利用二次非线性投影优化信贷组合

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英文标题：
《Optimising Credit Portfolio Using a Quadratic Nonlinear Projection
  Method》
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作者：
Boguk Kim, Chulwoo Han, Frank Chongwoo Park
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  A novel optimisation framework through quadratic nonlinear projection is introduced for credit portfolio when the portfolio risk is measured by Conditional Value-at-Risk (CVaR). The whole optimisation procedure to search toward the optimal portfolio state is conducted by a series of single-step optimisations under the local constraints described in the multi-dimensional constraint parameter space as functions of the total amount of portfolio adjustment. Each single-step optimisation is approximated by the first-order variation of the weight increments with respect to the total amount of portfolio adjustment and is solved in the form of locally exact formula formulated in the general Lagrange multiplier method. Our method can deal with optimisation for general nonlinear objective functions, such as the return-to-risk ratio maximisation or the diversification index, as well as the risk minimisation or the return maximisation.
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中文摘要：
针对信用组合风险由条件风险价值（CVaR）度量的情况，提出了一种基于二次非线性投影的信用组合优化框架。在多维约束参数空间描述的局部约束下，通过一系列单步优化来搜索最优投资组合状态，作为投资组合调整总量的函数。每一个单步优化都通过权重增量相对于投资组合调整总量的一阶变化来近似，并以通用拉格朗日乘数法中制定的局部精确公式的形式进行求解。我们的方法可以处理一般非线性目标函数的优化，例如收益率最大化或多元化指数，以及风险最小化或收益最大化。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Optimising_Credit_Portfolio_Using_a_Quadratic_Nonlinear_Projection_Method.pdf (708.84 KB)

2022-5-7 03:26:13 上传

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关键词：非线性 Optimisation maximisation Quantitative Optimization

2021 10月5日QuadNLProjectionOptimizingCreditPortfolio˙BogukKIM˙Etalmanu使用二次非线性投影方法优化信贷组合Boguk KIM*, CHULWOO HAN+和FRANK C.PARK*QMR集团有限公司，Hosu ro 672，#1214，庆吉道Goyang si Ilsandong gu，10364，韩国共和国+杜勒姆大学商学院，英国杜勒姆米尔山巷，DH1 3LB，首尔国立大学机械与航空航天工程学院，韩国首尔Gwanak gu Gwanak ro 1号，邮编08826。（2017年7月收到）摘要当组合风险由条件风险价值（CVaR）衡量时，通过二次非线性投影引入了一种新的信贷组合优化框架。在多维约束参数空间中描述的局部约束下，作为投资组合调整总量的函数，通过一系列单步优化来搜索最优投资组合状态的整个优化过程。每一步优化都通过权重增量相对于投资组合调整总量的一阶变化进行近似，并以通用拉格朗日乘数法中制定的局部精确公式的形式进行求解。我们的方法可以处理一般非线性目标函数的优化，如收益率最大化或多元化指数，以及风险最小化或收益最大化。关键词：非线性规划，或银行业，风险管理，投资组合优化，通讯地址：韩国庆吉道三东谷，韩国，10364号，QMR集团有限公司，Hosu ro 672，#1214，Boguk Kim。电子邮件：金。boguk@qmr.re.krOctober5、2021 QuadNLProjectionOptimizingCreditPortfolio˙BogukKIM˙EtAlcontinuous Optimization 1。

信贷组合的损失分布通常远离标准高斯分布。相反，它是高度不对称的，厚尾，具有较大的偏度和峰度。这意味着均值-方差分析不适用于信贷组合优化。在这种情况下，使用尾部风险度量是合适的，其中条件风险价值（CVaR）作为“VaR的自然一致替代品”是一种流行的选择（Rockafellar and Uryasev 2002；Acerbi and Tasche2001，2002；Tasche 2002）。由于CVaR是一个凸度量，相关的风险最小化可以通过线性规划（LP）以凸优化的形式有效地表述（Rockafellar和Uryasev 2000；Uryasev 2000；Krokhmal、Palmquist和Uryasev 2002；Mansini、Ogryczak和Speranza 2007）。CVargante的凸性保证了找到投资组合风险的唯一全局最小值（如果存在）。据报道，根据P flug（2000）中基于各种经验数据的风险最小化，与其他类型的风险度量相比，使用CVaR最小化投资组合风险具有绝对优势；戈德伯格、海斯和马哈茂德（2011年）。然而，CVaR最小化的LP方法在以下方面存在一些关键缺陷：o风险最小化的范围，即投资组合中单个资产或资产组的可能调整范围，应任意指定，以包括全局极值点，因此，如果即使对于凸风险函数也没有全局最小值，那么LP方法是没有用的。（我们参考2021 10月5日QuadNLProjectionOptimizingCreditPortfolio˙BogukKIM˙EtAlX（1）r（1）X（2）r（2）r（2）X（3）r（3）r（3）r（3）X（4）r（4）r（4）X（1）r（1）r（1）r（1）r（1）r 1）r 1级个人资产2级资产组3级资产组合价值风险回报图1）。

当资产组数量为N=4时，投资组合、资产组和单个资产的结构示意图。资产组是投资组合中具有类似风险结构的资产的集合；参见图1）目前还没有已知的程序可以通过LP优化非凸目标函数，例如投资组合管理中最重要的概念之一的风险回报率。一般来说，如果风险度量是任何类型的风险价值（VaR），那么投资组合优化本质上是一个非线性问题，因此引入非线性方法来处理此类问题是很自然的。当一个投资组合中有太多资产或资产组时，非线性投资组合优化问题的标准实现可能会很麻烦，因为对于任何具有完全非平凡资产相关性的投资组合，相关的雅可比矩阵通常都是稠密的。此外，可能需要处理非光滑或不连续的损失分布，因此雅可比矩阵中的不连续偏导数应在弱意义下适当处理。在本文中，我们新引入了2021 10月5日QuadNLProjectionOptimizingCreditPortfolio˙BogukKIM˙EtAlcredit投资组合优化的替代优化框架，当CVARI用作风险度量时，通过最大化风险回报指数。

这里介绍的公式是通过拉格朗日乘数法表示的，取决于一个特别引入的小的二次误差项，与投资组合中资产或资产组分配的总微小变化相当，作为必要的约束条件。关键要素是在权重分布空间中，将与约束变化相对应的多维参数相关的目标函数表示为当前投资组合状态下投资组合调整总量的函数，例如，总投资组合收益和总投资组合回报或额外风险容限，通常，投资组合优化的维度更高。可以说，这给出了投资组合中每项资产或资产组贡献的初始变量与多个约束参数之间的二次映射。这种映射过程是一系列局部优化的自然结果，这些局部优化由相对于投资组合调整总量的权重分布变化量近似，通过拉格朗日乘数法求解，其结果只是二次非线性投影的一种形式。整体优化程序通过这些局部优化的延续程序进行，这些局部优化涉及投资组合调整的总量。也就是说，反复执行局部单步优化，直到投资组合调整总量达到阈值（见图2）。局部优化的每一步都可以在封闭式公式中求解，因此所需的整体计算变得高效。

这样，我们的新方法能够最大化或最小化一般非线性目标函数，包括风险回报率，作为风险最小化10月5日的自然延伸，2021 QuadNLProjectionOptimizingCreditPortfolio˙BogukKIM˙ETALCO配置初始化投资组合回报·情景矩阵·可能性局部单步优化局部最优状态历史是否达到阈值？输出否是图2。总体投资组合优化程序的主要流程图。或者收益最大化，其特点是在各种给定约束下搜索最优路径，即使目标函数的全局最大值或最小值不存在。2.准备工作2。1.投资组合的时间序列假设信贷组合由N个不同的资产或N个不同的资产组组成≥ 2.资产组的特点是，资产组内部有一系列完全或密切相关的资产（即，资产组中资产之间的相关性被认为是接近统一的）（图1）。假设2021 10月5日，一个随机的QuandnlProjectionOptimizingCreditPortfolio˙BogukKIM˙EtAlvariable X代表总投资组合的价值。每个资产或资产组的值由随机变量X（n）k表示，对于n=1，2，··，n，其中k表示代表时间步长的参数。投资组合虚拟场景的时间序列，从最初的投资组合分配开始X（1），X（2），·X（N）, 可以简单地用以下矩阵形式表示：X（1）X（2）·X（N）X（1）X（2）·X（N）。。。。。。。。。。。。X（1）kX（2）k··X（N）k。。。。。。。。。。。。。（1） Xk=PNn=1X（n）kis定义为第k步的投资组合总价值。如果根据预先指定的联合概率分布为K步生成时间序列，其中K是一个自然数，则K步的发生概率由ekfork=1，2，··，K给出，使得pkk=1ek=1。

有限或可能有限的行数对应于一个时间范围内的时间步长，例如，估计每个资产或资产组的价值时，6个月、1年和2年等。在不丧失一般性的情况下，我们可以假设N列是线性独立的，即不存在我们感兴趣的资产或资产组，它们由其他资产或资产组的线性叠加表示。2.2收益让我们假设，对于n=1，2，·，n，每个资产或资产组的收益用r（n）表示。然后，2021，个人收益率与总收益率之间的关系将通过r=NXn=1r（n）w（n），（2）简单给出，其中w（n）=X（n）Xis是n=1，2，··，n的第n个资产或资产组相对于总投资组合的初始权重。每项资产或资产组的回报可能会在投资组合再分配过程中进行实际调整。2.3损失的概率分布投资组合的损失分布是通过计算时间序列中损失发生概率预先指定的可能加权频率来获得的，其中第n个单独资产或资产组的损失由Z（n）k=X（n）定义- 对于n=1,2，··，n和k=1,2，··（相应地，Zk=X- xkforth整个投资组合）。不同资产或资产组之间的相关性从时间序列集合中自然推断出来。关键假设是，存在唯一收敛的损失分布函数，以及固定的相关系数，无论投资组合中每项资产或资产组的比例如何。2.4.衡量风险。4.1风险价值（VaR）。

总投资组合损失的VaR Z=X- X根据其损失分布函数P（·）由VaR（损失）β（X）定义≡ VaRβ（Z）=infY∈A{P（Z | Z）≤ Y）≥ β} （3）对于给定的信任级别0≤ β ≤ 1，其中A是portfolioloss的容许集，它是实数集。在给定的时间范围内，2021 QuadNLProjectionOptimizingCreditPortfolio˙BogukKIM˙EtAlin real practice的置信水平βusedOctober 5的典型值为0.95、0.99、0.995、0.999等。还有许多其他与VaR.2.4.2条件风险价值（CVaR）损失相关的风险度量。总投资组合的CVaR由CVaR（损失）β（X）=CVaR（损失）+β（X）+β（β）的基础VaR定义*- β） VaR（损失）β（X）1- β、 （4）β在哪里*= PZ | Z<VaR（损失）β（X）, （5a）CVaR（损失）+β（X）=EhZ | Z≥ VaR（损失）β（X）i≡Z+∞VaR（损失）β（X）ZP（Z）dZ。（5b）注意CVaR+β（·）被称为尾部条件期望。无论是当损耗分布是连续的，还是当β在离散损耗分布中不分裂任何原子时，我们都有β*= β、 因此，CVaR（损失）β（·）=CVaR（损失）+β（·）。显然，CVaR（损失）β（·）不低于VaR（损失）β（·）。2.4.3风险贡献和风险衍生工具（DaR）。为了优化投资组合，考虑单个资产或资产组相对于总投资组合的潜在风险度量的风险贡献是有用的。如果总风险是从投资组合中资产或资产组的时间序列来衡量的，那么这是可行的。当以CVaR衡量总风险时，第n个资产组的风险贡献由CVaR（损失）（n）β（X）=EhZ（n）给出Z=CVaR（损失）β（X）i，（6）2021 10月5日QuadNLProjectionOptimizingCreditPortfolio˙BogukKIM˙EtAlwhere Z（n）=X（n）- X（n）是n=1,2，·，n时第n项资产或资产组的损失。

因此，我们应该有nxn=1CVaR（损失）（n）β（X）=EhZ | Z=CVaR（损失）β（X）i=CVaR（损失）β（X）。（7） 潜在的尾部风险度量是简单的尺度不变的，即CVaR（损失）β（（1+δa）X）=（1+δa）CVaR（损失）β（X），其中|Δα| 1.因此，它遵循CVAR（损失）（n）β（X）=X（n）CVaR（损失）β（X）X（n）=w（n）CVaR（损失）β（X）w（n），（8），其中存在被称为风险衍生工具（DaR）的偏导数（Tasche2000）。在这种情况下，CVaR（损失）β（X）w（n）存在于分布意义上，换句话说，存在于弱导数意义上。由于CVaR与投资组合中单个资产或资产组的比例呈分段线性关系，因此其相关的偏导数都是分段常数函数。因此，CVaR和DaR之间的关系如下所示：CVaR（损失）β（X）=NXn=1w（n）DaR（损失）（n）β（X），（9）其中DaR（损失）（n）β（X）=CVaR（损失）β（X）w（n）.2.5风险回报率指数退出是一种惯例，即我们可能期望从更多风险中获得更多回报。为了衡量资产、资产组和整个投资组合的绩效水平，最好采用收益率与2021 10月5日QuadNLProjectionOptimizingCreditPortfolio˙BogukKIM˙etalth之间的比率确定的绩效指标，风险如下：≡rXCVaR（损失）β（X），（10a）I（n）≡r（n）X（n）CVaR（损失）βX（n）对于n=1，2，·，n（10b），分别适用于总投资组合和每个单独的资产或资产组。

对于一般风险度量，该指数自然是单个资产或资产组权重的非线性函数，但它变成了一个理性函数，由两个分段线性函数相对于CVaR权重函数之间的关系构成。2.6分散指数总投资组合风险与资产或资产组风险之和的比率定义为分散指数Dβ（X）：Dβ（X）=CVaR（损失）β（X）NPn=1CVaR（损失）βX（n）=NPn=1w（n）DaR（损失）β（n）（X）NPn=1CVaR（损失）βX（n）. （11） 该数量衡量单个资产或资产组损失之间的关联程度。作为一种特殊情况，如果资产或资产组完全相关，那么它们的行为都像一个单一的资产，比如DaR（损失）（n）β（X）=CVaR（损失）βX（n）对于n=1，2，·，n，所以Dβ（X）应该是1，但我们的讨论中排除了这个临界值。CVaR的凸性保证了Dβ（X）是一个正数，且非常小于1。2021 10月5日QuadNLProjectionOptimizingCreditPortfolio˙BogukKIM˙EtAl3。二次优化框架基本问题是如何调整初始资产配置，以最大化或最小化给定的目标函数。更具体地说，在给定的总投资组合调整量下，从当前资产配置中提高投资组合绩效的最公平方式是什么？首先，我们将w（n）+表示为资产组调整过程中最小金额w（n）后，投资组合中资产组第四项资产的调整权重-作为组合中资产组第n项资产的原始权重，δw（n）±=w（n）+- w（n）-对于n=1，2，·，n。