风险最小化和投资组合多样化

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英文标题：
《Risk minimization and portfolio diversification》
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作者：
Farzad Pourbabaee, Minsuk Kwak and Traian A. Pirvu
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We consider the problem of minimizing capital at risk in the Black-Scholes setting. The portfolio problem is studied given the possibility that a correlation constraint between the portfolio and a financial index is imposed. The optimal portfolio is obtained in closed form. The effects of the correlation constraint are explored; it turns out that this portfolio constraint leads to a more diversified portfolio.
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中文摘要：
我们考虑在Black-Scholes环境下最小化风险资本的问题。考虑到投资组合与金融指数之间存在相关性约束的可能性，研究了投资组合问题。以封闭形式得到最优投资组合。探讨了相关约束的影响；事实证明，这种投资组合约束导致投资组合更加多样化。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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PDF下载：
--> Risk_minimization_and_portfolio_diversification.pdf (535.82 KB)

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关键词：投资组合 多样化 Optimization Minimization Quantitative

风险最小化和投资组合多元化Farzad Pourbaee*Minsuk Kwak+Traian A.Pirvu2014年12月16日摘要我们考虑在Black Scholessetting中最小化风险资本的问题。考虑到投资组合和金融指数之间存在相关性约束的可能性，研究了投资组合问题。最优投资组合是以封闭形式得到的。探讨了相关约束的影响；事实证明，这种投资组合约束会导致投资组合更加多样化。1简介金融投资者有一个常识，即在满足某些风险约束的同时，使投资组合收益最大化。解决这个问题的均值-方差技术已经在[1]中开发出来。投资组合选择的目标是降低投资下行风险（该风险通过VaR等各种度量进行量化）。投资组合选择和风险管理中的这些概念产生了大量的文献，至今尚未发表。例如，风险价值的概念，即从投资组合收益的平均值中减去α分位数[2,3]，已经在[2,3]中进行了彻底的研究，结果证明，这有助于不一致的风险度量。引入Capital atrisk（CaR）是为了避免这个问题，它通过一个常数（它是根据无风险回报调整的VaR）与VaR不同。为了解决VaR的不足，引入了其他一些风险度量，如平均风险价值（AVaR）和有限预期损失（LEL）。这些类型的风险度量的分析公式，以及连续时间框架下的风险约束投资组合优化，见[4]。[5]对有界风险资本下的投资组合选择进行了深入探讨。在具有常数系数的BlackScholes环境下，他们得到了具有最大平均收益的最优投资组合的闭式解，该最优投资组合具有一个有界的CaR。

[5]中已经表明，当计划期限增加时，仅使用基于方差的度量会导致风险资产在投资组合中的比例降低，当使用CaR时，效果不受限制；这一论点支持在风险管理中使用汽车。[5] [6]中已扩展到不允许卖空限制。*麦克马斯特大学数学与统计系，地址：加拿大法扎德市汉密尔顿大街西1280号，L8S 4K1。pourbabaee@math.mcmaster.ca+麦克马斯特大学数学与统计系，地址：加拿大明斯克市汉密尔顿大街西1280号，L8S 4K1。kwak@gmail.com麦克马斯特大学数学与统计系，加拿大安大略省汉密尔顿市主街西1280号，L8S 4K1，tpirvu@math.mcmaster.ca[7] 在VaR受限的优化投资组合中表现出了违反直觉的行为，由于投资时间范围T的增加，CaR就业时不会出现影响。关于受相关性约束的投资组合选择的文献非常有限。这里我们只提到[8]。他们研究了存在与市场相关的随机基准时的均值-方差最优投资组合，并讨论了如何使用他们的方法来检测财务报告中的欺诈行为；例如，在某些情况下，人们不能声称夏普比率为正，而与市场指数呈负相关。本文以封闭形式给出了最小化CaR-inBlack-Scholes设置的最优投资组合，该投资组合受投资者投资组合与指数/目标过程（建模为几何布朗运动（GBM））之间的相关性约束。该指数/目标的一个可能选择是最佳增长组合（见[8]）。

在某些情况下，增加相关约束是有用的；例如，与指数/目标保持负相关将使我们能够在市场崩盘期间（即当市场指数大幅下跌时）更好地控制投资；在这种情况下，负相关性可以使我们的投资组合免于下跌。通过分析有约束和无约束投资组合选择问题的闭式解，我们注意到相关性约束导致投资组合更加多样化（我们使用方差作为多样化的度量）。本文的其余部分组织如下：在第2节中，我们介绍了市场模型，即我们对汽车的特殊概念。第3节简要重申了风险资本最小化问题。第四节研究了汽车最小欠相关约束问题。第5节考虑了一个特定的市场模型，后面是一些数值例子。本文在第6节得出结论。我们结果的证明被委托给附录。2.考虑概率空间(Ohm, {Ft}0≤T≤T、 P），它适应标准的多维布朗运动。在本文中，我们仅限于股票价格的年龄计量布朗运动模型。让我们考虑一个具有以下特征的金融市场模型：o在无摩擦的市场中，资产在有限的时间范围[0，T]内持续交易。o有一种无风险资产，用S（t）表示，其正恒定利率rdS（t）S（t）=rdt。（2.1）o有d个风险资产（股票），由d维布朗运动驱动：dSi（t）Si（t）=（r+bi）dt+dXi=1σijdWj（t），Si（0）=Si，i=1，d、 （2.2）这里，[σij]是平方波动率矩阵，我们假设它是可逆的，b=（b，…，bd）是每个风险资产的超额收益率向量，我们假设它为正设π=（π。

，πd）∈ Rd是投资者的投资组合向量，其中πi表示投资于股票i的总初始财富x的分数，该分数假定为常数。因此，π=1- 1π是投资于无风险债券的财富的分数。我们把注意力集中在恒定的比例上，这是时间不变的，这是易处理性所需的假设。不变的π并不意味着没有交易，因为需要不断地重新平衡投资组合，以使投资于各资产的部分随时间保持不变。财富过程的随机动力学方程是：dXπ（t）Xπ（t）=（r+bπ）dt+πσdW（t），Xπ（0）=X。（2.3）直接计算导致：Xπ（t）=xe[（r+bπ）-kσπk/2）T+πσW（T）]E（Xπ（T））=xe（r+bπ）TVar（Xπ（T））=xe2（r+bπ）TekσπkT- 1.Var（logxπ（T））=Tπσπ。为了保持可跟踪性，我们对对数回报（而不是算术回报）进行风险度量。众所周知，在小的时间范围内，这两种类型的回报彼此接近。让我们给汽车一个正式的定义。定义2.1（风险资本）。设zα为标准高斯分布的α分位数。固定投资组合向量π的CaR定义为对数无风险收益率和对数收益率的α分位数在[0，T]：q（x，π，α，T）=inf{z上的差异∈ R:P日志Xπ（T）Xπ（0）≤ Z≥ α} =（r+bπ）T-kσπkT+zαkσπk√TCaR（π，α，T）：=rT- q（x，π，α，T）=-bπT+kσπkT- zαkσπk√T（2.4）我们假设α<0.5，这意味着zα<0.3 CaR minimization CaR minimization CaR minimization首次在[5]中进行了探索，其中找到了在有界CaR约束下具有最大预期收益的投资组合的闭式解。接下来，让我们陈述一下这一部分的命题，即[5]中已经建立的投资组合算术回报。提议3.1。最小汽车组合，即Argminπ的解∈RdCaR（π，α，T）（3.1）是π*=zα√T+σ-1b+(σσ)-1bkσ-1bk。（3.2）更阴（π）*, α、 T）=-T“zα√T+σ-1b+#.

（3.3）证据。见附录。4相关性约束下的汽车最小化本节我们重点讨论相关性约束下的汽车最小化。也就是说，我们希望找到使CaR最小化的最佳投资组合，以及满足与另一个目标/指数投资组合的相关性约束。假设目标/指数投资组合动态由以下公式给出：dY（t）Y（t）=（r+bη）dt+ησdW（t），Y（0）=Y.（4.1）。此外，我们假设目标投资组合的超额收益率高于无风险利率，即bη>0，并强制要求X（t）andY（t）的对数值之间的相关性不超过负阈值。该条件表示为：Corr（logx（T），logy（T））≤ -δ、 δ在哪里≥ 0.（4.2）Y过程可以是任何金融指数或投资组合过程，其驱动因素与市场中的股票相同。过程的终端值之间的相关性以封闭形式存在：Corr（logx（T），logy（T））=π∑∑∑ηk∑∑πkk∑ηk.（4.3）。那么，在相关性约束下的风险最小化问题将是：minπ∈RdCaR（π，α，T）服从于Corr（logx（T），logy（T））≤ -δ.（4.4）相当于：minπ∈研发部-bπT+kσπkT- zαkσπk√T服从δkσηkkσπk+πση≤ 0.（4.5）负相关性的要求是出于可处理性的原因（它使优化问题凸化）。此外，它还有一个财务解释：在财务低迷时期，最好与市场投资组合负相关。由于问题的显式表述，可以用凸优化方法解析求解。下面的定理给出了本文的主要结果。定理4.1。求解（4.5）的最优投资组合为：π*=√1.- δzαkσηk√T+√1.- δqkσ-1bkkσηk- （bη）- δbη+Tqkσ-1bkkσηk- （bη）(σσ)-10吨- λ*η.（4.6）参数λ*由以下公式得出：λ*=kσηkbηT+Tδ√1.- δqkσ-1bkkσηk- （bη）.

（4.7）和car（π*, α、 （T）=-t2kσηk“zαkσηk√T+√1.- δqkσ-1bkkσηk- （bη）- δbη+#.（4.8）证据。见附录。备注4.2。（4.6）中的最优投资组合显示了一种两基金分离结构，第一部分类似于（3.2）中的解决方案，第二部分由相关性约束诱导。从闭式表达式可以看出，除非零投资组合是最优的，否则不等式相关约束总是约束λ*> 0，这意味着最优投资组合会一直推动自身，使其与目标投资组合的相关性等于-δ、 5.定价核逆作为基准组合本节我们研究目标/指数组合的特例。资产重组为两部分：投资者投资组合和目标/指数投资组合均可使用的共同基金，以及投资组合管理人可使用的一些额外风险资产（但不进入目标/指数投资组合的组成部分）。让我们将布朗运动向量分解为W（t）=（W（t）W（t）），其中第一个分量是m维的。此外，在不损失一般性的情况下，我们可以将波动率矩阵及其逆矩阵表示为：σ=σσσ, σ-1=σ-1.-σ-1σσ-1σ-1.. （5.1）这里σ和σ是平方m和d- m矩阵，σ和0分别是（d-m×m）和（m×d）-m） 分别是零矩阵。因此，股票有两种类型：第一种类型仅由W（t）驱动，第二种类型由布朗运动的两个分量驱动。根据上一节的设置，经理的投资组合表示为：dX（t）X（t）=（r+bπ）dt+ππσσσdW（t）dW（t）= （r+bπ）dt+（πσ+πσ）dW（t）+πσdW（t）。

（5.2）这里是π=ππ是投资组合向量，b=bb分别是第一类和第二类股票的超额回报向量。[8]之后，目标/指数投资组合被视为最优增长投资组合，在我们的设置中，它是定价核的逆。让我们再次强调，在构建市场投资组合时，只考虑第一类股票。因此，如果θ=σ-1b表示第一类股票风险的市场价格，定价核Z由dz（t）Z（t）给出-θdW（t）。（5.3）因此，目标/指数投资组合为Y（t）=Z（t）-1，满足SDE:dY（t）Y（t）=kθkdt+θdW（t）=σ-1bdt+（∑）-1b）σdW（t）。（5.4）让我们定义η=((σσ)-1b）作为目标/指数投资组合的关联投资组合向量。在这种情况下，定理4.1采用以下形式。提议5.1。使风险资本最小化并满足相关性约束的最优投资组合为：π*=√1.- δzα√T+√1.- δσ-1b- σ-1σσ-1b- δσ-1b+Tσ-1b- σ-1σσ-1b(σσ)-10吨- λ*η.（5.5）这里λ*由以下公式得出：λ*= T1+δσ-1b√1.- δσ-1b- σ-1σσ-1b!. （5.6）证据。见附录。这一命题的封闭式表达让我们能够探索相关性约束对投资组合多元化的影响。在下文中，由于相关性约束，建立了一个改进的投资组合多元化。为了区分命题3.1和定理4.1中的最优投资组合，从现在开始，具有相关约束的问题的最优变量将用下标“c”表示，如π*c、 让我们陈述结果。提议5.2。约束问题π的最优投资组合*cis比无约束问题π的最优投资组合更加多样化*. 也就是说sayVar（对数Xπ*（T）≥ Var（对数Xπ）*c（T））。（5.7）证据。见附录。

5.1市场下跌的多元化和风险控制作为我们的投资组合优化问题与相关性约束的一个应用，我们希望探索市场崩溃期间的多元化。为了能够追踪市场的跌势并便于解释，我们假设第一类股票只有一个布朗运动驱动的不确定性。然后，通过让足够大的σ值（在市场崩溃期间会发生），我们考虑最优投资组合（有约束和无约束）的渐近组成。直接计算得出：limσ→∞π*=zασ-1b√T+1+(σσ)-1b. （5.8）limσ→∞π*c=√1.- δzασ-1b√T+√1.- δ!+(σσ)-1b. （5.9）让我们注意到第一类股票在约束和非约束最优投资组合中的零投资。另一方面，相关性约束降低了对第二类股票的投资。考虑对数Xπ的渐近方差，也可以看出相关性约束的多样性好处*（T）和对数Xπ*c（T），计算为：limσ→∞Var（对数Xπ）*（T））=T“zα√T+σ-1b+#. （5.10）limσ→∞Var（对数Xπ）*c（T））=T“zα√T+√1.- δσ-1b+#. （5.11）5.2数值试验在本节中，我们考虑一些数值示例，以阐明通过施加相关性约束实现的投资组合多元化。在进行实验时，我们使用了[6]的市场数据。因此，市场由三种股票组成，其中一种是第一类股票。对于所有进行中的示例，我们认为股票收益率具有如下恒定标准偏差：γ=0.2，γ=0.25，γ=0.3示例5.3。在这里，我们重点探讨了市场资产波动性对对数回报率方差的影响。从股票的相关矩阵中，我们通过Cholesky分解找到相应的波动率矩阵（5.1）。

接下来，通过增加σ来跟踪对数回报差异的行为（这些被视为差异的度量）。研究了文献[6]中的两组相关矩阵和股票超额平均收益率：ρ（1）=1-0.6-0.8-0.6 1.0 0.5-0.8 0.5 1.0, b（1）=0.07 0.05 0.03（5.12）无约束δ=0.1δ=0.5δ=0.90.1 0.2 0.3 0.4σ110.51.01.52.02.53.0方差（a）第一组数据的方差无约束δ=0.1δ=0.5δ=0.90.1 0.2 0.3 0.4σ110.20.40.60.81.1方差（b）第二组数据的方差图1：对数回归方差ρ（2）=1-0.3 0.5-0.3 1.0 -0.90.5 -0.9 1.0, b（2）=0.03 0.05 0.07（5.13）在图1中，给出了这两组数据的对数回归方差图，其中针对相关阈值δ的三个不同值描绘了约束问题的两个相关图。请注意，每个地块中的最高曲线对应于无约束最优投资组合。所有图表都是针对时间范围T=5和置信水平α=0.05的固定值绘制的。δ对方差的影响值得一看；δ值越高，差异越大（方差越小）。极端情况可能会发生：请注意，对于图1中的δ=0.9，方差为零，这意味着纯无风险投资。这两个图都显示了约束与非约束最优投资组合的差异。例5.4。在这个例子中，我们说明了无风险资产的投资比例，即π，是如何随着市场波动率σ的增加而变化的。本文给出了（5.12）和（5.13）两组数据的结果。由于我们没有对借贷/卖空进行任何限制，在图2中的两个图中，在某些情况下，无风险投资的最佳比例出现负值。