风险最小化和投资组合多样化

让我们从两张图中注意到，δ越大，无风险投资越高（对于δ=0.9，没有股票投资，所有投资组合都投资于无风险资产，这就是为什么在这种情况下，对数回报率的方差为零）。在图2a中，人们还可以观察到，由于市场波动性增加，无论δ是多少，都会对无风险资产进行更多投资。由于股票相关矩阵的结构，这种观察结果没有出现在图2b中。例5.5。在前面的两个例子中，说明δ的增加会导致更好的多元化投资组合。在本例中，我们希望更精确地研究这种影响。图3显示了由于相关约束而导致的无约束日志返回的方差减少百分比。这两张图都表明，随着δ的增加，方差的减少增加。虚线画出了50%的方差缩减，它截取了δ值较高的曲线，因为我们考虑了第二组数据中更不稳定的情况。无约束δ=0.1δ=0.5δ=0.90.10.20.30.4σ11-25-20-15-10-5π0（a）π*0，C对于第一组数据无约束δ=0.1δ=0.5δ=0.90.1 0.2 0.3 0.4σ11-12-10-8-6-4-2π0（b）π*0,C第二组数据的方差缩减率图2：无风险投资分数σ11=0.05σ11=0.1σ11=0.150.20.40.6 0.8 1.0δ204060801000方差缩减率（a）第一组数据的方差缩减率σ11=0.1σ11=0.3σ11=0.70.20.4 0.6 0.8 1.0δ204060801000方差缩减率（b）第二组数据的方差缩减率图3：方差缩减率6 Black-Scholes环境下的结论参数，分析推导出使风险资本最小化并与给定金融指数达到负规定相关性的最优投资组合。

此外，研究表明，在指数的特殊选择下，相关性约束会导致投资组合更加多样化（约束最优投资组合的最终方差低于最优无约束投资组合）。我们还展示了相关约束如何在市场下跌时减少方差并增加无风险投资。数值实验探索了相关性约束对最优投资组合构成的影响。7附录3.1命题的证明。分析分为两个阶段：首先在椭圆kσπk=ε的边界上找到最优投资组合向量，然后找到最优椭圆分离参数ε。让我们将最小化问题的优化域限制为椭圆边界，kσπk=ε，并在该集合上找到最优投资组合向量。因此，在第一步中，目标函数是：CaR（π，α，T）=-bπT+εT- zαε√T（7.1）我们必须使椭球体边界上的线性项bπ最大化，以得到该集合上的最小CaR值。由Cauchy-Schwarz不等式bπ=（σ）-1b）（σπ）≤σ-1bkσπk=σ-1bε. （7.2）对于σπ=εkσ，可以得到等式-1bkσ-1b这导致了最佳结果：π*ε=εkσ-1bk（σ）-1b。（7.3）将该投资组合的选择替换为（7.1）将导致：CaR（π*ε、 α，T）=εT- εTzα√T+σ-1b=εTε - 2.zα√T+σ-1b. （7.4）在ε中通过ε最小化*=zα√T+σ-1b+. （7.5）得出方程式（3.2）和（3.3）。定理4.1的证明。目标函数-bπT+kσπkT- zαkσπk√T是凸的，因为假设zα≤ 0.约束集δkσηkkσπk+πση≤ 0是凸集，是凸函数的水平集。

根据假设bη>0，该目标函数的全局最小值不在约束集中。因此，在边界上达到最小值，因此优化问题等价于tomin-bπT+kσπkT- zαkσπk√T以δkσηkkσπk+πση=0为准。（7.6）接下来，让我们介绍拉格朗日：L（π，λ）=-bπT+kσπkT- zαkσπk√T+λ（δkσηkkσπk+πση）。（7.7）拉格朗日函数在两个阶段中最小化：首先找到椭圆的最佳π，然后找到最佳椭圆参数。minπL（π，λ）=minε≥0minkσπk=εL（π，λ）=minε≥0minkσπk=ε-bπT+εT- zαε√T+λ（δkσηkε+πση）. （7.8）第一步必须解决：最大化[bπT- λησπ]受kσπk=ε的约束。（7.9）通过柯西-施瓦兹不等式，我们得到：bπT- λησσπ = (σ-10吨- λση)(σπ)≤σ-10吨- λσηε. （7.10）等式出现在σπε=εkσ处-10吨-λσηk（σ-10吨- λση），这导致：πε=εkσ-10吨- λσηk(σσ)-10吨- λη. （7.11）通过将（7.11）替换回（7.8），第二个最小化问题将简化为：minε≥0εT- zαε√T+λΔεkσηk- εσ-10吨- λση由ε求解*（λ） =Tzα√T- λδkσηk+σ-10吨- λση+. （7.12）最优投资组合为π*=ε*(λ*)kσ-10吨- λ*σηk(σσ)-10吨- λ*η, （7.13）式中λ*由λ导出*（δkσηkkσπ）*k+π*σση) = 0. （7.14）通过直接计算，这变成λ*kσηk- 2λ*kσηkbηT+T1- δ（bη）- δkσηkσ-1b= 0，（7.15），其正解为λ*=kσηkbηT+Tδ√1.- δqkσ-1bkkσηk- （bη）. (7.16)命题5.1的证明。根据定理4.1进行证明。考虑到波动率矩阵及其（5.1）的倒数，以及基准过程规定的投资组合向量，我们可以很容易地找到：kσηk=σ-1b. （7.17）bη=σ-1b. （7.18）qkσ-1bkkσηk- （bη）=σ-1bσ-1b- σ-1σσ-1b. （7.19）将这些等式代入π*λ*在定理4.1中，等式（5.5）和（5.6）产生。命题5.2的证明。

让我们用θ表示=σ-1b,θ=σ-1b- σ-1σσ-1b.直接计算得出：Var（对数Xπ*（T））=T“zα√T+qθ+θ+#. （7.20）Var（对数Xπc*（T））=T“zα√T+√1.- δθ- δθ+#. （7.21）根据不等式：qθ+θ≥√1.- δθ- Δθ，索赔产生。参考文献[Harry Markowitz]1。投资组合理论的基础。《金融杂志》，46（2）：469-4771991。[2] 达雷尔·杜菲和潘军。风险价值概述。《衍生品杂志》，4（3）：7-491997年。[3] 菲利普·乔里安。《风险价值：管理金融风险的新基准》，第2卷。麦格劳·希尔，纽约，2007年。[4] 普里西拉·塞尔瓦·恩基拉·甘布拉和特拉扬·阿德里安·皮尔沃。风险度量和投资组合优化。《风险与财务管理杂志》，7（3）：113-1292014。[5] 苏珊娜·埃默、克劳迪娅·克鲁佩尔伯格和拉尔夫·科恩。风险资本有限的最优投资组合。《数学金融》，11（4）：365–3842001。[6] 戈达娜·德米特拉·西诺维奇·维多维奇、阿里·拉里·拉瓦萨尼、李迅和安东尼·威尔。无卖空约束的风险资本下的动态投资组合选择。《国际理论与应用金融杂志》，14（06）：957-9771011。[7] Gordana Dmitraˇsinovi\'c-Vidovi\'c和Antony Ware。平均分位数有效投资组合的渐近行为。《金融与随机》，10（4）：529-5512006。[8] 卡罗尔·伯纳德和史蒂文·范杜夫。均值-方差最优投资组合，在基准测试中应用于欺诈检测。《欧洲运筹学杂志》，234（2）：469–480，2014年。