常弹性方差过程的重组二叉树

但是，如所注意的，如所注意到的，如所注意到的，如如所注意到的，如如所注意到的，如如所注意到的，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如，例如76 0.47 53 0.4417 0.4851 0.47040.0.0 0.0 0.0 0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0 0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0 0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0 0.0.0.0.0 0.0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.3 0 0 0 0 0 0 0 0 0.3 3 3 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.3 3 3 3 3 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0.3 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.3 3 0.0007 0.0000 0.0000 0.0007表1。欧洲期权在CEV过程和Ramaswamy（见[6]，第418页）下的收敛性，其二项式过程近似值随着时间的延长而恶化。我们的重组二叉树近似于线性复杂的期权价值，尽管到期日延长了。它简单而有效。通过图片比较了闭式解和二叉树方法的欧式看跌期权价值。股票S从0到3不等，执行价E=1，T=1，r=0.05，σ=0.2。此外，我们知道欧洲看跌期权的价值随着β的降低而增加。实际上，我们通过展示图3和图4来展示这一事实。在图3和图4中，我们计算了欧洲看跌期权的价值，因为股票价格在0.5到1.5.4.2之间变化。信封在本节中，我们研究树的节点集的范围。我们找到树边界的无符号包络。设fn=S（n，2n）- 1） 这是树的最上面的树枝。

然后复合方程（5）变成（fn- fn-1） （fn-1.- fn-2） =σ（fn）βt不同的时间尺度τ=t√最终时间T=Nt、 那么t=nt、 fn≈ y（n）√t） =y（τ）0.5 1 1.5 2 2.5 300.10.20.30.40.50.60.70.80.91SEuropean_u putbeta=0.5二项式封闭解（a）beta=0.50 0.5 1 1.5 2 2.5 300.10.20.30.50.60.80.91SEuropean______β=1二项式封闭解（b）beta=0.5 2 2 2 1.5 2 2 2 2 2 2 2 2 1二项式封闭解（b）beta=0.50.50.70.70.70.70.80.80.2β=2。CEV下的欧洲看跌期权价格为股票变量0。5.1 1 1.500.10.20.30.40.5 Seuropean__uPutEuropean Putβ=0.1β=0.5β=1β=2图4。欧洲看跌期权价格增加了sβ，降低了在CEV下通过二叉树方法计算的值，因为股票变量股票s依次变化0.5到1.5，执行价格E=1，T=1，r=0.05和σ=0.2-红色：β=0.1-蓝色：β=0.5-绿色：β=1-黑色：β=2，让当t为零时，我们得到包络方程（y′（τ））=σy（τ）β（7）y（0）=f。我们很容易找到包络方程（7）的解：y（τ）=exp（±∑τ+c），c=ln（S（1，1）），如果β=2，y（τ）=2- β（±∑τ+c）2-β、 c=2- βS（1,1）2-β、 如果0<β<2。我们比较了二叉树的包络和解析包络。图5给出了当β=1，β=2，S=3，E=1，r=0.05，σ=0.2时的包络图。二叉树的包络遵循渐近解。每个图中有两个图表。一个（红色）是二叉树包络，另一个（-蓝色）是包络方程（7）的解。我们看到两条曲线吻合得很好。5.在CEV模式下为美国看跌期权定价美国看跌期权赋予其持有人在开始日期和未来规定日期之间的任何时间以规定价格向书面规定资产出售的权利（但无义务）。美式期权与欧式期权的区别在于早期行使的可能性。

美式期权可以在起始日和到期日之间的任何时间行使，而欧式期权只能在到期日行使。不幸的是，一般来说，美式期权问题没有解析解。结果表明，二叉树方法可以用来评估美式看跌期权的价值。在每个节点，我们计算期权的价值，作为下一期价格的函数。在第三章中，确定了CEV差异下二项模型中的资产价格。如果看跌期权在到期日T前为helduntil，则（8）VNi=∧（SNi）。这里，tN=T，∧（Sni）=Max（E- Sni，0）和E是一个行使价格。我们在树后面工作。如果保留该选项，则VNE-rδt（pniVn+1i+1+（1-pni）Vn+1i-1). 然而，行使该选项将产生∧（Sni）。因此，在这两种可能性中选择最好的一种会导致这种关系。（9） Vni=最大值∧（Sni），e-rδt（pniVn+1i+1+（1- pni）Vn+1i-1)].然后我们计算时间为零的期权价值。注S、E、T分别表示当前股价、履约价格、到期时间。0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40246810214Tstockenvelope，beta=1-解决方案信封命名树信封（a）b eta=10 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4020406080100120140tStockEnvelope，beta=2代码-解决方案信封名义树信封（b）beta=2图5。在S=3、E=1、r=0.05、σ=0.2的情况下，比较信封蓝色：ode解决方案信封红色：二叉树信封。（a） β=1，（b）β=20.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.2500.050.10.150.20.25 Samerican__PutAmericanPutβ=0.1β=0.5β=1β=2图6。

在CEV下，当股票价格变化时，通过二叉树方法计算的美式看跌期权价格-E=1，T=1，r=0.05和σ=0.2，当股票价格变化0.8到1.25时-红色：β=0.1-蓝色：β=0.5-绿色：β=1-黑色：β=2在图6中，我们给出了美式看跌期权的数值，通过重组二叉树方法计算，E=1，T=1，r=0.05，σ=0.2，因为股价S从0.8变化到1。25.观察美式看跌期权的价值随着β的降低而增加，就像欧式看跌期权的价值一样。-2.-1.5-1.-0.5 0.5 1 1.5 200.511.52log（x）f（x）对数正态密度，t=1，S=1，u=0.05，σ=0.2 pdf f（x）pdf二叉树图7。将二叉树（β=2）的概率密度函数与图7中的对数正态概率密度函数进行比较，我们还比较了重组树解的概率分布函数和解析解的概率分布f（x）=xσ√2πtexp[-日志（x/S）- (u - σ/2）t2σt]当β=2.6时。结论本文讨论了标的股票服从常方差弹性（CEV）过程时美式看跌期权的定价问题。我们构建了一个重组二叉树来模拟CEV过程。因此，我们可以有效地将其应用于美式看跌期权的定价。通过比较解析解和二叉树的欧式看跌期权价值，我们试图证明二叉树方法的收敛性。我们的数值结果显示了良好的收敛性。本文构造的二叉树具有最自然、最简单的优点，因为它对CEV模型具有精确的重组和线性复杂性。我们猜想，如果我们能导出Black-Scholes型偏微分方程，我们的想法可以应用于不同的微分过程。参考文献[1]S.BECKERS，《可变弹性模型的常数弹性及其对期权定价的影响》，J.Finance，第3卷第5期。

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