CxLS属性的风险度量

根据德拉瓦利-普桑准则，存在一个年轻函数Φ和Φ（x）x→ +∞ f或x→ +∞ 真是太好了∈东南方ΦdQdP< +∞,所以S在Orlicz空间LΦ中有界。根据Cheridito和Li（2008）以及Cheridito和Li（2009）的结果，用ψ表示Φ的凸共轭，可以得出一致效用u在Orlicz炉床ψ上的有限值。如果ψ满足条件，然后从Kr¨atschmer等人（2014）的结果来看，对于ψ（x），u是ψ-弱连续的：=ψ（|x |），hencewe立即有b）。反之，如果ψ不满足条件，然后我们考虑规范函数ψ（x）=+∞Xk=1λkψ（k | x |），其中λk=kψ（k）。设ξnψ→ ξ. 根据斯科罗霍德的表述，可以假设ξn→ ξa。s、 和E[ψ（|ξn |）]→ E[ψ（|ξ）]。(6) ?卷积和多项式相乘？通过ψ的连续性，它遵循ψ（|ξn |）→ ψ（|ξ|）a.s.，自ψ（|ξn |）≥ 0a.s.和E[ψ（|ξn |）]→ E[ψ（|ξ|）]，从舍夫引理可以得出ψ（|ξn |）L→ ψ（|ξ|），所以特别是族ψ（|ξn |）是一致可积的。因此，对于所有ε>0，存在C>0，因此对于所有nε≥ E[ψ（|ξn |）{ψ（|ξn |）≥C} ]和自ψ（x）≥ λkψ（k | x |）我们有ε≥ λkE[ψ（k |ξn |）{ψ（|ξn |）≥C} ]≥ λkE[ψ（k |ξn |）{ψ（k |ξn |）≥C/λk}]，从而得到族ψ（k |ξn |）的一致可积性。ψ（k |ξn）族-ξ|）也是统一可积的，因为ψ（|x）-y |）≤ ψ（2 | x |）+ψ（2 | y |）。因此，在（6）中，它认为e[ψ（k |ξn- ξ|)] → 对于每个k>0，这反过来意味着kξn- ξkψ→ 0（参见Edgar and Sucheston（1992）中命题2.1.10的例子）。然后，本文从|u（ξn）以来的不等式出发- u（ξ）|≤ supQ∈序号[|ξn- ξ|] ≤ 2 supQ∈sdQdPΦ·kξn- ξkψ→ 0.现在让我们考虑一个更一般的情况，其中u有一个双重代表u（ξ）=inf式[ξ]+c（Q）|Q∈ P.从WC属性中，设置Sk:={Q∈ P|c（Q）≤ k} 在σ（L，L）中是紧的∞) 拓扑，对于每个k≥ 0 .

让我们：=dQdP1+c（Q）|Q∈ P.Sis在σ（L，L）中相对顺序紧∞) 拓扑，因为对于任意序列Qn∈ 有两种选择：要么完全属于某个Sk，要么属于某个子序列c（Qnj）→ +∞. 在这两种情况下，qnHa序列都是aσ（L，L∞) 收敛子序列。用S的实闭凸壳表示，S在σ（L，L）上是紧的∞)拓扑，因此一致可积。删除：={f∈ L|ε>0，s.t.εf∈ S} 。Luxemburg范数为：=infnλ的Banach空间|f |λ∈ 所以由于S是一致可积的，根据德拉瓦利-普桑准则，存在一个带Φ（x）x的年轻函数Φ→ +∞ 作为x→ +∞ 这样的t hatsupf∈SE[Φ（|f |）]+∞.亨塞斯 LΦ 五十、 我们可以假设∈ , 所以LΦ=HΦ。传给我们的二人组∞ Lψ （ES）*,式中，ψ是Φ的凸共轭。（ES）上的对偶范数*由kξku=supQ给出∈体育课dQdP1+c（Q）|ξ|,自从kξku≤ 1.<==> u(-|ξ|) ≥ -1.因此，u在（ES）上是有限的*因此也在Orlicz心脏Hψ上 Lψ。然后，按照连贯的案例进行证明。证明b）=> c） ，设u是弱连续的，设x，y∈ R，x<y，则λδx+（1- λ） δy|ψ→ λ的δyf→ 0+，所以从∧ψ-弱连续性，它遵循t hatu（λδx+（1- λ） δy）→ u（δy）。证明（c）=> a） ，我们通过矛盾假设u不具有WC性质。从命题2.4中，我们知道条件C f针对一些（\'k，\'a\'），其中\'k<0且\'a>0。从命题2.1开始，映射λ7→ u（λδ′k+（1）- λ） δ′a）对于λ是连续的∈ （0，1），它必须保持λ→0+u（λδ′k+（1）-λ） δ\'a）<0<\'a，与c）相矛盾。我们注意到，由于Fatou地产，它始终持有Fn∈ N、 补充（Fn） K表示一些紧凑的K和Fn→ F weakly意味着F∈ N

根据前面的定理，如果u具有wc性质，那么对于某些规范函数ψ，接受集N是ψ-弱闭的。3具有cxls的货币凹效用函数从现在起，我们假设货币凹律决定了效用u:L∞→ R在分布水平（CxLS）上具有凸水平集的性质，即isu（f）=u（G）=γ=> u（λF+（1）- λ） G）=γ，对于每个λ∈ (0, 1).我们记得N={Law（ξ）|u（ξ）≥ 0}是分布级别上u的接受集。我们有以下内容：引理3.1。假设u是一个由货币凹律决定的效用函数，使用CxLS。然后：a）N和Ncare关于混合物是凸的。b） 设u（ξ）6=ess-inf（ξ）。然后存在一个k<0，使得对于每一个>0，都存在一个α∈ （0，1）使得u（αδk+（1-α） δa）≥ 0.证明。a） 让F，G∈ N，让ξ，η使得定律（ξ）=F，定律（η）=G取A∈ 假设变量ξ、η和集合A是独立的。ξ、η和A的存在由引理4.1保证。在不丧失一般性的情况下，假设u（ξ）=u（η）+β，其中β≥ 0，并设ξ′：=ξ- β. 由平移不变性u（ξ′）=u（ξ）- β=u（η）。LetF′=定律（ξ′）；然后ξA+ηAchas定律αF+（1）-α） G和ξ′A+ηAchas定律αF′+（1）-α） G.因为ξA+ηAc=ξ′A+ηAc+βA≥ ξ′A+ηAc，从单调性和CxLS可以看出u（ξA+ηAc）≥ u（ξ′A+ηAc）=u（η）≥ 这就给出了关于混合物的凸性。类似的论点也适用于Nc。b） 从命题2.4可知，存在k<0、a>0和α∈ （0，1）使得u（αδk+（1-α） δa）≥ 我们必须证明，对于eacha>0，存在一个合适的α∈ （0，1）使得u（αδk+（1-α） δa）≥ 0 . Ifa≥ a、 然后通过莫名其妙α=α来满足论文。

然后让0<a<a。首先注意，由于u（αδk+（1-α） δa）≥ 0和u（0）=0，根据CxLS和a），对于每个λ∈ （0,1）u（λαδk+（1）- λ)δ+ λ(1 - α） δa）≥ 0.通过选择λ=a（1- α） a+αa，因此λαδk+（1- λ)δ+ λ(1 - α） δa≤cvλαδk+（1）- λα）δa，这意味着u（λαδk+（1- λα）δa）≥ 0.注意。在没有CxLS假设的情况下，项目b）是错误的，这可以通过考虑u（ξ）=ess-inf（ξ）+E[ξ]和k=-a、 引理3.1表明，当u（ξ）6=ess-inf（ξ）时，数量k:=inf{k<0|a>0，α ∈ （0,1）与u（αδk+（1）-α） δa）≥ 0} (7) ?卡帕？定义明确，命题2.4表明K=-∞ 当且仅当u具有WC属性。引理3.2。让t（K）和e∈ （K，0）和a>0。ThenC（k，a）：={α| u（αδk+（1- α） δa）≥ 0}是一个闭合区间。此外，让α（k，a）：=max C（k，a），（8）？阿尔法它认为α（k，a）相对于k和a是不减的，而u（α（k，a）δk+（1-α（k，a））δa=0。证据论文的第一部分和最后一个等式来自命题2.1。假设k∈ （K，0）因此0<a（K，a）<1。从u的单调性中我们得到了≤ k′，a≤ a′=> C（k，a） C（k′，a′），它产生α（k，a）的单调性。我们现在平行于Weber（2006）的建设，也包括caseK>-∞. 首先，我们定义了：（K+∞) → R如韦伯（2006）所述。Weset~n（0）=0。为了k∈ （K，0），我们通过φ（K）α（K，1）+（1）隐式定义了φ（K）- α（k，1））=0，因此φ（k）=-1.- α（k，1）α（k，1）=1-α（k，1）<0，（9）？phi1？这在k中是不变的，引理是3.2。对于a>0，我们定义一个参考点k∈ （K，0）和通过（K）α（K，a）+（a）（1）隐式定义（a）- α（k，a））=0，因此φ（a）=-~n（k）α（k，a）1- α（k，a）=~n（k）1+α（k，a）- 1.> 0, (10) ?phi2？这在a中是一个lso非减量，因为|（k）<0。根据参考点k的选择，可以很容易地检查出φ（1）=1。

因此，一个有效的函数Lа：M1，c→ 当u=α（k，a）δk+（1）时，给定的R等于（9）和（10）中定义的μ的Zudu消失-α（k，a））δaoru=α（k，1）δk+（1- α（k，1））δ。在下面的引理中，我们证明了在更一般形式的所有并矢变量u=α（k，a）δk+（1-α（k，a））δa，α（k，a）在（8）中定义。引理3.3。设K如（7）所示，α（K，a）如（8）所示，而φ如（9）和（10）所示。让k∈ （K，0）和a>0。然后α（k，a）~n（k）+（1）- α（k，a））ν（a）=0。证据如果k=kor，如果a=1，则论文从（9）和（10）直接开始，因此我们假设k6=kanda6=1。允许 =((λ, λ, λ) ∈ R |λi≥ 0和xi=1λi≤ 1） ，让我们： → M1，c（R）由Φ（λ，λ，λ）=（1）定义-Xiλi）δk+λδ+λδa+λδk。Φ是 在M1的有限维面上，由k，k，1，a中有支撑的测度驱动。LetD:={（λ，λ，λ）∈  | Φ(λ, λ, λ) ∈ N} C:={（λ，λ，λ）∈  | Φ(λ, λ, λ) ∈ Nc}。从引理3.1可以看出，D和C是凸的，D是封闭的，C是相对开放的. 我们考虑以下几点：:x:=（1）- α（k，1），0，0）x:=（0，1）-α（k，a），0）x:=（1）- α（k，1），0，α（k，1））x:=（0，1）-α（k，a），α（k，a））。由（8）可知，xi∈ 关于每个闭包，xid是相对的. 我们的目的是证明xis是x，x，x的一个有效组合。因为通过定义，i=1时r k dΦ（xi）=0，3，这将意味着rdΦ（x）=0，这就是本文。为了证明xis是x，x，x的一个有效组合，我们将分离理论应用于凸集和不相交集D和C。存在一个非中心线性f:R→ R和s∈ R使得f（x）≤ C和f（x）上的s≥ 从（0,0,0）开始∈ C和f（0，0，0）=0，因此s≥ 0.如果s=0，对于i=1，…，我们将得到f（xi）=0，3因为XI是C的相对闭包，这意味着f=0，这是一个矛盾；因此s>0。

非平凡超平面f（x）=s上的点x，x，x，xlie；从x，x，xit的线性独立性来看，xis是x，x，x的一个有效组合。设K为第（7）项中的K，而φ为第（9）项和第（10）项中的K。让k，k∈ （K，0）和a>0。如果ξ由k，k，1，a支撑，那么u（ξ）<0当且仅当ifE[ψ（ξ）]<0。引理3.4。设K为第（7）项中的K，而φ为第（9）项和第（10）项中的K。设ξ由无数个点支撑，所有点都大于K。那么u（ξ）<0当且仅当ifE[ν（ξ）]<0。证据让k，k，千牛<0≤ A.aMbe有不同的观点。类似于引理3.3的顶部，我们定义 = {（λ，…，λN，γ，…，γM）|Xλi+Xγj=1，λi≥ 0，γj≥ 0}，Φ（λ，γ）=NXi=0λiδki+MXj=1γjδaj，D={（λ，γ）∈  | Φ(λ, γ) ∈ N} ，C={（λ，γ）∈  | Φ(λ, γ) ∈ Nc}。在引理3.3的证明中，D和C是凸的，D是封闭的，C是相对开放的. 根据分离定理，推理如引理3.3的证明，有一个有效的泛函g： → R使得g（x）<0∈ C和g（x）≥ 0代表x∈ D.设G:={x | G（x）=0}。然后G∩  是紧凸的，其极值点位于. 让我们一起走，走到角落里 分别对应于δk和δai。有四种类型的边：[ki，ki′，[aj，aj′，[ki，0]，[ki，aj]，aj>0。通过分析不同的可能性，得出以下结论：∩  对应于δ或mα（k，a）δk+（1）的并矢变量-α） （k，a）δa，α（k，a）由（8）给出。因此，对于G的所有极值点，r k dΦ（x）=0∩ , 对于每个x，henceR~ndΦ（x）=0∈ G∩ .设F={x∈ RN+M+1 | R~ndΦ（x）=0，PN+Mi=0xi=1}。维数为N+M的F和G面积函数空间- 1和G 所以G=F。亨塞克斯∈ C<==> g（x）<0<==>R k dΦ（x）<0，这给出了论文。引理3.5。函数φ：（K+∞) → R在（K，0）和[0]上是凹的+∞) 而且是连续的。证据

取k，k<0，让α：=α（k，1）和α：=α（k，1），因此u（αδk+（1-α） δ）=u（αδk+（1）- α)δ) = 0.来自CxLS，对于每个γ∈ （0,1），它认为u（γ（αδk+）（1-α)δ) + (1 - γ） （αδk+（1）- α） δ））=0，或等效于（γαδk+（1-γ） αδk+[γ（1- α) + (1 - γ)(1 - α)] δ) = 0.设λ=γαγα+（1）- γ） α和k=λk+（1- λ） k.然后γαδk+（1）-γ） αδk≤cv（γα+（1- γ） α）δk，因此u相对于凹阶的等渗性意味着u（（γα+（1-γ） α）δk+[γ（1）- α) + (1 - γ)(1 - α)] δ) ≥ 从引理3.4我们得到（γα+（1）- γ） α）ν（k）+[γ（1）- α) + (1 - γ)(1 - α)] ≥ 0，或а（k）≥ -(1 - γ)(1 - α) + γ(1 - α)γα+ (1 - γ)α=γαγα+ (1 - γ)α(-1.- αα) +(1 -γ)αγα+ (1 - γ)α(-1.- αα）=λν（k）+（1）- λ） ~n（k）。类似的参数可用于确定[0]上的凹度+∞).让我们↓ 设αn:=α（k，an），α由（8）给出。从α的单调性来看，序列α是非递增的；我们用α表示它的极限。LetBαn∈ F，P（Bαn）=αn，设ξn=kBαn+anBcαn，然后ξnP→ ξ、 ξ=kBα，并根据Fatou性质u（ξ）≥ lim sup u（ξn）≥ 0，因为ξn∈ A.因此EP[ξ]=kP[Bα]≥ u（ξ）≥ 0表示α=0。自从（an）=-αn~n（k）1-αn，它的结果是φ（an）→ 0当→ 0.从现在起，我们定义了φ（K）=limx↓K~n（x）。引理3.6。如果ξ≥ K a.s.，则u（ξ）<0当且仅当E[ψ（ξ）]<0。证据设ξn>K，ξn完全支撑，其中ξn↓ ξ和kξn- ξk∞→ 0.Thenu（ξ）<0<==> n.s.t.u（ξn）<0<==> n s.t.E[ψ（ξn）]<0<==> E[ν（ξ）]<0，其中第二个等价来自引理3.4，最后一个等价来自0中的右连续性。引理3.7。ν在（K）上是凹的+∞) 因此在（K+∞).证据证明沿着引理3.5的思路进行，使用引理3.6而不是引理3.4来获得更强的论点。我们最终可以证明所宣布的特征：定理3.8。乐图：L∞→ R是一种货币，凹形法则，与CxLS有关。

那么就存在一个凹的φ：R→ R∪ {-∞} 使u（ξ）≥ 0当且仅当E[ψ（ξ）]≥ 0.证明。如果u（ξ）=ess-inf（ξ），那么φ（x）=(-∞ 如果x<00如果x≥ 满足了论文的要求。如果u（ξ）6=ess inf（ξ），则定义=(-∞ 如果x<K~n（x）如果x≥ Kwith~n和K的定义与之前相同。如果ξ≥ K.a.s.，当引理3.6给出thatu（ξ）≥ 0当且仅当E[ψ（ξ）]≥ 0，这是论文。如果P（ξ<K）>0，则为ne[ξ（ξ）]=-∞. 为了证明u（ξ）<0，设B是由事件{ξ<K}和{ξ）生成的代数≥ K} ，设η=E[ξξ<K+ξξ≥0 | B]。Thenu（η）≥ u（ξξ<K+ξξ）≥0) ≥ u（ξ）和u（η）<0，通过定义K，使u（ξ）<0，这就完成了这个过程。3.1示例示例3.1（绝对必要）。让我们来看看→ R∪ {-∞}, 带φ（x）=(-∞ 如果x<00如果x≥ 0当A={ξ|ξ≥ 0}和u（ξ）=ess-inf（ξ）。例3.2（有限短缺）。让我们来看看→ R为凹形，并随φ（0）增加=0。ThenA={ξ∈ L∞|E[ψ（ξ）]≥ 0}是由CxLS确定的凹律的接受集。在特殊情况下，我们有u（ξ）=E[ξ]。让我们注意一下，函数φ（x）=x代表x≤ 0和ψ（x）=0表示x≥ 0还定义了基本信息。例3.3（截断的短缺）。让我们来看看→ R凹进，并随着а（0）=0和K<0而增加。设置：R→ R∪ {-∞}~n（x）：=(-∞ 如果x<K~n（x）如果x≥ KThen A={ξ| E[~n（ξ）≥ 0], ξ ≥ K} 。例3.4（截断平均值）。设φ（x）：=（x如果x≥ -1.-∞ 如果x<-1 Thena={ξ∈ L∞s、 t.ξ≥ -1和E[ξ]≥ 0}，andu（ξ）=min（E[ξ]，1+ess-inf（ξ））。很容易看出λ的混合连续性→ 0+失败，所以从命题2开始。5 WC属性不适用。事实上，惩罚函数c是给定的，即c（Q）=1- ess infdQdPand没有σ（L，L∞) 自c（Q）以来的紧凑低层集≤ 1.例3.5。

设K<0且φ（x）=（对数（x- （K）- 日志(-K） 如果x>K-∞ 如果x≤ 例如3.6。~n（x）：=(√x+1代表x≥ -1.-∞ 在别处注意，在最后两个示例中，Д′+（K）=+∞, 因此，它们不属于示例3.3.4附录引理4.1中考虑的“截断短缺”家族。让(Ohm, F、 是一个无原子的空间。然后可以构造可测子集（At）0的两个包含族≤T≤1和（Bt）0≤T≤1，这样每个t∈ [0,1]，P（At）=P（Bt）=t，西格玛代数：=σ（At；0）≤ T≤ 1） B:=σ（Bt；0）≤ T≤ 1） 他们是独立的。证据见Delbaen（2012）。引理4.2。如果你：我∞(Ohm, F、 P）→ R是一个凹的，由定律决定的效用，那么对于每一个G F和ξ∈ L∞它认为u（E[ξ| G]）≥ u（ξ）。证据让我们从G={, Ohm}. 以ξni为例。i、 d.用定律（ξn）=定律（ξ），所以u（ξn）=u（ξ）。从强大数定律，ξ+·ξ+nna。s→ E[ξ]，并从Fatou性质和uu的凹性（E[ξ]）≥ 林尚→+∞Uξ+···+ξnn≥ 林尚→+∞nnXk=1u（ξ）=u（ξ）。现在让G由有限部分G生成，从那以后Ohm 如果是无原子的，则可以为每个条件概率P[·Gk]构造一个序列ξn，该序列为i.i.d.，并且对于每个k=1，m、 前面的推理可以应用于每个Gk，并且因为ξ+·ξ+nna。s→ E[ξ| G]，接下来是u（E[ξ| G]）≥ u（ξ）。最后，对于一般G和固定ξ∈ L∞, 总是可以构造一个完全生成的序列Gn，使得e[ξ| Gn]L∞→ E[ξ| G]，所以我们有u（E[ξ| G]）=limn→+∞u（E[ξ| Gn]）≥ u（ξ）。引理4.3。设φi[0,1]→ R是非减量且凸的，D<φi<D，且ci从下方有界。nφ（x）：=infiφi（x）+ci（0，1）的紧子集上的isLipschitz。证据设0<ε<1，ε≤ x<y≤ 1.- ε、 z=y+ε。

然后z≤ 1安迪=（1）- λ） z+λx，其中λ=ε+y- x、 因此φi（y）≤ (1 - λ） φi（z）+λφi（x），表示φi（y）-φi（x）≤ (1 - λ） [φi（z）- φi（x）]≤Y- xε（D）- D） 。因此，{φi（x）+ci}族在[ε，1]上是等价的- ε] 也就是φ（x）=supiφi（x）+ciLipschitz在[ε，1]上吗- ε]; 让ε→ 0给出了论文。参考Bauerlemuller2006年N.B–auerle和A.M–uller。随机顺序和风险度量：一致性和界。保险数学。经济。，38:1 32–148, 2006.BelliniBignozzi2013 F.Bellini和V.Bignozzi。关于可引出的风险度量。即将到来。《金融》，2014年。贝利尼塔尔2014 F.贝利尼、B.克拉尔、A.穆勒和E.罗莎·贾宁。广义量化作为风险度量。保险数学。经济。，54:41–48, 2014.CheriditoLi2008 P.Cheridito和T.Li。Orlicz心脏风险测量特性的双重表征。数学财务部。经济。，2:29– 55, 2008.CheriditoLi2009 P.Cheridito和T.Li。Orlicz心脏的风险评估。数学《金融》，2009年第19期，第189-214页。ChernyGrigoriev A.S.Cherny和P.G.Grigoriev。扩张单调风险测度是不变的。金融斯托赫。，11:291– 298, 2007.Chew 1989 S.H.Chew。具有中间性的公理效用理论。安。奥普。Res.，19:273–2981981989。戴维斯2013 M.戴维斯。风险度量估计的一致性。预印本，帝国理工学院伦敦分校，2013年。德克尔1986 E.德克尔。不确定性下偏好的公理化描述：削弱独立公理。《经济学理论》，40:304–3181986。Delbaen 2012 F.Delbaen。货币效用函数。大阪大学出版社，2012年。Delbaen 2013 F.Delbaen。关于期望值结构的评论。预印本，苏黎世ETH，2013年。Edgarsucheston 1992年G.A.Edgar和Louis Sucheston。停止时间和定向过程，数学及其应用百科全书第47卷。剑桥大学出版社，剑桥，1992年。ISBN 0-521-35023-9。