用最优切换法求解有限时域Dynkin对策

因为我∈ {0,1}，让Gi=吉特0≤T≤t如式（4.5）所示。定义流程=^Yt0≤T≤Tby^Yt:=Yt+Rtψ（r）dr.根据定理二。在[23]中的77.4条中，一个停止的超级马丁格尔也是一个超级马丁格尔。对于每个σ，τ∈ 他阻止了斯奈尔的信封Y∧(σ∧τ*（t）T≤s≤坦然^Ys∧(σ*T∧τ)T≤s≤因此，皮重是最重要的。此外，利用命题4.1中停止的斯奈尔包络的马廷格尔性质，我们可以看到^Y- 主要内容如下：1。^Ys- YT≤s≤(σ*T∧τ*t） 是鞅；用最优切换法求解有限时间视界Dynkin对策。对于任何σ，τ∈ Tt，T，^Ys- YT≤s≤(σ*T∧τ） 是一个超级艺术家；3.对于任何σ，τ∈ Tt，T，^Ys- YT≤s≤(σ∧τ*t） 是次鞅。这种描述使我们能够证明（4.9）和（4.10）。用于建立（4.10）的参数基本上与我们用来展示（4.9）的参数相同，根据假设3.2和引理4.3，模从等式到不等式的直接变化。

因此，我们仅证明（4.9）。^Y的鞅性质- Yon[t，σ*T∧ τ*t] 允许我们推断如下：Yt- Yt=E“Zσ*T∧τ*ttψ（r）dr+Yσ*T∧τ*T- Yσ*T∧τ*TFt#（4.11）涉及这一对的术语Y、 Y条件期望的内部可以重写为：EhYσ*T∧τ*T- Yσ*T∧τ*TFti=EYσ*T- Yσ*T{σ*T≤τ*t}英尺+ EYτ*T- Yτ*T{τ*t<σ*t}英尺（4.12）通过等式（4.7）并以事件{τ为条件*t<t}，停止时间τ的最优性*t给出如下结果：Yτ*t{τ*t<t}=h-γ+(τ*t） +Yτ*{tiτ*t<t}（4.13）此外，1{σ*t> τ*t} =1{σ*t> τ*t} {τ*T≤T}=1{σ*t> τ*t} {τ*t<t}自τ*T≤ T和σ*T≤ TP-a.s.，我们可以用方程（4.13）来验证以下内容：P-a.s.，呃Yτ*T- Yτ*T{τ*t<σ*t}Fti=EhYτ*T- Yτ*T{τ*t<σ*t} {τ*t<t}Fti=Eh(-γ+(τ*t） ）1{τ*t<σ*t}Fti（4.14）由方程（4.7）确定，并以事件{σ）为条件*t<t}，停止时间σ的最优性*tgives:Yσ*t{σ*t<t}=h-γ-(σ*t） +Yσ*ti{σ*t<t}用来推断：呃Yσ*T- Yσ*T{σ*T≤τ*t} {σ*t<t}Fti=Ehγ-(σ*t） 1{σ*T≤τ*t} {σ*t<t}Fti（4.15）自τ*T≤ 我们有1{σ*T≤τ*t} {σ*t=t}=1{σ*t=τ*t=t}，并使用YT=Γ和YT=0a。s、 我们得到：嗯Yσ*T- Yσ*T{σ*T≤τ*t} {σ*t=t}Fti=EhΓ1{σ*t=τ*t=t}Fti（4.16）再次出现，因为σ*T≤ T P-a.s.，我们可以使用方程（4.15）和（4.16）来断言：Yσ*T- Yσ*T{σ*T≤τ*t}Fti=EhYσ*T- Yσ*T{σ*T≤τ*t}{σ*t<t}+1{σ*t=t}Fti=Eγ-(σ*t） 1{σ*T≤τ*t} {σ*t<t}英尺+ EΓ1{σ*t=τ*t=t}英尺（4.17）然后，我们使用等式（4.11）中的等式（4.12）、（4.14）和（4.17）来证明权利要求（4.9）。用最优切换法解有限时间视界Dynkin对策。定理4.4的结果是以与文献中使用概率方法的其他几篇论文类似的方式获得的。

例如，[19]（特别是Lytheorem 1）使用鞅方法处理Dynkin博弈；[20] （尤其是定理2.1），它在阿马尔科夫环境中对Dynkin对策的值函数进行了半调和描述；[2,8]使用了双重反射后向随机微分方程的概念。备注4.6。虽然我们从一个Dynkin游戏开始，然后制定了一个最优切换问题，但我们可以通过反向操作得出这些结果。更准确地说，用终端奖励数据Γ、Γ和瞬时利润过程ψ、ψ来处理任何两种模式的最优切换问题（满足第3节中的假设）。然后，我们通过设置Γ：=Γ来制定相应的Dynkin对策- Γ, ψ:= ψ- ψ并使用切换成本函数确定博弈的停止成本，如定义2.3.5博弈解对时间范围的依赖性我们在本节和下一节中假设存在标准布朗运动B=（Bt）t≥0定义(Ohm, F、 P），而且F=（Ft）t≥0是B的完全自然过滤。众所周知，在这种情况下，所有F停止时间都是可预测的。因此，所有属于Q的fadapt过程都有P-几乎肯定连续的路径。假设第2.1节的ψ和γ±在所有[0]上定义，∞) 带ψ∈ 曼德γ±∈ s∩Q（γ±仍满足假设3.2）。此外，为了简单易用，我们假设ψ≡ 0并定义两个过程L=（Lt）t≥0和U=（Ut）t≥0by Lt=-γ+（t）和Ut=γ-（t） 。对于0<T≤ ∞ 和t∈ [0，T]，我们定义了Dynkin博弈的以下收益：对于σ，τ∈ Tt，T，Dt，T（σ，τ）=EUσ{σ≤τ} {σ<T}+Lτ{τ<σ}+ΓT{σ=τ=T}英尺（5.1）ΓT在哪里∈ 这是可以测量的。

在T=∞ 我们假设lim inftUt≤ lim SuptlandΓ∞满足感∞:= lim suptLtorΓ∞:= 视情况而定。在有限和有限视界设置的适当条件下，已知（例如[3]，或本文针对有限视界的情况）存在一个c`adl`ag FT自适应过程vt，使得随机变量vt是带有payoff（5.1）的游戏值。在本节中，我们证明了确定性（因为Fis是平凡的）映射t7→ VT在（0，∞).这是[22]中关于双反射后向随机微分方程（DRBSDEs）范数估计的最新结果的直接结果。5.1双反射后向随机微分方程为了激发对DRBSDEs的讨论，我们进行了以下观察。根据定理4.2，我们知道∈ (0, ∞) 鉴于并确定存在流程Y0和Y1，T属于ST∩ QT（4.4）。此外，由于ψ≡ 同样，Y0和Y1是适当工艺的斯奈尔包络线，因此是超级马丁格尔。让（Mi，T，Ai，T）表示Yi，T，i的迈耶分解∈ {0,1}（参见（4.2））。我们注意到，bothMi，Tand Ai，Tbelong to styi，T∈ 将过滤FTI置于准左连续位置。利用这种分解，Yi，TT=Γian和Mi，T的布朗鞅表示，我们得到了allt∈ [0，T]：Yi，Tt=Γi，T-ZTtζi，TsdBs+Ai，TT- Ai，TtP-a.s.（5.2）通过优化切换求解有限时间范围内的Dynkin对策，其中ζi，T∈ 这是可以预测的。此外，我们还可以证明（例如[12]中的命题B.11]）Zthyi，Tt- （Y1）-i、 Tt- γi，1-1（t））idAi，Tt=0 P-a.s.（5.3）回想定理4.4，过程VT=（VTt）0≤T≤由VTt定义的Tde=Y1，Tt-Y0，ttPayoff（5.1）解决了Dynkin博弈。

回顾定义2.3，引理4.3，并使用上面的（5.2）-（5.3），我们看到在[0，T]上，过程vt满足（VTt=ΓT-RTtζTsdBs+KTT- KTtL≤ 及物动词≤ UVTt- 书信电报dA1，Tt=美国犹他州- VTtdA0，Tt=0，其中ζT:=ζ1，T- ζ0，Tand KT:=A1，T- A0，T（5.4）我们现在介绍一些符号，并回顾[22]中的一些结果。对于0<T<∞ andFT改编的c`adl`ag流程X和X:okXkST：=E（补充0）≤T≤T | Xt |）o 为了0≤ t<t≤ T，WttX表示X在（T，T）ok（X，X）kST上的总变化：=kX+kST+k（X）-kST, 其中X+（分别为X）-) 是积极的（resp.）X的负部分（分别为X）。o让^Xt=max（Xt，Xt-),ˇXt=min（Xt，Xt-):k（X，X）kT:=supπEN-1Xi=0hE[^Xτi+1 |Fτi]-ˇXτii++h^Xτi- E[ˇXτi+1 | Fτi]i++ k（X，X）kstw其中，上确界接管所有停止时间分区π：0=τ≤ . . . ≤ τn=T。定义5.1。[22，第10页]之后，提出了一种与效率（或驱动因素）f（ω，t，v，z）相关的DRBSDE（全局）解决方案：Ohm ×[0，T]×R×R→ R、 FT可测量的终端值ΓT，以及相应的上下势垒L和U，是满足（Vt=ΓT+RTtf（s，Vs，ζs）ds的FT可测量过程的三重（V，ζ，K）-RTtζsdBs+KT- KtL≤ 五、≤ U、 [Vt]-- 书信电报-] dA+t=[Ut]-- 及物动词-] 爸爸-t=0（5.5），其中V是c`adl`ag，K是正交分解K:=a的有限变化过程+-A.-,和K（V，ζ，K）kT:=E“sup0≤T≤T | Vt|+ZT|ζt|dt+图克#< ∞.回顾上述等式（5.4）和（VT，ζT，KT）的性质，我们发现三重（VT，ζT，KT）是定义5.1意义上的DRBSDE（5.4）的解。此外，以引理4.3（Mokobodski的假设）和[22]的定理3.4为例，我们也知道（VT，ζT，KT）在这种情况下是（5.4）的模不可分辨唯一解。通过最优切换115.2求解有限时间范围Dynkin对策DRBSDE的解对时间范围的依赖性此后，我们只考虑带f的DRBSDE（5.5）的解≡ 0

让我们来看看∈ (0, ∞)让{Tn}n≥0 (0, ∞) 是单调递减到T:Tn的任意序列吗↓ T我们将[0，T]上的唯一解（V，ζ，K）扩展到[0，T]上的（5.5）到[0，T]上定义的唯一解（VT，ζT，KT），方法如下：∈ [0，T]，VTt:=Vt∧T、 ζTt:=ζT∧T{T≤T}，KTt≡ A+，Tt- A.-,Tt带A±，Tt:=A±t∧T（5.6）通过LTt定义相应的下部和上部屏障Lt和UTon[0，T]：∧坦杜特：=Ut∧T、 直接检查（VT，ζT，KT）是否是DRBSDE（VT=ΓT）的[0，T]上的唯一解-RTtζTsdBs+KTT- KTtLT≤ 及物动词≤ 美国犹他州，VTt-- LTt-dA+，Tt=乌特-- VTt-爸爸-,Tt=0（5.7），根据上述第5.1条定义。假设5.2。假设给我们一个序列{ΓTn}n≥0满足的随机变量：o每个Γtn都是可测量的oLTn≤ ΓTn≤ UTnoΓTn→ Γtaln肯定是→ ∞o 苏普≥0|ΓTn|∈ 请注意，最后两个条件意味着ΓTn→ ΓTin Las n→ ∞. 设（VTn，ζTn，KTn）表示DRBSDE（5.5）在[0，Tn]上的唯一溶液。然后，我们以与之前相同的方式（参见（5.6）-（5.7））将这些解决方案扩展到[0，T]，分别使用上下势垒LTN和UTn。我们继续写（VTn，ζTn，KTn）来表示这些扩展，以避免过度的表示法。定义δ（n）V:=（VTn- VT）和类似的其他情况。[22]的定理3.5证明了以下估计：E“sup0≤T≤Th |δ（n）Vt |+|δ（n）Kt | i+ZT |δ（n）ζt | dt#≤ CE[|δ（n）Γ|]+CE[|T |+|Tn |]+k（LTn，UTn）kT+k（LT，UT）kTE“sup0≤T≤Th |δ（n）Lt |+|δ（n）Ut | i#！（5.8）式中，C为正常数。5.3 Dynkin游戏的价值与时间的关系我们现在回到本节的主题，即展示T7→ VT在（0，∞).为此，必须证明，对于每一个T∈ (0, ∞) 和任意序列{Tn}n≥0 (0, ∞)满意的Tn→ T，那个VTn→ VT与VTn（分别为VT）表示（5.5）与f的唯一解≡ 0和时间范围[0，Tn]（分别为[0，T]），并且在通常的欧几里德意义下发生收敛。

我们通过展示T7进行辩论→ VT是（0，∞), 进一步注意到证明单音序列{Tn}n的序列收敛性是有效的≥0 (0, ∞). 我们只显示T 7→ VT是正确的，因为另一个案例也有类似的推理。用最优切换定理5.3求解有限时间视界Dynkin对策。让我们∈ (0, ∞) 任意和{Tn}n≥0 (0, ∞) 任何序列都令人满意吗↓ T让D0，T（·，·）（分别为D0，Tn（·，·））作为与地平线[0，T]（分别为[0，Tn]）的Dynkin游戏的报酬（5.1）。假设终端值Γ和{ΓTn}n≥0在这些相应的支付中，满足假设5.2。然后，让vt和{VTn}n≥0表示这些博弈的值（根据定理4.4存在），我们有limn→∞|VTn- VT |=0（5.9）和地图t7→ 因此，VT在（0，∞).证据从上面第5.2节的讨论中，我们可以断言存在一个正常数C，例如（参见（5.8））：|VTn- VT|≤ CE[|δ（n）Γ|]+CE[|T |+|Tn |]+k（LTn，UTn）kT+k（LT，UT）kTxE“sup0≤T≤Th |δ（n）Lt |+|δ（n）Ut | i#！（5.10）注意，自supn起，E[|Tn |]在n中一致有界≥0|ΓTn|∈ Lby假设5.2。[22]中的定理3.4验证了范数k（L，U）kT是有限的，不难看出k（LT，UT）kT≤ k（LTn，UTn）kT≤ k（L，U）kT表示每n。在（5.10）中使用这个表示我们有| VTn- VT|≤ CE[|δ（n）Γ|]+CE[|T |+supn≥0 | Tn |]+2k（L，U）kTxE“sup0≤T≤Th |δ（n）Lt |+|δ（n）Ut | i#！（5.11）和（5.11）的右侧是所有n≥ 我们有≤T≤Th |δ（n）Lt |+|δ（n）Ut | i=supT≤T≤Tn|书信电报- LT |+| Ut- UT|几乎可以肯定的是，当n→ ∞.

利用单调收敛定理和limn→∞根据假设5.2，E[|δ（n）Γ|]=0，传递到极限n→ ∞ 在（5.11）中≤ 林恩芬→∞|VTn- VT|≤ 林尚→∞|VTn- VT|≤ 下面是声明。6数字示例6。1可取消通话和put选项在本节中，我们使用与上文第5节相同的概率设置。我们假设一个无风险利率r>0且风险资产价格过程S=（St）t为常数的Black Scholesmarket≥0哪个满意度=SexpR-ρt+ρBt, T≥ 0（6.1），其中S>0和ρ>0是常数。到期日为T>0的标的资产上的买入（或卖出）期权是一种未定权益，它赋予持有人权利，但不是通过最优转换13来解决有限时间范围内的动态博弈，在到期日为T时以预定的执行价K买入（或卖出）资产。如果该期权为“美式”期权，则持有人可随时行使该权利∈ [0，T]。在时间τ行权时期权的支付效果G（Sτ）∈ [0，T]由G（Sτ）=（Sτ）给出- K） +对于看涨期权（K- Sτ）+对于看跌期权（6.2），期权的可取消（游戏）版本授予作者在到期时间0时取消期权的能力≤ σ<T。如果提交人决定行使这项权利，期权持有人将获得标准期权的报酬加上δ>0的额外金额，这是对提前终止合同的提交人的处罚。在时间0时，从作者到卖方的现金流的预期值由以下公式得出：D0，T（σ，τ）=EE-rσ（G（Sσ）+δ）1{σ<τ}{σ<T}+e-rτG（Sτ）1{τ≤σ}（6.3）合同持有人希望选择行使时间τ，以最大化支付。另一方面，作者希望通过选择适当的取消时间σ来最小化这种支付。

我们假设σ和τ是从T0，Tof停止时间中选择的。等式（6.3）是期权制定者和持有人之间的Dynkin博弈的报酬（尽管与上文（2.1）略有不同）。第3节中列出的假设可以在这个游戏中得到验证，对定理4.4的证明的检查表明，其结论对于支付（6.3）仍然有效。因此，可取消的看涨/看跌期权可以使用最优转换进行估值。6.2近似程序前提是我们另外得到一个整数0<M<∞ 一个递增的时间序列{tm}Mm=0 [0，T]满足T=0和tM=T。为每个tmandi设置^F={Ftm}Mm=0和∈ {0,1}，让^A（M）tm，i Atm，ibe控制的子类α=（τn，ιn）≥0其中每个τ包含{tm，…，tm}中的值，并满足P（{τn<T}∩ n的{τn=τn+1}）=0≥ 1.从模式i开始的辅助最优切换问题的离散时间近似∈ {0，1}attime Tm的形式与（2.6）类似（为了简单起见，ψ=ψ=0）：α∈^A（M）tm，i，^J（M）（α；tm，i）=EΓιN（α）-Xn≥1γιn-1，ιn（τn）1{τn<T}Ftm式中，ιN（α）是在控制α下切换到T之前的最后一个模式。[16]的结果表明存在^F适应序列^Y（M），i={^Y（M），im}Mm=0，i∈ {0,1}，由^Y（M）定义，iM=Γi，对于M=M- 1.0:^Y（M），im=maxj∈{0,1}n-γi，j（tm）+Eh^Y（M），jm+1Ftmio（6.4）使maxm∈{0，…，M}^Y（M），im∈ Land^Y（M），im=ess supα∈^A（M）tm，i^J（M）（α；tm，i）P-A.s.对于每个M=1，2，定义^V（M）={^V（M）M}Mm=0by^V（M）M:=^Y（M），1m-^Y（M），0，并重新校准定义2.3中给出的特定参数。回顾定理4.4，我们发现随机变量^V（M）mca可以用来近似连续时间动态过程的值，其payoff Dtm（·，·）（参见（2.1））。然而，对于^V（M），有一个更有效的反向归纳公式。对于m=m- 1.

、0和我∈ {0,1}将事件Cim和dim定义如下：Cim:=n^Y（M），im=Eh^Y（M），im+1FtmioDim:=n^Y（M），im=-γi，1-i（tm）+Eh^Y（M），1-im+1Ftmio（6.5）通过优化切换解决有限时间范围的Dynkin对策注意∪ Dim）=1表示每一个i∈ {0,1}和m=m- 1.0.不难验证（使用假设3.2和最优性参数——见[16]）P（Dm∩ Dm=0形式=M- 1.这导致：P- a、 s.，^Y（M），imD1-im=Eh^Y（M），im+1FtmiD1-im（6.6）^Y（M），1米-^Y（M），0m=（^Y（M），1m-^Y（M），0m）Xi=0Dim∩C1-im+1厘米∩厘米（6.7）使用^V（M）M=^Y（M），1m-^Y（M），0m，方程（6.6）和（6.7），事件CimandDim的定义（6.5），以及反向归纳公式（6.4），可以表明^V（M）满足：P-a.s.，^V（M），iM=Γ，对于M=M- 1.0：^V（M），im=minγ-麦克斯-γ+（tm），Eh^V（M），im+1Ftmi为了考虑指数贴现，假设报酬和成本尚未贴现，反向归纳公式应写成：^V（M），iM=Γ，对于M=M- 1.0：^V（M），im=minγ-麦克斯-γ+（tm），Ehe-r（tm+1）-tm）·V（M），im+1Ftmi（6.8）读者可以将反向归纳公式（6.8）与[11]的定理2.1中出现的公式进行比较。在马尔可夫环境下，最小二乘蒙特卡罗回归（LSMC）方法（第8章，第6节[6]）可用于数值近似（6.8）中的条件预期。6.3可取消看涨期权和看跌期权的数值结果我们现在给出可取消看涨期权和看跌期权的数值结果。采用LSMC算法的反向归纳公式（6.8）来实现这一效果，使用简单的2阶单项式来近似条件期望。