x），正如我们之前所知道的，存在唯一的b*使得ψb*（x） =KT。通过（ii）命题3。2存在唯一的∧*哪个b*对于具有∧的（P2）是最佳的*. 在这两种情况下，我们也有（iii）。因此，我们有一个主要定理：定理4.2。让x≥ 0，T≥ 0和V（x）是（P1）的最优解。然后（i）V（x）≤ inf∧≥0V∧（x）和（ii）inf∧≥0V∧（x）≤ V（x）。因此，inf∧≥0V∧（x）=V（x）。证据修正x≥ 0.自inf∧起满足条件（i）≥0V∧（x）是（P1）的对偶问题。

为了验证条件（ii），我们有以下情况：（i）T<Hx：根据命题4.1，有一对（λ）*, B*) 这样∧≥0V∧（x）≤ V∧*（x） =Ex“Zτb*E-δtdDb*t+λ*Zτb*E-δtdt#- Λ*KT=Ex“Zτb*E-δtdDb*t#≤ V（x），其中是自屏障策略b以来的最后一次不平等*满意度（2）。（ii）T=Hx：在这种情况下，KT=^ψ（x）和引理A.3∧Ex“Zτb∧e-δsds#- KT！→ 0为∧→ ∞.也就是ExhRτb∧e-δtdDb∧ti→ 0为∧→ ∞ 自b∧→ ∞. 因此，由于V（x）≥ 0和v∧（x）在∧中是凸的（它是线性函数的上确界），我们得到inf∧≥0V∧（x）=0≤ V（x）。（iii）T>Hx：在这种情况下，KT>^ψ（x），因此对于所有的b≥ 0它认为ExhRτ为-δsdsi<^ψ（x）<KT。从这一点，我们可以推断存在 > 0使得∧Ex[Rτb∧e-δsds]- KT<-Λ. 让∧→ ∞ 我们得到inf∧≥0V∧（x）=-∞ ≤ 在这一节中，我们将更详细地说明命题证明中出现的情况。1和定理4.2。如前一节所述，为了获得（P1）的最优值函数，我们展示了一对（b*, Λ*) 这证明了强烈的二元性。为此，我们考虑了几个与初始值X和T有关的情况。我们将继续假设以下参数值：λ=1，c=1.3，Yi~ exp（1），δ=0.1。在每种情况下，我们将显示两个图表。左边的图表显示了不同b值的ψb（x），右边的图表显示了不同∧值的V∧（x）。对于第一种情况，选择T和xso，使其小于ψb（x）。在这种情况下，我们知道无约束解满足约束。有了这些值，V∧（x）forKTx0xψBLVLHX0L图2的曲线图：非活动约束。不同的∧值表明，在∧处达到最小值*= 0，参见图2。最优解为V（x），最优势垒为b*= b=0.8。在第二种情况下，让T和xhave的值使得kT位于^ψ（x）和ψb（x）之间。