有担保的可变年金定价的快速数值方法

所需的连续函数Qt（W，A）将在W空间中的离散网格上通过三次样条插值逼近。A（t）的任何变化仅在提款日期发生。在提取总金额后，财富账户从W（t）减少-n） 到W（t+n）=最大值（W（t-n）-γn，0），保证平衡从A（t）下降-n） 到A（t+n）=A（t-n）- γn.因此Qt（W，A）在tn上的跳跃条件由Qt给出-n（W（t）-n） ，A（t）-n） ）=max0≤γn≤A（t）-n） [Qt+n（最大值）W（t-n）- γn，0），A（t-n）- γn）+C（γn）]。（11） 对于最优策略，我们选择了限制条件0下的γ值≤ γn≤ A（t）-n） 最大化函数值Qt-n（W，A）in（11）。从QT开始，在时间上反复应用（10）和（11）-N（W（T）-), A（T）-)) = 最大值W（T）-), C（A（T）-))（12） 为我们提供t=0.3.1的年金价值总体算法描述对于给定提款日期之间的固定担保余额a，可以使用（10）对价格Qt（W，a）进行数值计算。现在我们把计算的细节留给下一节，并假设它可以以足够的精度和效率来完成。从t=t的最终条件开始-（就在最后提取之前），使用（10）的后向d时间步进给出了时间t=t+N的解决方案-1.为了在每次提取数据时应用跳跃条件，并找到溶液Q（W=W（0），A=W（0）），需要对A的许多不同级别进行反向时间步进。将跳跃条件（11）应用于t=t+N的溶液-我们在t=t时得到了解-N-1从中进一步向后时间步进，我们得到了att=t+N的解-2，等等。数值算法采取以下关键步骤：o步骤1。生成辅助有限网格0=A<A<A···<AJ=W（0），以跟踪担保账户A.o步骤2。将财富账户W空间离散化为W，W，WM.o第三步。在t=tN=t时，在每个节点（Wm，Aj），j=1，2。

，J，m=1，2，我要得到报酬-（W，C（A））。o第四步。评估每个AJ的积分（10），以获得Qt+N-1（W，A）。o第五步。将跳转条件（11）应用于o bt ain Qt-N-1（W，A）表示所有可能的跳跃，并找到跳跃以最大化Qt-N-1（W，A）。o第六步。对t=tN重复步骤4和5-2，田纳西州-3.t、 o第7步。计算积分（10）从t到t的后向时间步长，计算单节点值A=AJ=W（0），得到解Q（W，AJ），并将值Q（AJ，AJ）作为t=t时的年金价格。下面我们讨论（10）的数值积分算法的细节，使用三次样条插值上的高斯-埃尔米特求积，通过应用跳跃条件来实现。3.2预期的数值评估与有限差分方案类似，我们建议通过Wmin=W<W，…，对资产域[Wmin，Wmax]进行离散化，WM=Wmax，其中wmin和Wmax分别为下限和上限。对于GMWB的定价，由于在每个提款日W的最终减少，我们必须考虑W变为零的可能性，因此下限Wmin=0。上限设置得离即期资产价值足够远，时间为0 W（0）。这种边界的一个好选择是Wmax=W（0）exp（5σ）√T）。其思想是在t的每个时间步在所有这些网格点上查找选项值-ntot+n-1通过整合（10），从成熟期开始t=t-N=T-. 在每个时间步，我们通过高精度数值求积来评估每个网格点的积分（10）。在时间步t-N→ t+n-1，t=t时的期权价值-nis仅在网格点SWM已知，m=0，1，M.为了逼近离散网格点处的值的连续函数Qt（W，A），我们建议使用三次样条插值，它在一阶导数中是平滑的，在二阶导数中是连续的。

三次样条曲线的误差为O（h），其中h是插值变量间距的大小，假设间距均匀。三次样条插值涉及在所有网格点上求解二阶导数的线性方程组。对于固定网格和常数r和σ，三对角矩阵可以立即反转，并且只需要在三次样条程序中进行反向替换即可。退出日期之间的W（t）过程是（4）中给出的标准股票市场过程，W（t）的条件密度-n） 给定W（t+n）-1） 是对数正态分布，如（4）所示。一种更方便、更常见的做法是使用非正态分布的ln（W）进行工作。请注意，当我们使用ln（W）时，最小Wmin不是零，而是必须将Wmin设置为一个非常小的值（例如Wmin=10）-10).为了利用有限域上的高效高斯-厄米特数值积分，我们引入了一个新的变量y（tn）=lnW（t）-n） /W（t+n）-1)- νnτn，（13）式中，νn=（rn- α -σn）dt和τn=σn√Dtand表示该转换后的年金价格函数Qt（w，·）为Q（y）t（y，·）。显然，从（4）中可以看出，Y（tn）是标准正态分布，因此通过改变W（tn）t到Y（tn）t的变量，海因积分（10）变成了sqt+n-1.W（t+n）-1） ，A=E-rndtn√2πZ+∞-∞E-yQ（y）t-n（y，A）dy，（14）对于任意函数f（x），高斯-厄米特求积是z+∞-∞E-xf（x）dx≈qXi=1λ（q）如果（ξ（q）i），（15）其中q是厄米多项式的阶，ξ（q）是厄米多项式Hq（x）（i=1，2，…，q）的根s，相关权重λ（q）i由λ（q）i=q给出-1q！√πq[Hq]-1（ξ（q）i）]。一般来说，agiven阶q的高斯-埃尔米特求积的横坐标和权重可以很容易地计算出来，例如使用Press等人的函数。

(1992);同样作为参考，洛伊和舍甫琴科（2014）给出了横坐标和权重f或q=5、6、16。应用变量x=y的变化/√使用高斯-厄米特求积（14），我们得到qt+n-1.W（t+n）-1） ，A）=E-rndtn√πZ+∞-∞E-xQ（y）t-n(√2x，A）dx≈E-rndtn√πqXi=1λ（q）iQ（y）t-n(√2ξ（q）i，A）。（16） 如果我们将变量（13）的变化和高斯-厄米求积（16）应用于每个网格点Wm，m=0，1，M、 也就是说，让W（t+i）-1） =Wm，则选项在t=t+i时的值-1对于所有网格点，可通过（16）进行评估。正如在期权定价的有限差异设置中常见的做法，资产空间中的工作域是X=ln（W/W（0）），其中W（0）是t=0时的现货价值。在我们的实现中，我们有Xmin=ln（Wmin/W（0））并设置Xmax=ln（Wmax/W（0））=5σ√T将域（Xmin，Xmax）均匀离散以使网格（Xmin=X，X=δX，X=2δX，…，XM=MδX=Xmax）屈服，其中δX=（Xmax- Xmin）/M.网格点Wm，M=0，1，2，M、 然后由Wm=W（0）exp（Xm）表示。对于每个网格点wm或Xm，变量Y（tn）由（13）和W（t+i）给出-1） =Wm，计算出Wm的X（tn）=ln（W（tn）/W（0））和Y（tn）之间的关系为X（tn）=τnY（tn）+νn+Xm，因此在时间t+n时网格点Xm的数值积分值-1可以从（16）中表示为asQ（x）t+n-1.W（t+n）-1） ，A≈E-rndti√πqXi=1λ（q）iQ（x）t-n(√其中q（x）tn（x（tn），A）表示作为x（tn）=ln（W（tn）/W（0）函数的o pt离子值。上述使用高斯-厄米特求积的数值积分描述如图1所示。连续函数Q（x）tn（x，A）由基于变量x的三次样条插值逼近，给定离散点Xm，m=0，1，2，M

三次样条插值的精度比线性插值或二次插值高得多。自然边界条件施加在两端X=Xmin和XM=Xmax，即我们假设两端的样条函数的二阶导数为零。mX1！nttmX1 mX1 mXmnX！nttmnqjX！“#”）（图1：在时间t=tn处任意网格点xM的高斯-埃尔米特求积应用说明-1.实心圆是固定的g r id点，实心三角形是t=tn时预期平均值的点，给定Xmat t=tn-1，实心正方形是j- 与Xm相对应的第四方ur e点。3.3跳转条件应用让我们引入一个辅助有限网格0=A<A<A···<AJ=W（0）来跟踪剩余的保证余额A，其中J是保证余额坐标中的节点总数。需要上限W（0），因为剩余担保余额不能超过目标初始账户价值W（0）。对于每个Aj，我们将（17）的连续解与三次样条插值联系起来。在每一次跳跃中，我们都会让A成为g的一员≤ J≤ J.由于A在每次跳变时都被认为是固定的节点值之一，因此在整个差异解决过程中，无需持续跟踪担保余额A的实际变化。此外，我们还将可能的离散提款金额限制为有限。自然的简单选择（虽然没有必要）是只允许保证余额等于其中一个网格点0=A<A<A···<AJ=W（0）。

这意味着，对于给定的时间t的平衡aj-n、 t+nhas提取后的可能值为1 mW 1 mW KJMMAAW！“jAkA1 jA 1 jAmWWjAAA！ntt！ntt W）、（kmtAWQ）、（jmtAWQ 1 jAjkAA 1 jAmW1 Mw图2：应用于有限差分网格的跳跃条件说明。点等于或小于Aj，即A+j=Ak，1≤ K≤ j、 换句话说，提取量γ取j个可能值：γ=Aj- Ak，k=1，2，j、 注意上述限制，即γ=Aj- Ak，k=1，2，j不是必需的。唯一真正的限制是γ≤ Aj。然而，在没有限制的情况下，在跳跃落在网格点之间（不完全在网格点Ak上）之后，A+J的值需要一个简单的二维插值。由于这种离散化限制而产生的误差可以通过增加J轻松降低到可接受的水平。对于任何W=Wm，m=0，1，M和A=Aj，j=1，J，鉴于DrumbalAmount只能取预先定义的值γ=Aj- Ak，k=1，2，j、 不考虑时间tn和账户值Wm，跳转条件（11）采用以下形式表示特定的数值设置qt-maxajn，Wm=1≤K≤j[Qt+n（最大值（Wm- Aj+Ak，0，Ak）+C（Aj- Ak）。（18） 对于最优策略，我们选择了1的值≤ K≤ j最大化函数值qt-n（Wm，Aj）在（18）中。注意，虽然跳跃量γ=Aj-Ak，k=1，2，jis独立于时间tn和账户值Wm，Qt+n（最大值（Wm- Aj+Ak，0），Ak）取决于所有变量（Wm，Aj，tn）和跳转量。因此，必须对每个节点点（Wm，Aj）1执行上述跳转≤ M≤ M、 一,≤ J≤ J.每个提款日期。显然，对于每个节点点（Wm，Aj），我们都必须尝试j跳以找到Qt的最大值-n（Wm，Aj）。当Wm- Aj+Ak>0，值Qt+n（Wm- Aj+Ak，Ak）可以通过插值从M个离散网格点的值获得。

总的来说，我们有一些数值解决方案（通过积分获得）需要跟踪，对应于每一个数值，1≤ J≤ J.图2说明了跳跃条件的应用。n，以获得Wm+Qt- 从解Qt+n（W，Ak），只需要一维插值，因为保证平衡空间a中的坐标在Ak处保持不变。基本上，我们已经给出了W，W，…，的M+1值，Wm确定W=Wm时的值-Aj+Ak。为此，我们选择了与第3.2节中用于近似连续函数Qt（W，·）相同的三次样条插值。如Forsyth等人（2002）的收敛性研究所示，如果插值方案选择不当，则离散采样路径相关期权定价的基于PDE的数值算法可能不收敛（或收敛到错误答案）。之前所有关于路径相关（亚洲或回望选项）的数值PDE解的研究都使用线性或二次插值来应用跳跃条件。根据我们的经验，更好的选择是三次样条插值（Press等人（1992））。备注值得指出的是，在理性政策下，当前算法对GMWB定价的良好效率部分是由于在数值积分（10）和跳跃条件（18）的应用中使用了相同的三次样条插值。与PDE有限差分方法相比，当前数值算法的一个明显优势是，当前方法所需的时间步长明显较少。事实上，该方法所需的n个时间步数与提取日期的数量相同，即。

不需要将两个连续提款日期之间的时间段细分为时间步长——单个步长是足够的，因为（10）中的有限时间段内的过渡密度是精确的，并且由于有限时间步长没有近似误差。另一方面，由于对偏导数的有限差分近似，通常情况下，有限差分法需要将两个连续提款日期之间的周期划分为较短的时间步，以获得良好的精度。上述注释也适用于其他衍生工具，如具有离散行使日期的美式期权、亚洲期权和具有离散支付日期的目标累积赎回票据等。中心差分格式的精度在时间和空间上都是二阶的。在这里，由于Wspace中网格点的有限个数而产生的误差来自三次s样条插值和高斯厄米求积，而在有限差分法中，误差来自对空间导数的有限差分近似。这两种误差都可以通过增加W空间中网格点的数量（减少网格大小）来减少。3.4替代方案——GHQC与矩匹配在年金价格预期的计算中（14），Y（tn）的概率密度以闭合形式已知。一般来说，封闭形式的pdf可能未知，这里我们提出了一种矩匹配来代替（14），即假设我们不知道封闭形式的密度，但我们知道分布的元素，我们仍然可以通过将数值积分矩与已知矩相匹配来使用GHQC算法。设p（y）表示y（tn）的未知密度，则（14）中的积分为ωt+n-1（西）-1） ，A）=e-rndtnZ+∞-∞p（y）Q（y）t-n（y，A）dy，（19）可以重写为qt+n-1（西）-1） ，A）=e-rndtnZ+∞-∞E-y×[eyp（y）]Q（y）t-n（y，A）dy。

（20） 应用Gauss-Hermite求积（15）到（20），我们得到qt+n-1（西）-1） ，A）≈qXi=1λ（q）iep（ξ（q）i）q（y）t-n（ξ（q）i，A），（21），其中函数ep（y）=eyp（y），这也是未知的。定义一个新的权重ω（q）i=λ（q）iep（ξ（q）i），即积分简化toZ的数值求积+∞-∞p（y）Q（y）t-n（y，A）dy≈qXi=1ω（q）iQ（y）t-n（ξ（q）i，A）。（22）现在我们继续寻找未知系数ω（q）i，i=1，2，n通过配对时刻。认识到如果我们-n（y，A）乘以yK，积分n产生对应于pdf p（y）的第k阶矩，thusEtn-1[Y（tn）K]=Z+∞-∞p（y）yKdy=MK（y）≈qXi=1ω（q）i（ξ（q）i）K，（23），其中MK（y）表示随机变量y的第K阶矩。如果我们让K=0，1，N-1然后我们有n个方程来确定n个未知系数ω（q）i，i=1，2，q、 在我们的GMWB评估框架中，年金价值是X（tn）=ln（W（tn）/W（0）的函数，对于每个节点Xm，我们有X（tn）=τnY（tn）+νn+Xm。为了匹配r和om变量X（tn）（以νn+Xm为中心）的中心力矩，方程式（23）变为n-1[（X（tn）- νn- Xm）K]=Z+∞-∞pX（tn）（x）（x）- νn- Xm）Kdx≈qXi=1ω（q）i（τξ（q）i）K，K=0，1，Q- 其中pX（tn）（x）是随机变量x（tn）的pdf。对于标准的股票市场过程，X（tn）的中心矩是simpleytn-1[（X（tn）- νn- Xm）K]=（0，如果K是奇数，则τK（K）- 1)!! , 如果K是偶数，其中（K）- 1)!! 是双阶乘，即k中每个奇数的乘积- 1比1。备注虽然在（24）中没有明确显示高斯-厄米特权重，但它仍然是完全高斯-厄米特求积的直接应用。为了实现这一点，我们可以将ω（q）i=λ（q）iep（ξ（q）i）替换回（24）中的ω（q）i=λ（q）iep（ξ（q）i），以获得未知函数值ep（ξ（q）i），i=0，1，Q- 1吨-1[（X（tn）- νn- Xm）K]≈qXi=1λ（q）iep（ξ（q）i）（τξ（q）i）K，K=1。

显然，解（25）等于解（24）。直接应用高斯-埃尔米特求积最适合标准正态分布，这就是为什么（24）的导数是通过变量的。一般来说，如果X的分布不是正态分布，我们仍然可以通过基础概率的平均值和标准偏差来确定（以时间步i给出的值为条件）- 1).通过求解线性方程组（24）找到n系数ω（q）ib后，预期期权价值Qt+n-1.W（t+n）-1） ，A（t+n）-1)然后近似为qt+n-1.W（t+i）-1） ，A（t+i）-1)≈ E-rndtnqXi=1ω（q）iQxt-n（τnξ（q）i+νn+Xm）。（26）带有矩匹配的GHQC算法与前面描述的算法完全相同，只是现在我们有（26）而不是（17）用于数值求积，还有一个额外的步骤来求解线性方程组（2 4），用于匹配矩的新权重。为了方便起见，我们将上述矩匹配算法表示为GHQC-M.4数值结果。下面我们给出了静态和最优保单持有人策略下GMWB定价的数值结果，并与蒙特卡罗和有限差分方法进行了比较。4.1 GMWB定价结果在一般情况下，可变GMWB年金的价格f是（α，r，σ，β，g，W（0），Nw）的函数。在实践中，投保人被收取的费用正好是初始投资额W（0）。换句话说，投保人没有额外的费用。这可能是因为发行人可以设置费用α的“正确”金额（从投资账户中“连续”提取），因此年金价格V等于初始投资W（0）。因此，定价问题变成了：给出（r，σ，β，g，W（0），Nw），找到正确的费用α，使年金价格V=W（0）。