CxLS属性的风险度量

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英文标题：
《Risk measures with the CxLS property》
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作者：
Freddy Delbaen, Fabio Bellini, Valeria Bignozzi and Johanna F. Ziegel
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  In the present contribution we characterize law determined convex risk measures that have convex level sets at the level of distributions. By relaxing the assumptions in Weber (2006), we show that these risk measures can be identified with a class of generalized shortfall risk measures. As a direct consequence, we are able to extend the results in Ziegel (2014) and Bellini and Bignozzi (2014) on convex elicitable risk measures and confirm that expectiles are the only elicitable coherent risk measures. Further, we provide a simple characterization of robustness for convex risk measures in terms of a weak notion of mixture continuity.
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中文摘要：
在本文中，我们刻画了在分布水平上具有凸水平集的由法律决定的凸风险测度。通过放松Weber（2006）中的假设，我们证明了这些风险度量可以用一类广义短缺风险度量来识别。作为直接结果，我们能够扩展Ziegel（2014）和Bellini and Bignozzi（2014）中关于凸可引出风险度量的结果，并确认预期值是唯一可引出的一致风险度量。此外，我们利用混合连续性的弱概念，给出了凸风险测度鲁棒性的一个简单刻画。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
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关键词：风险度量 xls 风险度 Contribution Quantitative

CxLS属性的风险度量Freddy Delbaen，Fabio Bellini，Valeria Bignozziand Johanna F.Ziegel 2018年9月1日7日摘要在本文中，我们描述了在分布水平上具有凸水平集的由法律确定的凸风险度量。通过放松Weber（2006）中的假设，我们证明了这些风险度量可以与一类广义短缺风险度量相识别。作为直接结果，我们能够扩展Ziegel（2014）和Bellini and Bignozzi（2014）关于凸可引出风险度量的结果，并确认预期值是唯一可引出的一致风险度量。此外，我们利用混合连续性的弱概念，给出了凸风险测度鲁棒性的一个简单刻画。关键词：决策理论，可引出性，凸水平集，不足风险度量，混合连续性，鲁棒性。1引言本文的主要目的是研究和刻画具有“分布水平上的凸水平集”（CxLS）的风险度量，即ρ（F）=ρ（G）=γ=> ρ（λF+（1）- λ） G）=γ，对于每个λ∈ （0，1），其中F和G是概率分布。对这一属性的财务解释是，两个风险相同的头寸的任何组合都具有相同的风险。在风险度量的公理理论中，将风险的点态和视为公共状态空间上的随机变量，引入凸性或拟凸性要求是有代价的Ohm, 以模拟多元化的激励。

相反，Cxls属性自然地作为可引出性的必要条件出现，即被定义为是适当预期损失的最小值的属性。更正式地说，如果存在评分函数S:R，则可以导出由法律确定的风险度量ρ→ 使得ρ（F）=arg minxZS（x，y）dF（y）。几位作者提出，可引出性是与回溯测试和风险度量不同预测的准确性比较相关的要求。我们参考了感兴趣的读者Togneting（2011）、Ziegel（2014）、Bellini和Bignozzi（2014）、Embrechts等人（2014）、Davis（2013）以及其中的参考文献。在决策理论中，CxLS属性通常被称为中间性；这是VonNeumann-Morgenstern理论的独立性公理的可能放宽之一（例如，见Dekel，1986；Chew，1989）。在韦伯（2006）的开创性论文中，作者证明，在我们在第3节详细讨论的附加条件下，在分布水平上具有上下凸水平集的货币风险度量属于F¨ollmer和Schied（2002）引入的短缺风险度量类，如下所示：ρ（F）=infM∈ R|Zl（十）- m） dF（x）≤ 0,对于一个合适的非减量和非恒定损失函数l : R→ R.与韦伯定理相比，我们将自己局限于凸风险测度的更受限制的情况。相反，我们放松了Weber的假设条件，以完全刻画具有CxLS性质的凸律确定风险测度。我们在定理3.8中看到，这样的风险度量对应于广义空头函数，在广义空头函数中，损失函数也可以假定+∞.

因此，我们确认了Ziegel（2014）的结果（另见？），并表明唯一可引出的一致性法律确定的风险度量是预期，可定义为与损失函数相关的短期风险度量lα（x）=αx+- (1 -α） x-,对于α≥. 有关预期的更多信息，请参考纽伊和鲍威尔（1987年）、德尔巴恩（2013年）、贝利尼等人（20 14）。作为我们分析的副产品，我们提供了凸风险度量鲁棒性的一个简单表征。在Kr¨atschmer等人（2014年）、Stahl等人（2012年）和其他人的工作之后，法律确定的风险度量的稳健性概念通常与其与ψ-弱收敛的连续性相一致，由fnψ定义→ F如果Fn→ F弱与zψdFn→ZψdF，其中ψ：R→ [0, + ∞) 连续规范函数满足ψ吗≥ 1外面有一些紧凑的装置和边缘→∞ψ（x）=+∞. 我们在命题2中展示。5.对于凸律确定的风险度量ρ，稳健性等价于混合连续性的弱形式：limλ→0+ρ（λδx+（1）-λ） δy）=ρ（δy），对于每个x，y∈ R.众所周知，在关于风险度量的文献中，几个指示系统和符号约定共存。为了便于参考，本文将遵循Delbaen（2012），因此凸风险度量的概念将被凹效用函数的概念取代。本文的结构如下：在第2节中，我们讨论了稳健性问题，而在第3节中，我们提供了凹的、由法律决定的CxLS的特性。辅助结果移至附录。2.凹型货币效用函数2的连续性。1注释和初步在本小节中，我们设置了编号，并回顾了concaveutility函数的基本性质。所有未经引用的结果可在Delbaen（2012）中找到。让(Ohm, F、 P）是一个无原子概率空间。

这不是一个很大的限制，因为它只是意味着Ohm 我们可以用连续分布函数定义一个随机变量。有几条语句只对无原子空间有效，所以我们将使用这一假设，不再重复。效用函数是任何函数u:L∞→ R.对于每个h，如果u（ξ+h）=u（ξ）+h，我们说u是翻译不变量∈ R它是单调的≤ ηa.s。=> u（ξ）≤ u（η）；如果u是平移不变、单调且满足u（0）=0，则它是货币。货币效用函数的性质可以通过其接受集a:={ξ来恢复∈ L∞| u（ξ）≥ 0};特别地，u是凹的当且仅当接受集A是凸的。效用函数u由定律决定（或定律不变）ifLaw（ξ）=定律（η）=> u（ξ）=u（η）。一个由定律决定的效用可以被看作是M1，c（R）上的一个函数，这是R上具有紧支撑的概率测度集。单调性性质意味着每个F，G∈ M1，c（R）F≤stG=> u（F）≤ u（G），在哪里≤St表示通常的随机顺序，称为一阶随机优势；如果u是凹的，那么alsoF≤cvG=> u（F）≤ u（G），在哪里≤Cv是凹阶，也被称为二阶随机优势（例如见B¨auerle and M¨uller，2006；Cherny a and Grigoriev，2007）。可接受位置的分布集将用n表示：={Law（ξ）|ξ∈ A} 。由函数u:M1，c确定的定律→ 如果u（Fn），R是弱连续的→u（F）当Fn→ F弱；它是ψ-弱连续的ifFnψ→ F=> u（Fn）→ u（F）。显然，由于ψ-弱收敛意味着弱收敛，因此它允许弱连续性意味着ψ-弱连续性，并且对于每个规范函数ψ，弱闭集是ψ-弱闭的。一个效用函数u:L∞→ 如果对于每个ξn，r是Fat-ou性质∈ L∞, 用supnkξnk∞< +∞, 它包含ξnP→ ξ => u（ξ）≥ 林尚→+∞u（ξn）。

(1) ?法头？货币凹效用函数u:L∞→ 具有Fatou性质的R具有以下对偶表示：u（ξ）=inf式[ξ]+c（Q）|Q∈ P, (2) ?二重的其中P={Q | Q<< P} 是关于P和惩罚函数c:P绝对连续的概率测度集→ [0, +∞] isconvex和下半连续。我们通常会通过Radon-Nikodym导数dQ/dP将P识别为L+的子集。如果货币凹效用函数u是由定律决定的，那么u（ξ）≤ EP[ξ]（见附录中的引理4.2），这意味着c（P）=0。以下Kusuoka代表持有（Kusuoka，2001））：u（ξ）=infnZuα（ξ）ν（dα）+c（ν）|ν∈ M[0，1]o，（3）？库苏卡？其中M[0，1]是[0，1]上所有概率测度的集合，c:M[0，1]→[0, +∞] 是凸的和下半连续的，uα代表α级的尾部风险值（TVaR）∈ （0，1）由uα（ξ）=αZαqx（ξ）dx定义，其中qx表示x级的分位数函数，u（ξ）=ess inf（ξ）。如果罚函数c:P，则货币凹效用u具有弱紧性（WC）→ [0, +∞] 在对偶表示中（2）有较低的水平集Sm:={Q∈ P|c（Q）≤ m} 在弱拓扑σ（L，L）中是紧的∞). WC属性相当于所谓的delebsgue属性：ξnP→ ξ、 supnkξnk∞< +∞ => u（ξn）→ u（ξ），（4）？勒贝格？这是一个比法头地产更强烈的连续性要求。如果确定了u，那么WC属性相当于Kusuoka表示中惩罚函数c的以下属性：ν（{0}）>0=> c（ν）=+∞.在相干情况下，对偶表示为comesu（ξ）=inf式[ξ]|Q∈ s,在哪里 P是概率测度的凸集，闭于σ（L，L）中∞)拓扑结构。WC性质相当于σ（L，L）中S的紧性∞) 拓扑，由Dunford-Pettis定理得到的拓扑等价于S的一致可积性。

还记得吗 Lis一致可积ifε > 0 δ>0，使得P（A）<δ=> supφ∈SZAφdP<ε。一致可积性的特征是德拉瓦利-普桑准则：Sis一致可积当且仅当存在函数Φ：R+→ R、 增加，凸，Φ（0）=0和Φ（x）/x→ +∞ 为了x→ +∞, 如此之多∈SEhΦdQdP我+∞.在法律认定的案件中，Kusuoka代表becomesu（ξ）=infZν（dα）uα（ξ）|ν∈ s,对于每一个ν，WC性质等价于ν（{0}）=0∈ S.A（有限值）杨函数是凸函数Φ：[0，∞) → [0, ∞)Φ（0）=0和limx→+∞Φ（x）=+∞. 在{Φ>0}上，一个Young函数必须是非增、连续且严格递增的。Orliczspace LΦ定义为LΦ：={X|E[Φ（c|X|）]<∞ 对于某些c>0}；Orlicz heart isHΦ：={X|E[Φ（c|X|）]∞ 对于每一个c>0}。卢森堡标准定义为kxkΦ：=infnλ>0 | E[Φ（|X/λ|）]≤ 1AND生成LΦ和HΦBanach空间。最后，我们说Φsatifiesa条件如果Φ（2x）≤ kΦ（x），对于某些k>0，对于x≥ 十、在这种情况下，HΦ=LΦ。对于Orlicz空间理论和风险度量的应用，请参考Rao和Ren（1991）、Edgar和Sucheston（1992）、Cheridito和Li（2008）、Cheridito和Li（2009）以及其中的参考文献。2.2混合连续性在这一部分中，我们研究了由法律决定的凹型货币效用的混合连续性。我们说效用u是F，G的连续混合物∈ M1，c，函数λ7→ u（λF+（1）- λ） G）在[0,1]上是连续的。下一个命题表明，在F=δx，G=δy且x<y的情况下，λ的连续性∈ （0，1）总是令人满意的。命题2.1.让u:L∞→ R是由货币效用决定的凹律，设x，y∈ R、 当x<y时，映射λ7→ u（λδx+（1）- λ） δy）在每个λ处是连续的∈ （0，1）。证据。

所考虑的并矢变量在αo级的TVaR由uα（λδx+（1）给出- λ） δy）=（λαx+α-λαy如果0<λ<αx如果α≤ λ ≤ 是λ的分段线性、非增凸函数。因此，对于每一个ν∈ M[0,1]，函数gν（λ）：=Zuα（λδx+（1）- λ） δy）ν（dα）也是非递增的，且与gν（0）=y和gν（1）=x成凸关系- λ） δy）=inf{gν（λ）+c（ν）|∈ M[0，1]}，通过单调性，函数u（λδx+（1- λ） δy）在（0，1）上保持连续（至少对于x<y）。引理4.3表示u（λδx+（1- λ） 对于λ，δy）在λ中是连续的∈ (0, 1). 最后，（1）给出slim supλ→1.-u（λδx+（1）-λ） δy）≤ u（δx），所以从单调性来看，它遵循limλ→1.-u（λδx+（1）- λ） δy）=u（δx）。最简单的例子是λ的混合连续性→ 0+表示相干实用程序u（ξ）=ess inf（ξ）。还有许多其他例子，例如u（ξ）=γE[ξ]+（1）- γ） ess inf（ξ），对于γ∈ (0, 1). 事实上，我们证明了命题2.5，对于一个由λ的混合连续性性质决定的定律→ 0+相当于WC性能。我们从描述本质开始。引理2.2。让你：我∞→ R是由货币效用决定的凹形定律。如果存在a>0和kn↑ 你说什么α ∈ （0，1）我们有u（αδkn+（1）- α） δa）<0，则u（ξ）=ess inf（ξ）。证据我们首先表明，对于每个knand，对于所有B∈ 当P（B）>0时，存在一个Q∈ P与c（Q）≤ -克南德Q（公元前）≤-克纳。(5) ?情商：cBc？让B∈ F，P（B）>0。然后从假设u（knB+aBc）<0和双重表征来看，存在Q∈ P使得knq（B）+aQ（Bc）+c（Q）<0，从而使saq（Bc）+c（Q）<-knQ（B）≤ -kn，hencec（Q）≤ -克南德Q（公元前）≤-克纳。对于任何ξ∈ L∞, ξ ≥ 0，且β>0，letB:={ξ≤ ess-inf（ξ）+β}。显然，P（B）>0。

把Q作为（5），我们有tha-tu（ξ）≤ 式（ξ）+c（Q）≤ （ess-inf（ξ）+β）Q（B）+kξk∞Q（Bc）+c（Q）≤ ess-inf（ξ）+β+-knakξk∞- 千牛。因为这个不等式适用于每一个β>0，所以↑ 0表示u（ξ）=ess-inf（ξ）。引理2.3。让你：我∞→ R是由货币效用决定的凹形定律。如果存在a>0，kn→ -∞ αn∈ （0，1）使得u（αnδkn+（1- αn）δa）≥ 0，则u具有WC属性。证据我们证明了Sm={dQ/dP | c（Q）≤ m} 是一致可积的。让P（A）≤ αn.然后αnδkn+（1-αn）δa≤stP（A）δkn+（1）-P（A））δA，sou（knA+aAc）≥ 0表示所有QknQ（A）+aQ（Ac）+c（Q）≥ 0，这意味着Q（A）≤a+c（Q）-千牛≤a+m-千牛。让kn→ -∞, 我们发现，集SMI关于P是一致绝对连续的，因此是一致可积的。前面的引理表明有三种可能的情况。Letk<0，a>0。为了简洁起见，假设条件C对（k，a）成立，如果存在α∈ （0，1）使得u（αδk+（1- α） δa）≥ 0.提议2.4。让你：我∞→ R是由货币效用决定的凹形定律。然后有以下替代方案：a）u（ξ）=ess inf（ξ），在这种情况下，条件C对任何（k，a）都不成立，b）u（ξ）具有WC属性，在这种情况下，条件C对每个（k，a）都成立，C）u（ξ）6=ess inf（ξ），并且没有WC属性，在这种情况下，条件C只对某些（k，a）成立。证据a） 如果u（ξ）=ess-inf（ξ），那么条件C显然永远不会成立。

因此，相反的含义是引理2.2的直接结果。b） 如果u（ξ）具有WC性质，那么函数λ7→ u（λδx+（1）- λ） δy）对λ也是连续的→ 0+，这是Lebesgue属性的结果。实际上，对于任何序列λn→ 0+，设ξn~ λnδx+（1）- λn）δy，ξ=y P-a.s.和ξnP→ ξ、 用supnkξnk∞≤ |y |，所以f r om（4）我们得到u（λnδx+（1）- λn）δy）→ u（δy）。由于u（k）=k<0且u（a）=a>0，存在α∈ （0，1）这样的tha-tu（αδk+（1-α） δa=0；因此，条件C适用于每一个（k，a）。反向复制是引理2.3的结果。c） 紧接着从a）和b）开始。评论与韦伯（2006）中的条件（3.1）进行比较很有趣。在我们的符号中，韦伯的要求是存在a>0，这样对于每k<0，条件C保持（k，a）。对于凹律决定的货币效用，当且仅当u（ξ）具有WC性质时，满足韦伯条件（3.1）。if部分来自命题2.4第b项），而only if部分来自引理2.3。在命题2.1中，我们证明了由货币效用决定的任何凹律在λ的并矢变量上是混合连续的∈ （0，1）。从命题2.4的三分法可以得出λ的附加连续性→ 对于某些规范函数ψ，0+等价于WC性质和ψ-弱连续性。提议2.5。让你：我∞→ R是由货币效用决定的凹形定律。以下是等效的：a）u具有WC属性。b） 对于some规范函数ψ，u是ψ-弱连续的。c） 对于每个x，y∈ 当x<y时，函数λ7→ u（λδx+（1）- λ） δy）对于λ是连续的→ 0+.证据首先，我们展示a）=> b） 。让我们首先考虑一下你是不同的情况。然后，从WC属性可以得出，对偶表示u（ξ）=inf中的广义符号集式[ξ]|Q∈ s在σ（L，L）中是紧的∞) 拓扑，因此一致可积。