用最优切换法求解有限时域Dynkin对策

对于算法的每次运行，使用对偶采样和关系（^S=S^Sm+1=^Smexp）模拟几何布朗运动（6.1）的10000条采样路径{^Sm}Mm=0[r]-ρ] h+ρ√h·ξm+1, m=0，M- 其中h=tm是步长，{ξm}Mm=1是I.I.D.标准正态随机变量序列。该选项的值设置为100次算法运行结果的经验平均值。使用相同的模型参数对可取消的看涨期权和看跌期权进行估值。这些参数从[14，p.128]中获得，如下所示：r=0.06，ρ=0.4，K=100和δ=5。我们计算了有限时间范围内的期权价值，T=0.5×2q，q=0，8.初始现货价格∈ {60,140}，M=1000个时间步。6.3.1可撤销看涨期权的数值结果。下图1显示了S选项值的数值结果∈ {60, 140}. 实线显示有限期期权价值，虚线显示永久期权价值。使用从[4]中获得的以下公式计算后者：∞=（δSK，如果S∈ [0，K]S- K+δ，如果S∈ （K），∞)通过最优切换15求解有限时间视界Dynkin博弈图1：S的有限和有限时间视界可取消看涨期权值∈ {60, 140}.对于图1中所示的两种情况，最终视界选项值相对于时间视界T似乎是连续的。此外，在图1-（b）中，期权价值明显接近于永久期权的价值T→ ∞.6.3.2可撤销看跌期权的数值结果。图2:S的有限期和有限期可撤销看跌期权价值∈ {60, 140}.图2提供了可撤销看跌期权的类似图示。在这种情况下，永存值是使用从[15]中获得的以下公式计算的：i.δ≥ δ*: 五、∞= VAP（S）ii。

δ < δ*: 五、∞=K- S、 如果是∈ （0，k）*]（K）- K*)（Sk）*)-(γ-1） （SK）γ-（SK）-γ（k）*K） γ-（k）*（K）-γ+δ（SK）-(γ-1） （Sk）*)-γ-（Sk）*)γ（k）*K） γ-（k）*（K）-γ、 如果是∈ （k）*, K） δ（SK）-(2γ-1） ，如果∈ [K，∞)式中γ=rρ+，s7→ VAP（S）是永久美式看跌期权的时间0值，作为初始资产价格δ的函数*= VAP（K），andk*Kis将（0，1）中的解转化为以下等式：y2γ+2γ- 1 = 2γ1+δK通过最佳切换16解决有限时间视界Dynkin游戏对于感兴趣的读者，我们注意到δ*= VAP（100）u 30.3和k*u 69.9比1。这意味着V∞= K- S=60和V时∞= δ（SK）-(2γ-1） 当S=140时。t7的连续性→ 从图2可以得出与可撤销看涨期权类似的结论。7结论本文展示了如何利用双模最优切换问题的解在连续时间和有限时间范围内推导Dynkin博弈的解[0，T]。在某些假设下，Dynkin博弈的价值从t开始≥ 0存在且满足Vt=Yt- Yt，其中Yt和Yt分别是初始模式为1和0的最优切换问题的最优值。此外，（Yt）0≤T≤坦德（Yt）0≤T≤T（因此V=（Vt）0≤T≤T） 是正确的连续过程，并且可以使用适当的V初始次数构造Dynkin博弈的纳什均衡解。双反射随机微分方程的结果被用来证明博弈的值是时间范围参数T的连续函数。这一结果通过可取消看涨期权和看跌期权的数值实验得到证实。确认该研究得到了EPSRC拨款EP/K00557X/1的部分支持。作者要感谢他的博士生导师J.莫里亚蒂、同事T.德·安吉利斯、S。

哈马德·埃尼和阿洛瑟斯的评论导致了论文草稿的改进。参考文献[1]B.Djehiche，S.Hamad`ene和A.Popier，《有限时域最优多重切换问题》，暹罗控制与优化杂志，48（2009），第2751-2770页。[2] R.Dumitrescu，M.-c.Quenez和A.Sulem，《广义Dynkin游戏和带跳跃的双反射BSDE》，2014年10月，arXiv:1310.2764v2。[3] E.Ekstrom和G.Peskir，《马尔可夫过程的最优停止博弈》，SIAMJournal on Control and Optimization，47（2008），第684-702页。[4] E.Ekstrom和S.Villeneuve，关于最优停止博弈的价值，《应用概率年鉴》，16（2006），第1576-1596页。[5] N.El Karoui，《随机性控制的概率方面》，圣弗罗尔九世概率教育学院，1979年（1981年）。[6] P.Glasserman，《金融工程中的蒙特卡罗方法》，《随机建模与应用概率》第53卷，斯普林格纽约，纽约，纽约，2003年。[7] 郭和P.托梅切克，奇异控制和最优切换之间的联系，暹罗控制与优化杂志，47（2008），第421-443页。[8] S.Hamad`ene和M.Hassani，由布朗运动和泊松噪声驱动的具有两个反射屏障的BSDE和相关的Dynkin博弈，概率电子杂志，11（2006），第121-145页。通过最佳切换解决有限时间范围的Dynkin博弈17[9]S.Hamad`ene和M.Jeanblanc，关于启动和停止问题：可逆投资中的应用，运筹学数学，32（2007），第182-192页。[10] J.Jacod和A.N.Shiryaev，《随机过程的极限定理》，德国《数学研究》第288卷，施普林格-柏林海德堡，柏林，海德堡，2003年。[11] Y.Kifer，《博弈选择，金融与随机》，第4期（2000年），第443-463页。[12] M.科比兰斯基和M-C。

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