多谱风险约束下的投资组合选择

我们认为，将FISTA停止标准更改为更适合非正则化问题的标准，将显著提高运行时间。表2中报告的运行时间适用于SpecRiskAllocate版本，该版本使用迭代行搜索解决受约束的QP子问题。在典型的应用中，投资组合选择问题可能会有其他方面的约束，并且不太可能以这种方式解决QP子问题。为了确保运行时不是简单可行集的产物，我们还测试了SpecRiskAllocate的一个实现，其中QP步骤（以及梯度计算步骤）是使用二次规划solverin Gurobi求解的。此替代实现的运行时间与表2.4.2中报告的运行时间相似。参数不确定性。接下来，我们将说明如何利用SpecRiskAllocate的稳定性和可伸缩性来克服衍生工具组合风险时的参数不确定性。假设一个投资组合经理想要使用一组n个流动衍生头寸对冲现有xof衍生工具投资组合的风险。让V（~St）和Vi（~St）分别表示初始投资组合X的价值和衍生工具i的价值∈ 时间t时的{1，…，n}，作为基础资产价格向量的函数∈ r.让?`（t）=V（~S）-~V（~St）（分别为i（t）=~Vi（~S）-~Vi（~St））表示初始投资组合（以及衍生工具i）在时间t时的损失。然后是套期保值投资组合x在时间t时的损失∈ Rn由Pni=1`i（t）xi给出，投资组合经理在t时的总损失为`（t）+Pni=1`i（t）xi。请注意，与前面的符号不同，xinow表示所购买的导数i的总单位数。

因此，在接下来的内容中，我们放弃投资组合约束1>x=1。假设标的资产价格为对数正态分布，均值向量为π，协方差矩阵为未知∑t=~DtRDt，其中R为常数相关矩阵，~Dt=diag（~σt）为t时未知波动率的对角矩阵。假设投资组合经理知道当前波动率σ，并且相信时间范围T的波动率的形式为σT=σ+Pqp=1ωpρp，其中ρp∈ r为已知因子和ωp∈ [-1，1]是相应的未知权重。对于ω∈ Ohm := {-1,1}q∪ {0}，设`（ω）∈ RN（resp`i（ω）∈ RN）表示当波动率向量σT=σ+Pqp=1ωpρp时，初始投资组合（分别是衍生工具i上的损失i（T））上n个样本的向量Ohm, 考虑以下套期保值投资组合选择问题：∏（W）：=maxxminω∈Wu+u（ω）>x- λkxks、 t.ESβ（`（ω）+L（ω）x）≤ αESβ（`（ω）），ω∈ Wkxk∞≤ B（4.1）=maxx，μ- λkxks。t、 u≤ u+u（ω）>x，ω∈ WESβ（`（ω）+L（ω）x）≤ αESβ（`（ω）），ω∈ Wkxk∞≤ B、 其中L（ω）=[`（ω）..`n（ω）]，u（ω）=-NL（ω）>1，且u=-N`（ω）>1。通过解决问题（4.1），投资组合经理希望计算一个`-正则化边际投资组合x，使总投资组合的最坏情况（w.r.t.w）预期收益最大化[x>，x>]>，同时确保最坏情况下的预期空头以α<1的系数下降。我们定义了∏（{0}）（分别为∏({-1，1}q）作为名义（相对稳健）投资组合选择问题。由于我们允许对冲组合x同时持有多头和空头头寸，为了对参数ωpwe中的不确定性保持稳健，我们必须考虑所有可能的最坏情况风险模型ω∈ {-1,1}q.问题（4.1）相当于tomax\'x\'u>\'x- λk′xks。T

ES（`（ω）+^L（ω）`x）≤ 0, ω ∈ WESβ（`（ω）+L（ω）`x）≤ αESβ（`（ω）），ω∈ Wl≤\'x≤ u、 （4.2）式中，\'x=[x>，u+，u-]>,u = [0>, λ + 1, λ - 1] >，^L（ω）=[L（ω），1，-1] ，\'L（ω）=[L（ω），0,0]，L=[-B1>，0,0]>，而u=[B1>，∞, ∞]>. 因此，通过稍微修改SpecRiskAllocate来处理表格l的框约束≤ 十、≤ 而不是投资组合和杠杆约束1>x=1和kxk∞≤ B、 我们能够利用它的稳定性和可扩展性来构建对参数不确定性具有鲁棒性的对冲投资组合。在接下来的内容中，我们表明，使用SpecRiskAllocate，可以构造一个减少初始投资组合风险的投资组合，同时消除不确定参数对预期收益的影响。继Alexander等人[2003]之后，我们假设初始投资组合由四个Europeanat货币二元看涨期权的空头头寸组成，每一个都在四个相关资产中的一个上，到期时间分别为4、6、8和10个月。对冲范围由每项资产的20个普通欧洲看涨期权组成，由履约价格[0.9,0.95,1,1.05,1.1]和到期日[2,3,4,6]个月以及资产本身组成。时间范围为T=1个月。我们使用N=25000个蒙特卡罗样本来模拟基础资产价格。衍生品的定价采用布莱克-斯科尔斯公式。其余的问题参数设置如下：q=2影响波动性的因素，ρ=0.02[1,1,1]>和ρ=0.02[1，-1, 1, -1]>; 预期短缺水平β=0.95；风险降低系数α=0.5，即。

投资组合经理将其风险敞口减少一半；杠杆约束B=1；以及控制投资组合的稀疏性的参数λ=θ2u（0）>x*kx*k、 θ在哪里∈ {0,0.5,1}和x*是λ=0的∏（{0}）的最优解。图1和图2显示了初始、名义和稳健投资组合的样本外预期短缺和平均回报，作为不确定参数（ω，ω）的函数∈ [-1, 1] × {-1,0,1}，当稀疏性参数θ=0和θ=1时。请注意，在所有情况下，风险约束均为ESβ（`（ω）+`L（ω）`x）≤ ω>0时，名义投资组合违反了αESβ（`（ω））。另一方面，尽管参数值不确定，最终稳健投资组合的风险始终小于初始投资组合的一半。此外，股票投资组合的预期收益率实际上与不确定参数（ω，ω）无关。相比之下，名义投资组合的预期收益率随着不确定参数ω和ω的变化而显著变化。请注意，我们之所以能够求解robustportfolio，是因为SpecRiskAllocate的计算效率比naive LP方法高得多。事实上，SpecRiskAllocate非常有效，通过在（4.1）中加入更多风险约束，可以解决协方差矩阵∑中存在更复杂不确定性或平均收益向量π中存在不确定性的投资组合选择问题。最后，图3显示了θ=0.5和θ=1时，最优名义和稳健投资组合的头寸。请注意，稳健的Porfolio在几乎所有仪器中的位置都与标称Porfolio相同。然而，稳健的投资组合持有其他额外资产的头寸。这些职位具有降低样本外风险和降低预期回报差异的预期效果。

同样值得注意的是，稀疏参数θ对稳健投资组合持有量的影响似乎大于对名义投资组合持有量的影响。5.结论。在本文中，我们提出了一种简单的基于梯度的SpecRiskAllocate算法来解决多光谱风险约束下的投资组合选择问题。该算法通过求解初始可行集上的一系列可分离凸QPs来计算最优投资组合，即公式不会增加问题的维数来表示风险度量。无论在理论上还是在实践中，这都是非常有效的。我们的数值实验表明，SpecRiskAllocate至少比最先进的通用求解器快一个数量级，适用于大多数具有实际意义的频谱风险约束投资组合选择问题。此外，我们的数值实验表明，SpecRiskAllocate允许投资组合管理者对多个风险模型施加约束，作为在其投资组合中引入抗参数不确定性稳健性的一种手段。-1.-0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-10123ω1ω2=-1预期短缺-1.-0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1.0%0.0%1.0%2.0%3.0%ω1平均回报率-1.-0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-10123ω1ω2= 0-1.-0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1.0%0.0%1.0%2.0%3.0%ω1-1.-0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-10123ω1ω2= 1θ = 0-1.-0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1.0%0.0%1.0%2.0%3.0%ω1初始标称鲁棒性图。1.作为不确定参数（ω，ω）的函数，初始、名义和稳健投资组合的样本外预期短缺和平均回报∈ [-1, 1] × {-1, 0, 1}. 稀疏参数θ=0。参考资料。C.Acerbi。风险的光谱度量：主观风险厌恶的一致表示。《银行与金融杂志》，26（7）：1505-15182002。C.Acerbi和D.Tasche。

预期短缺：风险价值的自然一致替代品。《经济笔记》，31（2）：379-3882002。V.阿加瓦尔和N.Y.奈克。涉及对冲基金的风险和投资组合决策。金融研究回顾，17（1）：63-982004。S.亚历山大、T.F.科尔曼和Y.李。基于CVaR的衍生产品组合套期保值。投资和监管中的新风险措施：约翰·威利父子有限公司，2003年。S.亚历山大、T.F.科尔曼和Y.李。最小化组合衍生工具的CVaR和VaR。《银行与金融杂志》，30（2）：583-6052006。P.阿特兹纳、F.德尔班、J.-M.埃伯和D.希思。一致的风险度量。数学金融，9（3）：203–228，1999年。A.贝克和M.特布尔。线性逆问题的快速迭代收缩阈值算法。暹罗成像科学杂志，2（1）：183–202，2009年。D.贝尔西马斯和J.N.齐齐克利斯。线性优化导论，第6卷，第4章。马萨诸塞州贝尔蒙特市雅典娜科学院，1997年。布朗和卡诺瓦。使用多种风险模型进行卓越的投资组合管理。。。这不仅仅是定量的练习。2011年第032号Axioma研究论文。E.J.坎迪斯、M.B.沃金和S.P.博伊德。通过重新加权“最小化”来增强稀疏性。傅立叶分析与应用杂志，14（5）：877–9052008。S.Ceria、F.Margot、A.Renshaw和A.Saxena。投资组合构建的新方法：多风险模型和多解决方案生成。优化Op-1.-0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-10123ω1ω2=-1预期短缺-1.-0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1.0%0.0%1.0%2.0%3.0%ω1平均回报率-1.-0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-10123ω1ω2= 0-1.-0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1.0%0.0%1.0%2.0%3.0%ω1-1.-0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-10123ω1ω2= 1θ = 1-1.-0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1.0%0.0%1.0%2.0%3.0%ω1初始标称鲁棒性图。2.

作为不确定参数（ω，ω）的函数，初始、名义和稳健投资组合的样本外预期短缺和平均回报∈ [-1, 1] × {-1, 0, 1}. 稀疏参数θ=1。《优化：下一代优化应用与理论》，2009年第23-52页。T.J.Chang、N.Meade、JE Beasley和YM Sharaiha。基数试探法与投资组合优化。计算机与运筹学，27（13）：1271-13022000。V.德米格尔、L.加拉皮、F.J.诺加莱斯和R.乌帕尔。拓扑组合优化的一种广义方法：通过约束组合规范来提高性能。《管理科学》，55（5）：798-8122009。古洛比优化公司，《古洛比优化参考手册》，2014年。统一资源定位地址http://www.gurobi.com.S.霍达、A.吉尔平、J.佩纳和T.桑德霍姆。计算序列博弈纳什均衡的平滑技术。运筹学数学，35（2）：494–512，2010年。G.艾扬格和A.K.C.马。平均CVaR优化的快速梯度下降法。运筹学年鉴，205（1）：203–212，2013年。G.Iyengar、D.J.Phillips和C.Stein。近似半限定包装程序。暹罗优化杂志，21（1）：231–2682011。P.乔里昂。风险价值。麦克劳希尔，纽约，2006年。Y.A.科科西迪斯和A.M.杜阿尔特。基于情景的主动资产配置方法。《投资组合管理杂志》，23（2）：74-851997。A.E.B.Lim、J.G.Shanthikumar和G.-Y.Vahn。投资组合优化中的条件风险价值：连贯但脆弱。运筹学快报，39（3）：163–1712011.1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 12 13 16 18 20 21 22 24 33 37 38 40 54 67 69 72 77 81 84-1.-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81仪器指数θ=0.51 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 16 18 20 21 22 24 33 38 40 54 67 69 72 77 81 84-1.-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81仪器指数θ=1位置标称稳定性图。3.

持有名义上和稳健的投资组合。稀疏度参数θ=0.5（顶部）和θ=1（底部）。H、 J.L–uthi和J.Doege。投资组合优化和灵活性概念的凸风险度量。数学规划，104（2）：541–5592005。H·M·马科维茨。投资组合选择。《金融杂志》，7（1）：77-911952年。Y.内斯特罗夫。非光滑函数的光滑最小化。数学规划，103（1）：127-1522005。J.Nocedal和S.J.Wright。数值优化，第17章，第511-522页。斯普林格·维拉格，1999年。A.A.伦肖。前面的路标是：危险区。多重风险模型可以告诉我们未来的提款情况。Axioma研究论文第04012号。R.T.Rockafellar和S.Uryasev。条件风险价值的优化。《风险日记》，2000年2月21日至42日。R.T.Rockafellar、S.Uryasev和M.Zabarankin。风险分析和优化中的偏差措施。佛罗里达大学工业与系统工程系，2002年。附录A.g（x）的平滑。定义函数（A.1）f（ν）β（ζ）=maxζ>q-νkqks。t、 0≤ Q≤(1-β） N1，>q=1。Nesterov[2005]证明f（ν）β（ζ）是一个具有梯度的可微强凸函数f（ν）β（ζ）=q*, q在哪里*是（A.1）的唯一解决方案。梯度f（ν）β是Lipschitz连续的，且Lipschitz常数/ν。此外，f（ν）β满足β（ζ）- ν ≤ f（ν）β（ζ）≤ ESβ（ζ），即f（ν）β（ζ）是ESβ（ζ）的一个ν-近似值。设ρ（ζ）=Pd`=1γ`ESβ`（ζ）表示任何广义谱风险函数。我们将平滑的光谱风险函数定义为ρ（ν）（ζ）=dX`=1γ`f（ν）β`（ζ）。当d`=1γ`=1时，对于所有广义谱风险函数，ρ（ζ）-ν ≤ρ(ν)(ζ) ≤ ρ(ζ). ρ（ν）（ζ）的梯度由下式给出：ρ（ν）（ζ）=Pd`=1γ`q*`, q在哪里*`是（A.1）的唯一最优解，β=β`。最后，定义（A.2）ψ（δ）（t）=最大t>u-δ库克斯。T

1> u=1u≥ ψ（δ）是一个具有Lipschitz连续梯度的可微凸函数ψ（δ）（t）=u*, 你在哪里*是（A.2）和Lipschitz常数/δ的唯一解[Nesterov，2005]。此外，我们还有ψ（t）- δ ≤ ψ（δ）（t）≤ ψ（t）。我们定义了g（x）asgνδ（x）=ψ（δ）的平滑ρ（ν）（Lx）- α, . . . , ρ（ν）m（Lmx）- αm，0.Iyengar等人[2011]中的定理[7]（另见Hoda等人[2010]）保证Gνδ（x）是具有Lipschitz连续梯度的凸函数（a.3）gνδ（x）=mXk=1u*kL>kρ（ν）k（Lkx），其中u*= argmaxPmk=1ukρ（ν）k（Lkx）- αk-δ库克斯。t、 1>u=1u≥ 此外，gνδ（x）是g（x）的（ν+δ）近似值，即g（x）-ν -δ ≤ gνδ（x）≤ g（x）。附录B.规范的详细信息。回想一下，FISTA迭代是通过求解一个“惩罚QP”形式（3.2）来计算的。接下来，我们将展示如何使用一维搜索解决这个问题。将约束1>x=1二元化，我们得到以下优化问题：L（γ）=minkxk∞≤Bηλkxk+（ξ）- Cy+γ1）>x+Cx>x.写x=w- v、 w，v在哪里≥ 0，观察l（γ）=min0≤W≤地下一层(ηλ1 + ξ - Cy+γ1）>w+Cw>w+ min0≤五、≤地下一层(ηλ1 - ξ+Cy- γ1）>v-v>Cv,我们忽略了交叉项w>v，因为它们在任何最优解中都为零。L（γ）的最优解由x给出*i（γ）=min{（\'ci）- γ） /C，B}+-min{（ci+γ）/C，B}+，其中`ci=-ηλ-ξi+Cyi和ci=-ηλ+ξi-Cyi，i=1，n、 （3.2）的最优解可以通过找到双变量γ来恢复*以至于>x*(γ*) = 1.自limγ以来→∞十、*(γ) = -B1和limγ→-∞十、*（γ） =B1，因此存在γ*∈ (-∞, ∞) 使1>x*(γ*) = 1.查找γ的计算复杂性*由排序集合的计算成本决定∪1.≤我≤n{ci，ci}。FISTA（参见算法2）调用算法3中显示的子程序ComputeGradent来计算梯度ξ。计算梯度ξ需要计算梯度gνδ（x）（cf。

（A.3）），这需要求解形式（A.2）中的一个QP，并且PMK=形式（A.1）中的1dKQP。每个QP的形式为（B.1）max c>x-kxk，s.t.1>x=1,0≤ 十、≤ b、 边界在哪里≥ 0满意度1>b≥ 1，并且可能在最后。对约束1>x=1进行二元化，我们得到以下可分QP:L（γ）=max0≤十、≤b（nXi=1（ci- γ） 十一-xi）。L（γ）的最优解由x给出*i（γ）=min{ci- γ、 bi}+，i=1，n、 （B.1）的最优解可以通过找到双变量γ来恢复*比如1>x*(γ*) = 1.自limγ以来→∞十、*（γ） =0和limγ→-∞十、*（γ） =b，因此存在γ*∈ (-∞, ∞) 使1>x*(γ*) = 1.计算γ的计算复杂性*由排序集合的计算成本决定∪1.≤我≤n{ci，ci-bi}。算法3函数计算量（y，ν，δ）1:k=1到mdo2:for`=1到dkdo3:qk`← argmaxnq>Lky-νkqk:1>q=1,0≤ Q≤(1-βk`）Nko4:结束5:结束6:u← argmaxnPmk=1vk（ρ（ν）k（Lky）- αk）-δkvk:Pm+1k=1vk=1，v≥ 0o7:ξ← -ηu+Pmk=1ukPdk`=1γk`L>kqk`8：返回ξ