有担保的可变年金定价的快速数值方法

显然，这是一个迭代过程：首先对费用进行初始猜测，然后计算年金价格，然后重复定价几次，同时迭代调整费用值。如果每个提款日的提款金额是在合同开始时预先确定的，那么投保人的行为称为“静态”。在这种情况下，可以模拟账户W的路径，并使用标准蒙特卡罗模拟方法对GMWB进行定价。另一方面，如果投保人在每个提款日期以最佳方式决定提款金额，那么投保人的行为称为“动态”。下面我们展示了静态和动态情况下的结果。静态情况下，可以比较蒙特卡罗和GHQC，进一步验证新算法。我们还为具有静态和动态投保人行为的定价可变GMWB实施了有效的有限差分（FD）算法。在以下情况下，GHQC的结果将与FD的结果进行比较。在导言中回顾的所有文献中，只有Dai et al.（20 08）和Chen and Forsyth（2008）在动态（最优）投保人行为下给出了GMWB的价格或公平费用的一些结果，这两项研究都使用了有限的差异方法。我们还将把GHQC结果与FD结果进行比较。4.1.1静态保单持有人行为的GMWB公平费用在静态情况下，每个提款日期的提款金额是预先确定的。在这种情况下，GHQ C o r FD不需要跟踪担保账户A多个级别的多个解决方案——只需要一个解决方案，并且在每个付款日，跳转条件适用于单个解决方案（因此不需要网格Ingarantee账户A）。由于取款金额在每个付款日都是已知的，因此可以用蒙特卡罗模拟潜在W的随机路径。

表1显示了使用GHQ C、GHQC-M、FDM和MC计算的静态情况下的fa ir费用结果。提取频率为每季度（每年四次），即Nw=4。利率r=5%，波动率σ=20%。下表中显示的费用单位（持续使用率）为基准点（bp），即0.01%，即100个基准点为1%。对于GHQC、GHQC-M和FD，W的网格数设置为M=400。FD的时间步数设定为每年100个。GHQC和GHQC-M的正交点数量设置为q=9。除非另有说明，本文以下所有示例均使用了上述数值输入。我们还使用了q=16表示正交点的数量，并发现公平法的结果至少在前四年是相同的。我们观察到，对于不同方法的公平价格的两个值在前四位数字中相同，它要求具有相同输入的GMWB价格的值在前六位数字中相同。在蒙特卡罗计算中，我们使用了2×10模拟路径（包括反向路径）。在表1中，括号（最后一列）中的数字是f航空费MC估算的“标准误差”。请注意，MC无法直接模拟公平费用，如前所述，公平费用是在迭代过程中反向计算的，因此，公平费用的标准误差无法从给定费用的价格MCsamples中直接估计。在这里，我们通过以下程序估算价格标准误差导致的不同费用的标准误差。LetbQ和Qbe分别是GMWB价格的MC估计及其标准误差。公平费用估计量bα*是通过HBQ（bα）获得的*) = W（0）。离岸费bα的上界*uC可以用mbQ（bα）来估计*U） +Q=W（0），以及一个下界bα*Lcan由bq（bα）估计*L）- Q=W（0）。

在获得与价格标准误差相对应的公平费用的上下限后，我们通过α=（bα）估计公平费用的标准误差*U- bα*五十） /2。人们也可以采取另一种方法：数值计算导数αQ并估计公平价格中的误差α=|αQ |×Q.我们发现这两种方法给出的答案几乎相同。例如，在g=10%时，第一种方法得出的α=0.155，而第二种方法得出的α=0.154。在计算中αQ、 我们将公允价值每侧的公允价值扰动1%，并计算相应的价格变动。如表1所示，公平费用是合同提款率的一个递增函数。GHQC和GHQC-M对所有提款率产生了相同的结果，至少对所示的前4位数字。在GHQC和FD之间，费用的最大绝对差异为0.1 bp，出现在最高合同利率合同利率下，g到期T=1/g GHQC，bp GHQC-M，bp FD，bp MC，7.20.28.33 28.28.28.28.28.28.28.28.28.28.28.28.30 30 2 2 8.29（0.125）8.29（0.125）6.6 6 6 6.16.6 6 6 6 6.6 6 7 7 7 7.7 7 7 7 7.7 7 7 7.15）6.12（0.25）6.12（0.25）6.15）6.12（0.15）6）6 6 6.12（0.15）6）6 7 7 7 7（0.15）6.15）6 7 7 7 7 7（0.15）6 7 7 7 7 7 7（0.15）6.12）6 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7（0.15）6 6 6 6 6 6 6.12）6 7 7 7 7 7 7 7（0.15）6）6.12）6 6 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7（0.12）6结果：以bp为单位的公平f eeα（1 bp=0.01%）是年平均值的函数合同规定了静态情况。年金产品的参数为r=5%、σ=20%、Nw=4（季度提取频率）。g=15%。对于1000美元的账户，费用α相差0.1个基点约为每年1美分。在GHQC和MC之间，FEE的最大绝对差异为1.2个基点，对于一个1000美元的账户，每年约12美分，这也发生在最高合同利率g=15%时。

在静态情况下，FD和HGQC的计算时间要求非常快——计算单一价格都需要几分之一秒的时间。在下一节中，我们将详细比较动态情况下GMWB定价的计算速度，在动态情况下，计算的要求更高，因为要找到最优策略，必须对多个担保金额级别的多个解决方案进行追踪，并且必须应用多个跳跃。4.1.2具有最佳投保人行为的GMWB公平费用表2显示了使用GHQ C和FD计算的季度取款频率（Nw=4）下动态案例的公平费用结果。在本例中，对于GHQC和FD，担保账户A中的桥数均为J=100。GHQC和FD在计算的公平费用中的最大差异为0.15个基点，减去1000美元账户每年2个百分点，最低合同利率g=4%。此外，GHQC-M结果（表中未显示）至少在显示的前四位数字上与GHQ C的结果相同。与stat ic案例相比，动态案例的费用要高得多。在合同费率g=15%时，动态费用比静态费用高15%，在g=4%时，差异增加到217%。回想一下，到期日T=1/g，因此最低利率对应最长到期日，反之亦然。

在提取频率固定的情况下，较长的到期日意味着投保人有更多机会做出最佳决策，以最大限度地提高持有可变GMWB合同利率（g到期日T=1/g GHQC、bp FD、，bp4%25.00 56.09 55.945%20.00 70.06 69.966%16.67 83.73 83.647%14.29 97.11 97.038%12.50 110.3 110.29%11.11 123.2 123.110%10.00 136.0 135.915%6.67 199.0 199.0表2:bp中的公平费用α（1 bp=0.01%），作为季度提款频率（Nw=4）动态情况下的年度合同费率gf的函数。GMWB产品的其他参数为r=5%，σ=20%，β=10%。合同因此，在最低合同费率下，动态情况下的费用比静态情况下的费用增长率最高，突出了不确定性条件下最优决策的价值。合同利率，g到期日T=1/g GHQC，bp FD，bp Dai等人（2008年），bp4%25.00 56.77 56.68 565%20.00 70.92 70.78 696%16.67 84.76 84.63 837%14.29 98.30 98.18 978%12.50 111.6 111.5 1119%11.11 124.7 124.6 12410%10.00 137.7 137.5 13715%6.67 201.6 198表3：以bp为单位的公平费用α（1 bp=0.01%）作为月度提款频率（Nw=12）动态情况下的年度合同费率gf的函数。GMWB产品的其他参数为r=5%，σ=20%，β=10%。表3显示了使用GHQC和FD计算的每月取款频率（Nw=12）下动态情况下的fa ir费用结果。对于这些月度取款案例，GHQC和FD中A中的网格数均设置为A=300。在表3所示的公平费用计算中，GHQC和FD之间的最大差异为0.2个基点，1000美元账户每年约2美分。对比表3和表2，我们从GHQC和FD得出的结果一致显示，在所有合同条件下，对于较高的抽签频率，费用较高。

一般来说，较高的提款频率应该比较低的提款频率具有更高的公平费用，因为前者在相同费用下具有更高的年金价值。更高的提款频率使保单持有人有更多机会做出最佳决策，以最大限度地提高总现金流，因此更具价值。然而，月度和季度提款合同之间的费用相对差异仅为1%。在绝对条件下，月度和季度提款合同之间的最大费用差异小于3个基点，发生在最高合同费率g=15%时。3个基点的费用差异每年仅为30美分，即1000美元的账户价值。季度和月度取款频率之间的费用（或价格）接近一致表明，月度取款频率的结果应该已经接近连续案例的结果。表3还显示了Dai等人（2008年）使用有限差分法解决二维线性互补问题所获得的连续退出模型的结果。在连续提取模型的情况下，保单持有人可以在任何时间做出决策，提取金额可以非常小或非常小，因此比任何离散情况都更为优化。然而，我们对每月频率的离散退出模型的结果略高于Dai等人（2008）对连续情况的结果，如果离散模型和连续模型的数值计算都是精确的，则不应出现这种情况。

尽管如此，如表3所示，我们的月度取款模式和连续模式之间的差异很小——最高合同利率g=15%时，最大绝对差异为3.7个基点。合同利率，g到期日T=1/g GHQC FD4%25.00 102.0 101.35%20.00 123.6 123.26%16.67 144.1 143.77%14.29 163.5 163.28%12.50 182.1 181.89%11.11 199.8 199.610%10.00 216.9 216.715%6.67 293.8表4：作为年度担保率g函数的公平费用α，适用于季度提款频率（Nw=4）且违约率降至β=5%的动态案例。GMWB产品的其他参数为r=5%，σ=20%。表4显示了当违约率β降低到5%时，季度撤销合同的结果。每季度罚款减少10%，每季度罚款减少10%，每季度罚款增加10%，5%罚款图3：与连续模型相比，公平费用α作为三个离散提款合同的年度担保率g和季度提款率的函数。当g=4%（最长到期日）时，增长几乎达到80%。这表明，在不受惩罚限制的情况下，最优决策更有价值。为了说明各种情况下费用的相对大小，图3比较了四种情况下的公平费用：静态季度取款、动态季度取款（收取10%的罚款）、动态季度取款（收取5%的罚款）以及Dai等人（2008）计算的连续取款模型。在图3中，离散提取模型的所有thr ee曲线的数据都是使用GHQC算法计算的。

相同病例的FD和GHQC-M结果未显示，因为它们在图表上看起来相同。为了比较F D和GHQC之间的计算速度，我们记录了单一价格计算的CPU时间——公平费用的计算在迭代过程中涉及许多此类计算。本研究中用于所有计算的CPU是Intel（R）Core（TM）i5-2 400@3.1GHz。除了数值网格大小和时间步长外，动态情况下单个价格计算的CPU时间还取决于饱和度和提取频率。更长的成熟度和更高的频率需要更多的计算时间。在表2和表3所示的例子中，在计算时间上要求最低的是在短期到期时（g=15%和T=1/g=6.67年）的季度提款频率。对于这种情况，FD花了14秒，GHQC花了2秒来计算单一价格。另一方面，在最长到期日（g=4%和T=1/g=25年）每月提款频率的情况下，对计算时间的要求最高，在这种情况下，FD需要482秒，GHQC需要167秒来计算单一价格。如前所述，FD和GHQC对A和W使用相同的网格。显然，GHQC的速度优势在较低的提取频率下更为明显——在连续提取日期之间，G HQ C只需要一个时间步长，而对于FD，时间步长必须足够小，以获得良好的准确性，特别是提取频率的irr。例如，要以每年一次的频率为GMWB定价，GHQC的速度是使用Wand a相同网格的FD的15倍以上。

请注意，我们相信，我们对GMWB定价的有限差分实施已经非常有效——例如，将PDE离散化的线性方程的三对角矩阵仅在保证金额a的所有水平的所有恒定时间步和所有解决方案中构造和反转一次，这对恒定利率和波动性有利。因此，FD中的每个时间步只涉及一个简单的背部替换，这只需要很少的CPU时间。频率波动率Chen和Forsyth（2008）GHQC每年0.2 129.1 129.1半年0.2 133.5 133.7每年0.3 293.3 293.5半年0.3 302.4 302.7表5:GHQC结果与Chen和Forsyth（2008）的结果之间的公平费用α比较。输入参数为g=10%，β=10%，r=5%。在Chen和Forsyth（2008）中，在仔细进行的收敛性研究中，给出了在σ=0.2和σ=0.3的年度（Nw=1）和半年（Nw=2）退出频率下，G=10%的离散退出模型的fa ir费用，其他输入参数的值相同（r=5%，β=10%）。表5将GHQCO的结果与Chen和Forsyth（2008）的结果进行了比较。表5中引用的Chen和Forsyth（2008）的值对应于他们的最新网格和时间步长，W为M=2049，A为J=1601，t为N=1920，而我们的GHQC值是通过M=400，J=100和N=9的正交点数量获得的。如表5所示，两项数值研究之间公平费率的最大绝对差异仅为0.3个基点，表中案例的平均绝对差异小于0.2个基点。相对而言，最大差异小于0。15%，两项研究之间相对差异的平均幅度小于0.08%。Chen和Forsyth（2008）没有提供计算公平费用的CPU编号。

在我们的例子中，表5中公平费用的每一次计算都需要大约5秒的时间，其中包括一次牛顿迭代。5结论在本文中，我们提出了一种新的算法，用于在静态和动态（最优）投保人行为下对具有GMWB特征的可变年金进行定价。新方法既不是基于有限差分法求解偏微分方程，也不是基于蒙特卡罗模拟法。新算法依赖于使用转移密度或匹配矩，通过应用于三次样条插值的高斯积分求积，在提取日期之间的反向时间步中数值计算期望值。在离散的提款日期，在不同的提款账户级别应用适当的提款条件，从而做出最佳的提款决策。给出了一系列GMWB合同的新算法的数值结果，并与有限差分法的结果进行了比较。对比结果表明，新算法产生的结果非常接近于差异（来自我们自己的或来自文献）的结果，但同时速度显著加快。对基础和担保金额的空间变量使用相同的网格，GHQC和FD之间的相对价格差为0。001%，两种方法的公平费率的绝对差异约为0.1个基点，在1000美元的账户中为每年1美分。到目前为止，我们假设投保人将一直生活在到期日之后，或者总有人在那里为合同的整个续期做出最佳取款决定。事实上，老年保单持有人可能在到期日之前死亡，尤其是对于长期到期的合同。