具有相关收益的金融市场投资组合优化

（）。nb k k r k r r r     附录中给出了这个定理的简要证明。3.一个真实数据的数值例子在本节中，我们给出了几个数值例子，展示了我们的方法在真实股票投资组合中的应用。我们希望通过计算长期的投资组合财富来评估我们模型在真实市场条件下的性能。这些例子使用的数据来自俄罗斯证券交易所MICEX（www.finam.ru）。其中包括俄罗斯最大公司的每日股价，如俄罗斯联邦储备银行、俄罗斯天然气工业股份公司、悉尼威立雅运输公司、卢克石油公司、挪威镍业公司、俄罗斯石油公司和俄罗斯石油公司。投资组合由五项风险资产组成。通过进行数值模拟，我们查看了这五种资产的所有可能组合。我们考虑的情况是，投资者必须在大约1500个交易日（大约四年）的投资期内，将一个单位的财富分配给风险资产和一个无风险资产。无风险资产在此处被视为r=0.0001，r=0.0002的银行账户。基于MPC的投资组合更新在每个交易日执行一次。我们将跟踪目标设定为每天返回0.15%（μ=0.0015）。我们假设初始端口组合高度为V（0）=V（0）=1。衡量交易成本水平的矩阵被设置为r（k，i）=diag（10-4，…，10-4），所有k，i的权重系数ρ（k，i）=0.1。

我们用参数βi=-0.6，（i=1，…，n），γi=3，（i=1，…，n+1）对跟踪投资组合问题施加约束。因此，我们允许借贷和卖空。对于在线有限视界MPC问题，我们使用m=10的视界，并使用quadprog在MATLAB中对其进行数值求解。m函数。在每个时间k，优化问题都需要输入参数，即预测收益和预测期m内的预测收益二阶矩。这些参数可以使用不同的模型规范来估计，这些模型规范描述了收益资产的演变。例如，包括使用自回归模型、条件异方差模型、因子模型、复杂非参数方法和其他方法（例如，参见[12,19]）。作为一个简单的例子，我们假设风险资产收益的多变量过程遵循VAR（2）模型（2阶向量自回归模型）[12]12（1）（（1）（1），k a k a k k）          式中12，aa是系数矩阵，12（）nI A  是截距项的向量，{（）}；Ekand（1）k是n维白噪声，即{（1）}0；埃克{ ( 1) ( 1)} ;特克    { ( ) ( )} 0, .特基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基   假设协方差矩阵是非奇异的。我们使用基于过去200个交易日或跟踪期的观测历史数据，通过理论最小二乘法估计该模型的参数。这些参数在整个研究期间被视为常数，等于基于向后数据的初始经验估计值。

我们根据这个VAR（2）模型计算了预测的条件二阶矩，并将它们代入方程（14）-（15）。在实践中，风险资产收益的时间序列具有与经典VAR模型的假设不一致的趋势行为。为了捕捉风险资产回报的短期趋势，我们使用以下基于VAR（2）模型的修正预测程序。我们使用过去历史回报数据的两天窗口计算回报的样本平均值，并将这些估计值纳入VAR（2）预测值12^^^^^{（）/（）}{（1）/（）}^{（2）/（）}，ekhkkkkkkkkkkhkkhk           其中真正的系数1替换为1 21,2^^^^^；( ) ( ,.) ,;不，嗯    该公式用于递归计算从h=1开始的h步预测值。该预测器用于预测等式（17）和（18）中每个决策时间k的预测视界m之后的预期收益。当新的测量值可用时，旧的测量值将被丢弃，新的测量值将被添加。因此，我们使用调整后的程序，在每个时间k更新平均回报的估计。这种启发式方法的一个动机是，我们不受限制地构造任何类型的预测器，以获得最佳的资产配置策略。然而，在这项工作中，预测是一个太大的问题，无法充分解决，优化结果对估计参数的敏感性的调查不在这项工作的范围之内。我们给出了典型的实验结果，如图1-3所示。在下图中，投资组合由五项风险资产组成：卢克石油、俄罗斯天然气工业股份公司、俄罗斯联邦储备银行、俄罗斯石油天然气公司和挪威镍业公司。

投资期为2007年7月20日至2014年9月11日（约6年）。图1绘制了跟踪投资组合和参考投资组合值。在图2中，我们对风险资产俄罗斯天然气工业股份公司进行了投资。图3描绘了俄罗斯天然气工业股份公司资产的风险资产回报。可以从上述示例中收集到一些见解。图1显示了跟踪一个referenceportfolio策略使我们能够获得平滑的增长曲线。根据二次标准进行控制的优点是，可以预测portfoliowealth的增长轨迹，该轨迹应尽可能接近投资者给出的确定性基准。图1。跟踪业绩（V-真实投资组合，V-参考投资组合）。图2。资产配置决策（uis指在俄罗斯天然气工业股份公司投资的金额）。图3。风险资产回报（俄罗斯天然气工业股份公司）。重要的是要承认，在我们的实验中，我们使用一个相当简单的模型进行参数估计，提出的策略的性能似乎相当有效。因此，我们的方法使我们能够设计出不敏感的策略，即稳健的TopParameters估计。显然，可以使用更复杂的估计方案来提高参数估计的精度。4结论与未来工作本文研究了一个收益率序列相关的离散时间投资组合选择问题，该问题只知道第一个和第二个条件矩。关于收益的统计分布的知识不是假设的。我们建议使用MPC方法来解决这个问题。

在交易金额、交易成本和借贷利率等硬约束条件下，得到了最优投资组合控制策略。使用滚动期实现的优势在于，在每个决策阶段，我们都可以从对前一阶段实际市场行为的观察中获益，并使用信息为模型提供新的估计。我们给出了基于俄罗斯证券交易所MICEX的一组真实数据的数值模拟结果。我们发现，在实际数据上，所提出的方法是合理的。Portfolio的价值跟随着Reverseceportfolio的价值，在大多数情况下都超过了Portfolio，学员们也很满意。附录定理1的证明：投资组合动力学（3）可以改写为 1（1）1（）[（1），1]（），VKRVKKKUK     其中η（k）=[η（k）η（k）…ηn（k）]是风险资产回报的向量，1 2 1（）[（）（）…（）]Tnu k是输入（操纵）变量的向量，和  1 1 1 1 2( ), ( ) ... （）。nb k k r k r r r     约束（4）-（6）可以用矩阵形式（元素不等式）重写：minmax（）（）（），uksuk（19） 在哪里 11101 1 ... 1,01,nnnieseMinMax11MaxMin22MaxMinMaxMinMax0Max1。()()()()......（），（）（）（）0nnnukukuk k V kVkuk目标（9）可以写在以下表格中：（/）（1）（1）TJ k m k E X k X k    （20） 1（1）（1）Tk X k k R k k k    2（/）（，0）（1）（1）（，0）（1）/（），Tku k R k u k V k     F受（1）约束[（1），1]（），X k V k k k       （21）其中21（1）（2）（1），1，。。。

...()( ) ( / ), ( 1 / ),..., （1/），mTT T T TV k AV k AX k A rV k m AUK k k k k k k k k k k k k                          ( 1)( 2)( 1) ,...（）KKM  1112[ ( 1), 1][ ( 1), 1] 0 ...[ ( 1), 1] [ ( 2), 2] ...... ... ...[ ( 1), 1] [ ( 2), 2] ...NMMKKKKKKKKKKKKKKKKK          1111... 0... 0,... ...... [（），]nnb k m 1 1 1 1( 1) ( ,1), ( ,2),..., （，），KRKRKM  1 1 1 11 1 1 1( ,0) ( ,1) ( ,1) ...( ,1) ( ,1) ( ,2) ...( ) ... ... ...0 0 ...0 0 ...n n n n n n n n R k R k R k R k k R k k          1 1 1 11 1 1 1... 0 0... 0 0.... ... ...... ( , 1) ( , ) ( , )... （，）（，）n n n n n n n n nR k m R k m R k m R k m m            使用（21），我们可以重写（20）如下211（/）（）2（）（1）TTJ k m k V k k            (22)    （1），1（）（1），1（1），1/（）k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k               FF（1）（0）（1），图k R k k  哪里 1 1 1 1( ) 2 ( ,0) ( 1) 0 ... 0 .nnL k R k u k   表示矩阵        1( ) ( 1), 1 ( 1), 1 / ,( ) ( 1), 1 ,( ) ( 1) ( 1), 1 ( ).KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK                    FFFWe认为，在约束条件（4）-（6）下，准则（9）的极小化等价于带准则的二次规划问题 （/）2（）（）（）（）（）（）[（）（）（）（）（）（）（）（）（）TY k m k V k G k F k U k k k k H k R k k k k k   受到限制（19）。简单的计算可以得到矩阵H（k）、G（k）、F（k）的表达式（14）-（18）。这就完成了证明。参考文献：[1]A.Bemporad，L.Puglia，T.Gabbriellini，带交易成本的动态期权套期保值的Astochastic模型预测控制方法，Proc。

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