常弹性方差过程的重组二叉树

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英文标题：
《Recombining binomial tree for constant elasticity of variance process》
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作者：
Hi Jun Choe, Jeong Ho Chu and So Jeong Shin
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  The theme in this paper is the recombining binomial tree to price American put option when the underlying stock follows constant elasticity of variance(CEV) process. Recombining nodes of binomial tree are decided from finite difference scheme to emulate CEV process and the tree has a linear complexity. Also it is derived from the differential equation the asymptotic envelope of the boundary of tree. Conducting numerical experiments, we confirm the convergence and accuracy of the pricing by our recombining binomial tree method. As a result, we can compute the price of American put option under CEV model, effectively.
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中文摘要：
本文研究的主题是当标的股票遵循恒定方差弹性（CEV）过程时，重组二叉树对美式看跌期权进行定价。二叉树的重组节点由有限差分格式决定，以模拟CEV过程，该树具有线性复杂度。由微分方程导出了树的边界的渐近包络。通过数值实验，我们用重组二叉树方法验证了定价的收敛性和准确性。因此，我们可以在CEV模型下有效地计算美式看跌期权的价格。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Numerical Analysis        数值分析
分类描述：Numerical algorithms for problems in analysis and algebra, scientific computation
分析和代数问题的数值算法，科学计算
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PDF下载：
--> Recombining_binomial_tree_for_constant_elasticity_of_variance_process.pdf (263.4 KB)

2022-5-7 01:51:07 上传

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关键词：二叉树 Applications Quantitative Differential Computation

变量恒定弹性的重组二叉树——韩国首尔延世大学数学系赵俊俊、朱正浩和苏正新摘要。本文的主题是当标的股票遵循恒定方差弹性（CEV）过程时，重组二叉树对美国看跌期权进行定价。二叉树的重组节点由有限差分方案决定，以模拟ECEV过程，该树具有线性复杂度。它也是由微分方程导出的树的边界的渐近包络。通过数值实验，我们用重组二叉树方法证明了定价的收敛性和准确性。因此，我们可以在CEV模型下有效地计算美式看跌期权的价格。关键词。重组，二叉树，包络，CEV模型，美式看跌期权1。简介Black和Scholes[2]在假设基础股票价格遵循几何布朗运动（GBM）的情况下推导了著名的期权定价公式。在这个假设下，价格分布是对数正态的，波动率是恒定的。然而，经验证据并不支持对数正态分布和恒定波动率的假设。换句话说，与GBM的基本假设不同，我们观察到期权的市场价格随行权价格和到期日而变化的隐含波动性。这种现象被称为“波动微笑”。CEV模型可以解释“波动微笑”现象，比GBM更接近真实世界。因此，CEV模型已经成为一种流行的、具有前瞻性的库存过程模型，并且已经有许多尝试用于实际应用。Cox和Ross[4]推导了标的股票过程遵循CEV模型时的期权定价公式。

Beckers[1]研究了CEV模型的财务影响。有人指出，CEVmodel可以拟合股票期权的波动性偏差。实际上，Cox和Ross[4]以及Emanueland MacBeth[7]在假设正弹性的情况下导出了欧式期权的封闭形式解。施罗德[10]简化了公式。然而，涉及非中心卡方分布函数的计算非常复杂，作为一种尝试，薛定谔为CEV模型引入了期权定价的解析近似。显式公式仅适用于欧式普通期权，而不适用于美式期权和其他外汇期权。因此，美式期权的计算通常采用二叉树方法。Nelson和Ramaswamy[6]提出了一个简单的二项过程近似来描述CEV过程。但是，正如Nelson和Ramaswamy（[6]，第418页）所指出的那样，他们提出的简单的二项近似过程随着成熟度的延长而恶化。为了克服这种计算负担，我们提出了一个真正简单而准确的二叉树来估计美式看跌期权的价值等等。我们的二项式树的新颖之处在于CEV模型的精确重组。部分微分方程的有限差分格式CEV模型采用重组树。此外，众所周知，二叉树方法可以解决早期运动估值问题。与偏微分方程法和其他数值方法（如蒙特卡罗模拟）相比，二项式方法是一种有效且强大的pricingAmerican期权方法。Tomer Neu-Ner[11]讨论了其他定价方法，并将其与二项式方法进行了比较。他声称二项式三元法是CEV模型下期权定价的一个非常有价值的工具。本文的剩余部分组织如下。在第2节中，我们回顾了brie-fly CEV模型。

第三部分是本文的主体部分。首先，我们推导了适用于任何类型期权的偏微分方程。其次，我们建立一个二叉树来近似CEV过程，并评估美式看跌期权的估值。换句话说，我们介绍了二叉树的结构，它可以精确地重组。在第四节中，我们给出了数值结果，并讨论了第三章中建立的二项式过程的收敛性。在第五节中，我们通过重组二叉树计算了CEV模型下的美式看跌期权价值。在最后一节中，我们给出了本文的结论。2.Cox和Ross[4]提出了恒定方差弹性模型CEV模型，以替代Black和Scholes[2]模型（GBM）。该模型提出了股票价格S与波动率γ（S，t）γ（S，t）=σSβ之间的以下关系-2.这意味着回报方差相对于股价S的弹性等于β- 2.dν/νdS/S=β- 2.在CEV模型中，假设股价S受扩散过程控制：dS=uSdt+σSβdW。这里，我们将t时刻的股价表示为S，股价在增量dt上的变化表示为dS。u、σ和β为正常数。dW是维纳过程。我们假设股票不派息。如果β=2，则波动率σ（S，t）为σ。所以在这种情况下，CEV模型就是GBM模型。否则，观察波动性随股价水平和时间的变化而变化。如果β>2，波动率和股价的移动方向相同。如果β<2，则波动率随着股价的下降而增加。在这种情况下，概率分布与观察到的带有重左尾的股票期权的概率分布相似。根据经验数据可知，股票价格和收益率呈反比关系。所以我们只考虑0<β<2.3的情况。CEV扩散的二叉树3。1.

BLACK-SCHOLES方程的有限差分法。我们考虑一般的库存流程。dS=b（S，t）dt+σ（S，t）dW。首先，定义一个函数V（S，t），该函数给出资产价格S的期权价值≥ 在任何时间0与0≤ T≤ T关键的想法是通过对冲来消除风险。我们可以通过做类似的论证来得到一个Black-Scholes方程，得到以下方程：（1）五、t+五、SrS+五、Sσ（S，t）- rV=0，Vni-1.VniVni+1Vn-1i-1Vn-1iVn-1i+1图1。有限差分法，其中r为无风险利率，为常数且为正值。我们要认识到时间在（1）中倒流。其次，我们将FDM应用于上述方程。FDM是一种直接求解偏微分方程（PDE）的方法。FDM要求域被agrid替换。推导FDM的关键步骤是用有限的微分算子代替微分算子。

通过将差分公式插入PDE（1），得到了差分方程（2）：（2）Vni- 越南-1it+Vni+1- Vni-1Sni+1- Sni-1rSni+σ（Sni）Vni+1-VniSni+1-Sni-Vni-Vni-1Sni-Sni-1（Sni+1）- Sni-1)- rVn-1i=0。在这里，Vnide记录了与资产价格Sniat（n，i）节点对应的期权的价值。上标表示时间级别。通过简化我们得到（1+r）t） 越南-1i=Vni+Vni+1- Vni-1Sni+1- Sni-1rtSni+σ（Sni）tSni+1- Sni-1.Vni+1- VniSni+1- Sni-Vni- Vni-1Sni- Sni-1.=R茨尼斯尼+1- Sni-1+σ（Sni）t（Sni+1）- Sni-1） （Sni+1）- Sni）Vni+1+1.-σ（Sni）t（Sni+1）- Sni-1） （Sni+1）- Sni+Sni- Sni-1)Vni+-R茨尼斯尼+1- Sni-1+σ（Sni）t（Sni+1）- Sni-1） （Sni）- Sni-1)Vni-1.我们有Vn的显式形式-1如下（3）Vn-1i=1+rt[hni+1Vni+1+hniVni+hni-1Vni-1] 式中，Hni+1=r茨尼斯尼+1- Sni-1+σ（Sni）t（Sni+1）- Sni-1） （Sni+1）- Sni）S（1，1）zz$$■■■■■■■■■S（2，1）zz$$■■■■■■■■■S（2，3）zz$$■■■■■■■■■S（3，1）zz$$■■■■■■■■■S（3，3）zz$$■■■■■■■■■S（3，5）zz$$■■■■■■■■■S（4,1）S（4,3）S（4,5）S（4,7）图2。二叉树的结构：精确重组ni=1-σ（Sni）t（Sni+1）- Sni-1） （Sni+1）- Sni+Sni- Sni-1） hni-1=-R茨尼斯尼+1- Sni-1+σ（Sni）t（Sni+1）- Sni-1） （Sni）- Sni-1).如果有限差分方案对应于二叉树，我们必须使hni=0，即（4）1-σ（Sni）t（Sni+1）- Sni-1） （Sni+1）- Sni+Sni- Sni-1) = 0.我们观察到，如果hni=0，那么hni+1+hni-1= 1.3.2. 二叉树的结构。在CEV模型σ（S，t）=σSβ中，通过简化方程（4），我们得到了本质复合方程（5）（Sni+1）- Sni）（Sni）- Sni-1） =σSniβt、 现在，我们建立一个股票价格的重组二叉树。二叉树构造的基本思想如下。这里，我们让S（i，j）（=Sij）表示i-timelevel（j=1，2，·，2i）下的股票价格-1). 把S（i，j）=S（i）-1，j-1） ，i=2，··，n，j=2，··，2i-2.

AndS（i，1）和S（i，2i）- 1） 由方程式（5）确定。请注意，S（i，j）是第i个时间步的基础股价。我们详细解释了这个过程。首先，S（1，1）是当前的股价。把S（2，2）=S（1，1）。如果给定S（2，3），那么两个已知值S（2，3）和S（1，1）（=S（2，2）），以及一个未知值S（2，1）应该满足重组方程（5），因为股票价格遵循CEV模型。也就是说，值S（2，1）由两个已知值S（1，1）（=S（2，2））、S（2，3）和等式（5）确定。现在，把S（3，3）=S（2，2）和S（3，4）=S（2，3）。同样，值S（3，5）由两个已知值S（3，3），S（2，3）（=S（3，4））和等式（5）确定。类似地，我们得到了由S（3，3），S（2，1）（=S（3，2））和方程（5）确定的（3，1）。我们再描述一个步骤。把S（4，5）=S（3，4），S（4，6）=S（3，5）。我们得到由方程（5）确定的S（4，7），插入两个已知值S（4，5）和S（3，5）（=S（4，6））。类似地，将S（4，3）=S（3，2）和S（4，2）=S（3，1），我们通过将两个已知值S（4，3）和S（3，1）（=S（4，2））插入方程（5）中来获得S（4，1）。观测到S（4，3），S（3，3）（=S（4，4）），S（4，5）满足方程（5）。继续在samemanner中，我们可以建立CEV模型的股价二叉树。注意，一旦（2，3）被确定，二叉树是唯一确定的。以这种方式构建的二叉树的最大好处如下。这是一个最自然、最简单的二叉树，允许在CEVmodel下进行精确重组。Cox&Rubinstein（[5]，第362页）已经构建了一个关于CEV差异的二项式近似值。

然而，事实证明，在这种情况下，计算是不合适的，因为tree不会重新组合，因此每个时间步的节点数都会翻倍。当二叉树没有在每个节点上重新组合时，计算效率不高。另一方面，在每一级进行重组的二叉树计算效率高且速度快，因为节点数最多与时间间隔数呈线性增长。也就是说，在重组二项式过程中，股票价格可以在i个周期后取i+1个可能值，即i=1,2,3，·n.3.3。找到树的第一个值（确定股票价格u的增长率）。现在我们有问题了。我们如何设置S（2，3）的值？换句话说，我们必须调整参数（u：上移因子）并解释原因。dS=uSdt+σSβdW。利用欧拉离散化S=uSδt+σSβY√t、 Y在哪里~ N（0,1）Sn+1=Sn+uSnt+σSβnY√t=Sn（1+u）t+σSβ-1nY√t） 。取Y=1，使Sn+1=Sn（1+ut+σSβ-1n√t） 。自从√t比n大得多还是小的t、 我们可以忽略从t项到getSn+1≈ Sn（1+σSβ）-1n√（t）≈ SneσSβ-1n√t、 注意，如果β=2，Sn+1≈ Sn（1+σ）√（t）≈ Sneσ√所以我们设定S（2，3）=S（1，1）eσS（1，1）β的值-1.√t、 3.4。每个节点向上移动的概率。在CEV模型中，波动性不是t常数，而是随基础价格的价值而变化。当波动率随价格变化时，必须在每个节点计算上升的概率。现在，我们计算每个节点向上移动的概率。为了简单起见，让我们Sni=Sni+1- 斯尼。然后方程（4）变成1-σ（Sni）TSni+Sni-1.Sni+Sni-1.= 另一方面，在二叉树的过程中，我们有-1i=e-Rt（pn-1iVni+1+（1）- pn-1i）Vni-1).给你，pn-1是指股票价格在（n）处上升的可能性- 1，i）节点。

通过与（3）e的比较，我们得到了以下方程-Rtpn-1i=1+rthni+1=1+rTRtSniSni+Sni-1+σ（Sni）t(Sni+Sni-1)SniE-Rt（1）- pn-1i）=1+rthni公司-1=1+rT-RtSniSni+Sni-1+σ（Sni）t(Sni+Sni-1)Sni-1..因为hni=0，所以我们也有1-σ（Sni）t（Sni+1）- Sni-1)Sni+1- Sni+Sni- Sni-1.= 01=σ（Sni）TSni+Sni-1.Sni+Sni-1.1=σ（Sni）σ（Sni）SniSni-1.Tt=Sniσ（Sni）Sni-1σ（Sni）。允许Sniσ（Sni）=ξi，然后在误差很小的情况下，我们可以写出ξi-1.≈ ξi=χ=√t、 然后上面的方程式变成-1i=ert1+rTRtSniSni+Sni-1+σ（Sni）t(Sni+Sni-1)Sni=呃t1+rTR√tSniσ（Sni）+1.- pn-1i=ert1+rT-RtSniSni+Sni-1+σ（Sni）t(Sni+Sni-1)Sni-1.=呃t1+rT-R√tSniσ（Sni）+.因此，在CEV模型中，我们有（6）个pni=ert1+rtr√tSn+1i1-βσ+!.4.数值测试在第三节，我们建立了一个二叉树来模拟CEV差异。它为期权定价提供了一种有效的方法，因为它完全重组。在这一点上，我们通过数值实验给出了二叉树定价的收敛性。4.1. 欧洲看跌期权。我们有一个表示CEV过程的随机微分方程，如下所示：- q） Sdt+σSαdW，其中r、q、a和α分别是无风险利率、股息收益率和弹性的参数。在CEV模型下，欧式看涨期权和看跌期权的封闭式定价公式可用。

考克斯[3]得出C=Se-qT[1- χ（a，b+2，c）]- 柯-rTχ（c，b，a），p=Ke-rT[1- χ（c，b，a）]- 硒-qTχ（a，b+2，c），当α<1（或β<2）时，伊曼纽尔和麦克白[7]得出thatc=Se-qT[1- χ（c），-b、 a）]- 柯-rTχ（a，2）- b、 c），p=Ke-rT[1- χ（a，2）- b、 c）]- 硒-qTχ（c，-b、 a），当α>1（或β>2）且α=[Ke]-（r）-q） T]2（1）-α)(1-α） ω，b=1-α、 c=S2（1-α)(1-α） ω，其中ω=δ2（r-q） （α）-1） [e2（r）-q） （α）-1） T- 1] χ（z，k，w）是具有非中心参数ω和k自由度的非中心卡方随机变量的累积分布函数。现在我们比较分析解和二项式树解之间的欧式看跌期权价值，以检查二项式树解的收敛性。假设S、E和Tdenote分别为当前股价、履约价格和到期时间。我们使用解析解和二叉树解对欧洲看跌期权进行估值，S=0.5、1、1.5、E=1、T=、1、r=0.05和σ=0.2。解析解和树分别表示使用解析闭式公式和使用本文构造的二项式树方法获得的期权值。表1显示了n=365、n=365×2的结果，并对m个解进行了闭合。注意，对于n的所有选择，二项式树方法近似树都接近解析解至少两位小数。它证明了本文建立的二叉树的收敛性。因此，我们断言，本文构造的重组二叉树方法很好地逼近了该解。另一方面，Nelson和Ramaswamy[6]提出了一种二项过程近似方法，用于CEV模型下的期权定价。