利用二次非线性投影优化信贷组合

此外，我们还定义了~w“=w（1）±，w（2）±，··，w（N）±Tandδ~w±=δw（1）±，δw（2）±，δw（N）±t对于整个投资组合：X（n）±，X±，r±，δr±，I（n）±，δI（n）±，I±，δI±n=1，2，··，以相同的方式定义。此外，还假设每个权重分量都不为零，即n=1,2，·n时w（n）±6=0，因为没有必要考虑为任何实际目的重新分配没有贡献的资产或资产组。3.1目标函数我们为正向意义上的单步优化程序引入以下目标函数：o风险最小化（min Ri）minδwδCVaR（损失）β（X±）X，（12）2021 10月5日QuadNLProjectionOptimizingCreditPortfolio˙BogukKIM˙EtAlwhereδCVaR（损失）β（X±）=NXn=1DaR（损失）β（n）（X-) δw（n）±，（13）假设δw（n）足够小，使得偏导数CVaR（损失）β（X±）在微小资产配置调整前后，w（n）保持不变。注意，除以Xis只是为了无量纲化返回最大化（max Re）maxδ~wNXn=1r（n）-δw（n）±。（14） o回归风险指数最大化（max Re2Ri）maxδ~wδr±XCVaR（损失）β（X±）. （15） o多元化指数最小化（min DI）minδ~wδNPn=1w（n）DaR（损失）β（n）（X±）NPn=1CVaR（损失）βX（n）±. （16） 3.2约束根据目标函数，我们可以在优化程序中选择以下约束：o对总收入的约束：NXn=1δw（n）±=δα。（17） 2021 10月5日QuadNLProjectionOptimizingCreditPortfolio˙BogukKIM˙EtAlo总回报约束（最大回报除外）：NXn=1r（n）-δw（n）±=δγ，（18），其中nxn=1r（n）±w（n）±=r±。（19） o总风险限制（最小风险除外）：XNXn=1DaR（损失）β（n）（X）-) δw（n）±=δγ。

（20） o对lsense中重量调整（加权）量的限制：VuTutnxn=1c（n）-δw（n）±=δc，（21），其中c（n）是n=1，2，··，n的每项资产或资产组的权重调整量系数。实际上，我们也可以选择风险回报率指数或分散指数作为约束，只要它们不作为目标函数。对于任何p>0的情况，我们可以定义lpsense意义上的成本约束，但p=2为零，根据这一点，优化方法被称为二次非线性投影方法。在这种方法中，任何类型的优化都必须考虑重量调整约束的数量，而其他类型的约束可能被排除在外。为了优化风险回报指数，可以指定对总风险和/或总回报的约束。权重调整的系数可能需要进一步建模。2021 10月5日QuadNLProjectionOptimizingCreditPortfolio˙BogukKIM˙EtAl3。3一阶变分近似的局部单步优化在最小资产调整的约束下，我们的优化程序考虑了目标函数的一阶变量相对于最小投资组合调整总量δc的变化，这是衡量n=1，2，·，n时权重调整总成本的一种方法。在我们的优化框架中，始终需要对投资组合调整总量进行约束。为了简短的描述，我们将讨论限制在选择总收入、总风险或总回报作为附加约束的情况下。

这里，我们将κ和κ分别称为总收入调整率和总回报或风险调整率相对于δc的路径参数。整个优化过程是通过一系列连续的单步优化来完成的，每一步都是通过拉格朗日乘子法对δc进行正向优化。为此，我们假设每项资产或资产组的初始权重为非零，即n=1，2，··，n时w（n）6=0。为了简单起见，假设n=1，2··，n时的r（n）±=r（n）和c（n）±=c（n）在任何一步优化之前和之后都保持不变，当成本调整约束以lnorm定义时，关联拉格朗日乘数法的通用框架如下：L=NXn=1f（n）y（n）-NXn=1y（n）-κ!s-NXn=1h（n）y（n）-κ!T-vuutNXn=1c（n）y（n）-1.q、 （22）2021 10月5日QuadNLProjectionOptimizingCreditPortfolio˙BogukKIM˙EtAlfory（n）=δw（n）±δc，（23a）κ=δαδc，（23b）κ=δγδc，（23c），其中δLδy（n）=0，表示n=1，2，··，n，（24a）Ls=0，（24b）L（t=24c）Lq=0。

（24d）然后，单步优化的解决方法如下（见附录A）：（1）当总收入和总风险或回报约束都包括在内时：y（n）=f（n）qc（n）-吉瓦-HV+（HU）-GV）h（n）（UW）-五） qc（n）-κV-κW+（κV-κU）h（n）（UW）-五） c（n）（25a）表示Q=±r-aa（25b），其中A=F-HU+GW- 2GHVUW- 五、 （25c）a=Uκ+Wκ- 2VκUW- 五、- 1，（25d）2021 10月5日QuadNLProjectionOptimizingCreditPortfolio˙BogukKIM˙EtAl（2）排除总风险或回报约束时：y（n）=f（n）qc（n）-GUqc（n）+κUc（n），（25e）q=±r-aa（25f）fora=F-GU，（25g）a=κU- 1，（25h）（3）当总收入约束被排除时：y（n）=f（n）qc（n）-Hh（n）wqc（n）+κh（n）wc（n），（25i）q=±r-aa（25j）fora=F-HW，（25k）a=κW- 1，（25l）（4）当总收入和总风险或回报约束均被排除时：y（n）=±f（n）√F c（n）（25m）2021 10月5日QuadNLProjectionOptimizingCreditPortfolio˙BogukKIM˙etalforn=1，2，···，n，其中F=NXn=1f（n）c（n），（26a）G=NXn=1f（n）c（n），（26b）H=NXn=1f（n）H（n）c（n），（26d）V=NXn=1h（n）c（n），（26e）W=NXn=1h（n）c（n）。（26f）对于非平凡的投资组合，ais总是为正的，因此，要求a<0才能使q实值化，从而排除任何可能的退化情况，其中存在很多解。当投资组合处于任何次优状态时，即使允许其他两个路径参数κ和κ为零，δc也应始终非零，以进行优化过程。总之，每一步优化的局部重量变化δ~w±由（κ，κ）的函数给出（见图3）。

如果在n=1,2，··，n时，每个w（n）都应该保持非负，那么我们只对那些达到零值的权重分量停止更新过程。一旦我们有了q的两个实解，我们就只选择其中一个，这样它就满足了目标函数的条件：我们取目标函数的较大值来找到期望的局部最优状态，以实现收益最大化，取较小的值来实现风险最小化（见图4）。特别是，当κ=0时，这一二次优化问题被理解为寻找最大值和最小值，这两个值在2021 10月5日的QuadNLProjectionOptimizingCreditPortfolio（BogukKIM）EtAl上分别是唯一的-~w+δ~w±（0，0）δ~w±（κ1，κ2）图3。通过二次非线性投影进行局部单步优化的更新程序。局部权重变化δw±，或等效的δw±δc，是（κ，κ）和当前状态~w的函数-对应于（κ，κ）=（0，0）的时间。对于合适的一对（κ，κ），δ~w±通过求解相关的二次方程确定，然后~w+=~w-+ 施加δ~w±（κ，κ）。。椭球搜索域二次投影局部最优状态+-图4。通过二次非线性投影的单步优化程序。

局部最优状态是通过遵循两条路径中的唯一一条来实现的，用+和表示-, 对应于二次方程的两个不同的实解。横切- 1） -三维超平面和以原点为中心的无因次椭球体的表面（见图5）。根据目标函数和约束条件，对于n=1，2，·n，f（n），h（n）可以如下选择：f（n）=r（n）表示最大Re，DaR（损失）β（n）（X-)Xfor min Ri，r（n）-R-DaR（损失）β（n）（X）-)CVaR（损失）β（X-)XCVaR（损失）β（X-)对于最大Re2Ri，DaR（损失）（n）β（X-)NPn=1CVaR（损失）β（X（n）-)-CVaR（损失）β（X（n））CVaR（损失）β（X-)NPn=1CVaR（损失）β（X（n）-)对于min DI，（27a）h（n）=DaR（损失）β（n）（X）-)X表示最大Re，r（n）表示最小Ri或最小DI。（27b）请注意，n=1，2，···，n的h（n）信息不需要用于风险回报最大化，因为它与2021 10月5日的收益最大化IFQuadnlProjectionOptimizingCreditPortfolio˙BogukKIM˙EtAlFigure 5基本相同。当N=3时，通过二次非线性投影进行局部单步优化的图表。椭球面：局部搜索最优状态的范围。椭球体的中心：当前投资组合状态。两个超平面：两个约束的集合。椭球面和两个超平面的两个交点：两个最优状态作为拉格朗日乘子法通过二次方程的解。最优路径（-）离散逼近的新推广（-·-）。风险约束是预先指定的，或者如果回报约束是预先指定的，则风险最小化。3.4数值连续性的扩展二次优化是通过前面提到的一系列近似优化来进行的，以获得最小的重量调整量。

对于给定的约束，所有参数被划分为多个细分，这些细分使得离散化近似与数值连续路径相关，表示为2021 10月5日QuadNLProjectionOptimizingCreditPortfolio˙BogukKIM˙etalth以下序列：{（αm，γm，cm）|α=0，γ=0，0=c<cm<cm}Mm=0，（28）和（Δαm，Δγm，δcm）=（αm- αm-1，γm- γm-1厘米- 厘米-1） ，（29a）（κ1，m，κ2，m）=（Δαm，Δγm）δcm（29b）对于m=1，2，··，m.对于m=1，2，··，m.的每个δcm对于每个单步优化都应该足够小，以便满足a<0。在连续路径子区间之间的每个单步优化结束时，应通过重新排序调整后的总投资组合的时间序列来更新整个投资组合的总风险，以及每个资产或资产组的风险贡献。特别是当使用固定总风险约束时，我们用~w·CVaR（损失）β（X）来衡量局部最优权重~w+-)在评估过程中，总风险（CVX+）和总损失（CVaR+）应保持不变。当迭代过程在预先指定的成本参数中经过所有细分时，整个数值延拓过程就完成了。4.

最优路径当总收入和总风险或回报约束均在2021 10月5日内时，目标函数相对于投资组合调整总量的增量比，用Q=PNn=1f（n）y（n）表示，计算得出：Q=aq+（GW- HV）κ+（HU）- GV）κUW- 五、 （30a）o排除风险或回报约束时：Q=aq+κ，（30b）o排除总收入约束时：Q=aq+κ，（30c）o排除总收入和总风险或回报约束时：Q=Fq，（30d），其中A和Q都有不同的定义，如第3.2节所述，取决于约束的选择。因此，很明显，Q是（κ，κ）的函数，因此我们计算Q的极值点（‘κ，’κ），在该极值点处，Q最大或最小，以便找到使目标函数最大或最小的参数曲线。附录B.5中提供了最佳路径的额外点。实际信贷组合数据的数值结果我们将这种二次非线性投影方法应用于韩国一家银行的专有信贷组合数据。该银行的信贷组合风险数据由CreditMetrics生成。信贷组合的损失分布在一年的时间范围内提供。对于我们的测试问题，我们使用N=252个资产组和2021 10月5日的QuadNLProjectionOptimizingCreditPortfolio˙BogukKIM˙EtAlTable 1。当投资组合调整总量从0增长到0时，样本投资组合的总风险的变化取决于目标函数。当δc=10时为1-5.目标函数cM=0 cM=0.05 cM=0.1min Ri（固定总收入）2.31402×101.89960×101.89960×10min Ri（固定总回报）2.31402×101.37919×101.37919×10max Re2Ri 2.31402×101.23949×101.15843×10K=2000个场景，M=10次迭代，δc=10-5.

假设重量调整量的所有系数均标准化为单位。在图6中，通过在不同约束条件下遵循最优参数路径，比较CVaR最小化结果。对于固定总收入和固定总回报的情况，投资组合的总风险达到稳定状态，总风险达到局部最小值，总回报达到局部最大值，因此，随着投资组合调整总量的增加，这些曲线会急剧变化（见表1）。此外，风险最小化自然意味着投资组合风险的多样化。图7显示了固定总收入、固定总风险、非固定总收入和非固定总风险约束下收益最大化结果的比较。与风险最小化相反，总风险与投资组合调整的总额成线性增长，除非总风险是固定的，因为总投资组合回报是最大的。回报最大化降低了分散性，换句话说，增加了相对分散指数。对于固定总风险下收益最大化的分化指数曲线，存在一些波动，可能在数值近似范围内，即2021 10月5日QuadNLProjectionOptimizingCreditPortfolio˙BogukKIM˙EtAl0 0.025 0.05 0.075 0.10.811.21.41.61.822.2总权重调整相对收益-到-风险指数0.025 0.05 0.075 0.10.70.750.80.850.90.9511.051.1总重量调整相对总重量0.025 0.05 0.075 0.10.30.40.50.60.70.80.911.1总重量调整相对总CVaR0.025 0.05 0.075 0.10.30.40.50.60.70.80.911.1总重量调整相对总VaR0.025 0.05 0.0750.10.40.50.60.70.80.911.1总重量调整相对多样化指数图6。

在不同的约束条件下，比较与初始状态相关的风险最小化结果：固定总收入（-）、固定总回报（-·-）和无约束（··-），当δc=10时，通过将投资组合调整总量从0变为0.1-5.错误。在固定总投资组合风险的约束下，总投资组合收益应大幅降低，从而使总投资组合收益也降低，即使收益最大化。在图8中，给出了2021第五季度的两个不同项目的风险回报最大化结果——优化信贷组合（QuadNLProjectionOptimizingCreditPortfolio）˙BogukKIM˙EtAl0 0.025 0.05 0.075 0.100.10.20.30.40.50.60.70.80.91总权重调整相对回报-到-风险指数0.025 0.05 0.075 0.100.20.40.60.811.21.41.6总重量调整相对总重量0.0250.05 0.075 0.10100200300400500600700总重量调整相对总CVaR0.0250.05 0.075 0.10204060100总重量调整相对总重量0.0250.05 0.075 0.1012345总重量调整相对总回报0.0250.05 0.075 0.111.522.5总重量调整相对多元化指数图7。在不同约束条件下，相对于初始状态的回报最大化结果的比较：固定总收入（-）、固定总风险（-·-）和无约束（···），当δc=10时，通过将投资组合调整的总金额从0变为0.1-5.限制。当投资组合总收入固定时，风险收益最大化曲线被认为是有效边界，这是从相同初始投资组合状态开始的所有可能曲线的最终上界，在数值误差范围内。2021 10月5日风险回报率最大值的惊人结果是QuadNLProjectionOptimizingCreditPortfolio˙BogukKIM˙EtAlTable 2。