多谱风险约束下的投资组合选择

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英文标题：
《Portfolio Selection with Multiple Spectral Risk Constraints》
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作者：
Carlos Abad and Garud Iyengar
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We propose an iterative gradient-based algorithm to efficiently solve the portfolio selection problem with multiple spectral risk constraints. Since the conditional value at risk (CVaR) is a special case of the spectral risk measure, our algorithm solves portfolio selection problems with multiple CVaR constraints. In each step, the algorithm solves very simple separable convex quadratic programs; hence, we show that the spectral risk constrained portfolio selection problem can be solved using the technology developed for solving mean-variance problems. The algorithm extends to the case where the objective is a weighted sum of the mean return and either a weighted combination or the maximum of a set of spectral risk measures. We report numerical results that show that our proposed algorithm is very efficient; it is at least one order of magnitude faster than the state-of-the-art general purpose solver for all practical instances. One can leverage this efficiency to be robust against model risk by including constraints with respect to several different risk models.
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中文摘要：
我们提出了一种基于迭代梯度的算法来有效地解决多光谱风险约束下的投资组合选择问题。由于条件风险值（CVaR）是谱风险度量的一种特殊情况，我们的算法解决了具有多个CVaR约束的投资组合选择问题。在每一步中，该算法求解非常简单的可分离凸二次规划；因此，我们证明了谱风险约束的投资组合选择问题可以使用为解决均值-方差问题而开发的技术来解决。该算法扩展到目标是平均收益和一组谱风险度量的加权组合或最大值的加权和的情况。我们报告的数值结果表明，我们提出的算法是非常有效的；对于所有实际情况，它至少比最先进的通用解算器快一个数量级。我们可以利用这种效率，通过包含多个不同风险模型的约束，对模型风险具有鲁棒性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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PDF下载：
--> Portfolio_Selection_with_Multiple_Spectral_Risk_Constraints.pdf (526.03 KB)

2022-5-7 01:36:46 上传

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关键词：投资组合选择 投资组合 Optimization Quantitative Constraints

多谱风险约束下的投资组合选择*和GARUD IYENGAR+摘要。我们提出了一种基于迭代梯度的算法来有效地解决具有多光谱风险约束的投资组合选择问题。由于条件风险价值（CVaR）是谱风险度量的一种特殊情况，我们的算法解决了具有多个CVaR约束的投资组合选择问题。在每一步中，该算法求解非常简单的可分离凸二次规划；因此，我们证明了谱风险约束的投资组合选择问题可以用为解决均值-方差问题而开发的技术来解决。该算法扩展到目标是平均收益和一组谱风险度量的加权组合或最大值的加权和的情况。我们报告的数值结果表明，我们提出的算法是非常有效的；对于所有实际情况，它至少比最先进的通用解算器快一个数量级。我们可以利用这种效率，通过包含与几个不同风险模型相关的约束，来抵御模型风险。关键词。大规模投资组合优化、一致的风险度量、一阶算法以及主题分类。90C9090B5091G101。介绍投资组合选择关注的是在一定数量的投资机会上分配给定的资本，以便在管理“风险”的同时最大化“回报”。尽管分散投资管理“风险”的好处早已为人所知，但Markowitz[1952]还是第一个提出投资组合优化问题的数学模型，用投资组合的预期收益表示“回报”，用投资组合收益的方差表示“风险”。有人认为，只有当收益被椭圆分布时，方差才是衡量风险的好方法。

此外，由于方差对分布的尾部不敏感，因此当收益率为重尾时，它不是一个很好的可变性度量。文献中提出了许多风险措施，以适应不对称性，并捕捉到较重尾巴的影响。随机损失概率水平β下的风险值VaRβ（~L）定义为损失分布的β分位数，即观察到大于VaRβ（~L）的损失的概率为most1- β[Jorion，2006]。VaR广泛应用于风险管理应用中，是巴塞尔协议II中规定的风险度量标准。然而，它也有一些缺点。首先，VaR只取决于尾部损失的概率，而不取决于它们在尾部的位置。其次，VaR不是凸风险度量；因此，带有VaR约束的投资组合选择通常会导致难以求解的整数规划。条件风险值CVaRβ（~L）=E[~L |L≥ VaRβ][Rockafellar和Uryasev，2000]和预期短缺ESβ=1-βRβVaRp（~L）dp[Acerbi和Tasche，2002]是密切相关的风险函数，可以解决上述VaRp的两个缺点。CVaR和ES都是一致的风险度量[Artzner等人，1999]，即它们是凸的且正同质的。Acerbi和Tasche[2002]表明，通过求解线性规划（LP），可以从标的资产损失样本中估计投资组合的ES，并且该估计以概率1收敛于投资组合的ES。Rockafellar和Uryasev[2000]在假设投资组合的损失分布是一致的情况下，得出了类似的CVaR结果*哥伦比亚大学IEOR。ca2446@columbia.edu+哥伦比亚大学IEOR。部分由NSF拨款DMS-1016571、DOE拨款DEFG02-08ER25856和ONR拨款N000140310514在β分位数处连续支持。

Acerbi[2002]将ES扩展到谱风险度量φ（~L）=RVaRp（~L）φ（p）dp，其中φ（p）是一个非递增概率分布函数。光谱风险度量Mφ（~L）是一致的，事实上，ESβ（~L）=Mφ（~L）与φ（p）=1-ββ≤P≤1.Acerbi[2002]还表明，有限样本估计值mnφ=PNk=1φ（kN）L（N-k） 式中，L（k）表示随机损失的N个独立同分布（IID）样本的k阶统计量L，以概率1收敛于toMφ（L）。Acerbi[2002]得出结论，投资组合选择问题的“回报”由投资组合的预期回报给出，“风险”由投资组合的方面风险度量给出，可以用LP近似。Rockafellar和Uryasev[2000]为平均CVA投资组合选择问题建立了这样一个基于LP的近似结果。Agarwal和Naik[2004]表明，当资产的风险在潜在风险因素中是非线性的，例如，当资产是一项主要资产上的衍生工具时，与均值方差法相比，均值CVaRportfolio选择法产生的投资组合更优。然而，结果LP是非常病态的，解决此类LP，尤其是当情景规模较大时，在实践中非常困难（参见，例如[Alexander et al.，2006]）。Lim等人[2011]表明，平均CVaR投资组合问题的解决方案通常对估计误差非常敏感，即在选择最佳投资组合时，在估计情景中的平均值和回报时出现的小误差会被放大。这种敏感性可以通过对几个不同的参数值和不同的风险模型施加光谱风险约束来解决。2008年金融危机后，与多重风险模型相关的约束变得尤为重要（参见[Ceria等人，2009]）。

然而，施加多重光谱风险约束会增加LP的规模，以至于最先进的解决方案无法解决投资组合选择问题的大多数实际情况。我们在本文中的贡献如下：（a）我们提出了一种新的基于一阶梯度的算法SpecRiskAllocate，用于解决具有多光谱风险约束的投资组合选择问题，其速度明显快于基于朴素LP的方法。我们利用投资组合问题的两个关键特征来构造该算法。首先，LP公式（2.3）中的约束是非常松散耦合的，因为来自特定风险模型的样本只在相应的约束中起作用。因此，只要保持可行性，就可以通过将这些约束双重化来提高算法的运行时间。我们在定理（3.1）中证明，对于对偶变量的有限值，我们能够恢复可行的投资组合。我们利用的第二个特点是，由于LP实际上是随机优化问题的有限样本近似值，因此在实践中，人们并不试图以非常高的精度（例如10-12相对误差），但ratherone的准确度适中（如10-3相对误差）。这使我们能够将LP平滑为光滑凸优化问题，从而显著加快收敛速度。（b） SpecRiskAllocate通过求解一系列小型可分离凸二次规划（QPs）来计算最优投资组合。因此，投资组合经理将能够使用现有的解决均值-方差问题的工具来解决谱风险约束的投资组合选择问题。每个凸QPs中变量的数量等于资产的数量，因此，这些问题可以非常有效地解决。

在某些情况下，平均方差子问题的最优解可以写成封闭形式，也可以通过一维搜索来计算。SpecRiskAllocate还能够解决投资组合选择问题，其目标是最大化预期收益的加权和以及一组光谱风险度量的加权组合或最大值。（c） 第4节中的实验结果清楚地表明，SpecRiskAllocates能够有效地解决非常大的谱风险约束投资组合选择问题。对于大多数实际情况，SpecRiskAllocate比最先进的LP解算器至少快一个数量级。此外，我们还表明，与基于LP的方法相比，SpecRiskAllocate不是病态的。这是解决问题的一个附带好处。“平滑”通过一个没有角的凸集来逼近THLP多面体；因此，确保最优解是问题的连续函数，因此不是病态的。（d） 引入抗模型不确定性稳健性的一种常用方法是对多个风险模型施加光谱风险约束（参见Brownand Canova[2011]和Renshaw[2012]）。在第4节中，我们证明了SpecRiskAllocate能够以计算可处理的方式解决具有谱风险约束的套期保值投资组合选择问题，该问题对应于多个风险模型。SpecRiskAllocate基于Beck和Teboulle[2009]提出的近似梯度算法FISTA（另见Nesterov[2005]）。我们提出的算法与Iyengar和Ma[2013]提出的算法相似，因为这两种算法都使用了Nesterov平滑技术[Nesterov，2005]。然而，这两种方法之间存在一些关键差异。

Iyengar和Ma[2013]中的算法只能解决均值CVaR问题，可以扩展到求解均值加权CVaR问题；然而，它无法计算具有CVaR（或者更一般地说，频谱风险）约束的投资组合选择问题的解决方案。SpecRickAllocate使用了一种不同的平滑技术，允许我们扩展算法来解决非常大的投资组合选择问题，而不会遇到任何数值上的困难。Iyengar和Ma[2013]无法解决大型问题实例，因为其中提出的算法在数值上很快变得不稳定。本文的其余部分组织如下。在第2节中，我们介绍了广义谱风险度量，并定义了广义谱风险约束的投资组合选择问题。在第3节中，我们构造了SpecRiskAllocate算法。在第4节中，我们讨论了数值实验的结果。最后，在第5章中，我们以一些最后的评论作为结束。2.单期投资组合选择问题。假设市场上有n个资产。让我=L，~Ln>∈ RN表示资产的随机损失率。让x∈ Rn表示投资者的投资组合，即1>x=Pni=1xi=1。投资组合x的损失率Lx由Lx=~L>x给出。在本文中，我们想要识别相对于预期收益处于帕累托最优前沿的投资组合-E[~Lx]和一组广义光谱风险度量[Acerbi，2002]。除了一些特殊情况外——例如，当随机损失向量L是椭圆分布风险因素Z分布的线性函数时——很难明确描述随机投资组合损失lx的分布。如果投资组合x包含衍生证券，且其在潜在风险因素中的分布是非线性的，则这种情况就完全成立。在实践中，用N个样本{`。

，`N}由某个场景生成器生成（参见，例如Koskosidis和Duarte[1997]）。LetL=（`，`N）>∈ RN×N注意经验损失矩阵，其中第j列表示资产j的N个损失实现的向量。因此，投资组合x上的随机损失Lx可由样本集{`>x，`>Nx}近似，或等效地由向量Lx近似。在本节的其余部分中，我们定义了向量Lx的广义光谱损失函数，并将其与预期短缺度量相关联。这种关系对于设计第3.2.1节中的求解算法非常重要。广义光谱风险度量。设y=（y，…，yN）>表示一个随机变量的样本。设{y（`）：`=1，…，N}表示向量y的顺序统计量。定义2.1（预期短缺[Acerbi and Tasche，2002]）。β级的预期y短缺∈ [0,1]是κ=d（1）的平均值- β） y的Ne最大值，即ESβ（y）=κNX`=N-κ+1y（`）。很容易检查ESβ（y）是否具有以下变化特征（参见，例如Artzner等人[1999]，Rockafellar等人[2002]，L–uthi和Doege[2005]）：ESβ（y）=maxPN`=1q`y`，因此1>q=1,0≤ Q≤κ· 1.利用线性规划对偶[Bertsimas和Tsitsiklis，1997]可以得出（2.1）ESβ（y）=minz（z+κ·NX`=1（y）`- z） +），其中v+=max{v，0}。Acerbi和Tasche[2002]确定ESβ（·）是一种相干风险度量[Artzner等人，1999]，并在随机变量＠Y的累积分布函数FY（·）在Y=inf{x:FY（x）处连续时收敛于CVaR[Rockafellar等人，2002，L¨uthi和Doege，2005]≥ β}.定义2.2（光谱风险度量[Acerbi，2002]）。设ω=（ω，…，ωN）>表示一个非递减概率质量函数，即ω≥ 0，1>ω=1和ωk≥ ω`k≥ `. 由ω生成的光谱风险度量Mω（y）定义为asMω（y）=NX`=1ω`y（`）。设ω=0。

那么，Mω（y）=NX`=1ω\'y（`）=NX`=1（ω`- ω`-1)NXj=`y（j）=NX`=1γ`ESβ`（y），其中γ`=（N- ` + 1)(ω`- ω`-1) ≥ 0和β`=`-1N。因此，Mω（y）是一个一致的风险度量。很容易检查PN`=1γ`=PN`=1ω`=1，即γ是概率质量函数。这激发了以下定义。定义2.3（广义光谱风险度量）。让γ∈ Rd表示概率质量函数，即γ≥ 0和1>γ=1。让β∈ [0,1）d.广义谱风险度量ργ，β（y）定义为ργ，β（y）=dX`=1γ`ESβ`（y）。2.2.投资组合选择问题。我们使用不同的风险模型来度量投资组合x的风险。让Lk∈ RNk×ndenote与第k个风险模型相对应的经验损失矩阵，其中Nk表示根据第k个模型抽取的样本数量。根据k-th模型，投资组合x的风险由广义谱风险度量ργk，βk（Lkx），k=1，m、 在本文的剩余部分，我们将把ργk，βk缩写为ρk。谱风险约束投资组合选择问题的目标是找到使预期收益最大化的投资组合x。让我们∈ Rn是平均返回向量。u通常设置为等于加权平均值u=-Pmk=1qkNk（L>k1），其中q是一个概率质量函数，为m个风险模型分配权重。因此，投资组合x的预期回报率为u>x。鉴于基数约束在实际中对控制交易成本非常重要[Chang等人，2000]，我们有兴趣选择稀疏投资组合，即`-normPni=1（| xi |>0）较小的投资组合。不幸的是，相关的基数约束投资组合选择问题通常是NP难问题。尽管如此，一个很好的近似方法是用`-normPni=1 | xi |[Candes等人，2008]替换`-norm。因此，我们想要解决的谱风险约束稀疏投资组合选择问题的形式是：（2.2）maxu>x- λkxks。T

ρk（Lkx）≤ αk，k=1，·m，>x=1，kxk∞≤ B、 λ在哪里≥ 0是控制投资组合稀疏性的参数，αkis是第k个风险模型中的风险预算`∞-定义为kk∞= max1≤我≤n | xi |，且B>0的界限控制着投资组合的杠杆。对于（2.2）中的“范数正则化”，还有两种额外的解释。因为1>x=1，`-normkxk=Pi:xi>0xi-Pi:xi<0xi=1- 2Pi:xi<0xi，因此，惩罚`标准相当于惩罚空头头寸[DeMiguel等人，2009年]。惩罚投资组合的`-范数也有助于在存在参数估计误差的情况下提高投资组合的样本外绩效[DeMiguel等人，2009]。实际上，参数λ是通过交叉验证[DeMiguel等人，2009]根据特定的预期性能选择的。在本文中，我们不知道投资组合经理处罚投资组合规范的理由——控制交易成本、限制短期销售或改善投资组合的样本外绩效。因此，wesetλ=u>x*/kx*k其中x*∈ argmax{u>x:1>x=1，kxk∞≤ B} 确保目标中的两个术语始终具有可比性。第4节中报告的数值结果清楚地表明，SpecRiskAllocate的运行时间不依赖于λ的值。我们在第3节中开发的求解方法也能够解决以下投资组合选择问题：（a）稀疏加权平均谱风险投资组合选择问题maxu>x- λkxk-mPk=1θkρk（Lkx）s.t.1>x=1，kxk∞≤ B、 θ在哪里∈ Rm+是权重向量。（b） 稀疏平均最大谱风险投资组合选择问题maxu>x- λkxk- θmaxk=1，··，mρk（Lkx）s、 t。