拍卖的预算不平衡标准：一个形式化定理

假设X对于五元组（b，b，f，i，i）是足够的b′∈ 二十一∈domb′P（b′）- i） =f（b′）。然后p（kbk+{| b |}）=2+| dom b | f（{i，i}∪ 5 Vickrey拍卖的示例应用让我们考虑f=-f：我们称f（b）为投标b的最大值，一旦中标人的投标被取消。在这种情况下，选择任意b≥ 引理1，介电常数p（kbk+{| b |}）的最大（rng b）满足度hy pothesis（13）=-b2+| dom b |。（15） 让我们将其应用于两个特殊的r标向量：b:=（1，2，…，n，n+1，n+3）b:=（1，2，…，n，n+2，n+3）。我们得到f（b）+XiP（kb）- ik）（15）=（n+1）-（n+3）n+2（n+1）-n+1n+26=n+2-（n+3）n+2（n+1）-n+2n+2（15）=fB+XiPB- 我. （16） 因此，我们将（2）定义为引理1的一个应用。要做到这一点，我们必须为上面链的第一个等式应用引理1n+2次，为最后一个等式应用引理n+2次。这相当于对这些{i，j}×{n+3}施加了（5） Cn+3b-我-工作（j）=n+3i∈大教堂b-{j} （17）B-1{n+1，n+3}×{n+1} Cn+1b-B-1{n+1，n+3}（18）和集合上的n{i，j}×{n+3} Cn+3b-我-工作（j）=n+3i∈多姆-{j} （19）B-1{n+2，n+3}×{n+2} Cn+2b-B-分别为1{n+2，n+3}（20）。上面，我们已经用Cbba表示了b的固定、任意的b完全族。因此，（17）中集合族的并集，（19）中集合族的并集，（18）、（20）中集合族的并集，以及b、 b, 构成通缉组X：我们在施加（5）时存在矛盾。6适用于一般情况正式地，作为我们在第5节所做工作的第一步，我们将L emma 1应用于所有可能的b- 我出现在（5）中，得到了这里特征和的等式。下面的结果确实是这样的，并且是一个直接的同伦o-fLemma 2：推论1（lll68）。

假设我∈ b区有Jian和Xisuch thatji∈ domb\\{i}xi适合（b- {i，ji}，b（ji），f，i，ji）。也假设b′∈[西溪∈domb′P（kb′）- ik）=f（b′）。岑溪∈dom bP（{124; b- i |}）=| dom b | Xi∈dombf（domb×{b（ji）}）。（21）我们在第5节中非正式地做的是找到b，b，其中推论1适用于每一个，但映射η：i 7→ Fdomb×nb冀oη：i 7→ F多姆b×B冀享受以下特性：1。每个组件正好有两个值，分别称它们为v6=vand v6=v；2.在这四个值中，正好有两个相等，让我们说v=v，而v6=v；3.集合η-1.五、和η-1.五、重合：也就是说，η和η产生相同值的点完全相同。这些事实可以使用两个相同术语的出现，它们可以在表达式（16）中取消：为了清楚起见，它们被放在方括号中。这种取消是根本性的，因为它立即允许建立出现在那里的不平等。在f=f的情况下，找到这样的b带特别容易，但相同的机制适用于一般的f，导致两个sumsXi之间的相似抵消∈多姆bfdomb×nb冀o安德西∈dombf多姆布×B冀;这些总和中的每一个都是通过单独应用方程式（21）右侧的推论1得出的。为了正式确定上述列表中出现的要求（1）、（2）、（3），我们引入以下定义：定义2（反例）。议会b、 b，h是映射f的反例，如果domb=domb，并且有一个映射g，这样H:（domb）→ {f，g}{0}FB- f（b），gB- g（b）.这个定义被精确地修改为下面的引理，这是一个简单的算术陈述：引理3（lll69）。假设b、 b，h是f的反例，这是2≤ |多姆b|<+∞.

Thenf（b）-|domb | X（h（i））（b）6=fB-多姆X（h（i））B.反过来，上述引理最终可以与推论1结合成主要定理：定理1（tt01）。假设b、 b，h是f的反例，带2≤|多姆b|<+∞. 而且，假设我我∈ dom b这里有ji，Xi，ji，Xisatisfyingji∈ dom b\\{i}xi足以B-倪，jio，b冀, f、 我，吉Fdomb×nb冀o= (h(i)(b)吉∈ dom b\\{i}xi足以B-i、 冀,B冀, f、 我，吉F多姆布×B冀= （h（i））B.最后，假设b′∈[i]∈dom bXi∪XiXk∈domb′P（kb′）- kk）=f（b′）。Thenf（b）-xi∈dom bP（kb- ik）6=fB-xi∈dombPB- 我.7结论我们得出了一个描述不平衡拍卖机制的结果。理论和证据对我们来说都是新的，我们非正式地说明了证据背后的想法。在形式化方面，证明已在Isabelle/Holterm证明器中实现，这在本例中尤为重要，因为形式化所包含的内容是对任何新结果的重要可靠性验证。给定一类相当普遍的拍卖机制，我们的定理给出了显式条件，暗示了不平衡条件，从这个意义上说，它也可以被视为反向博弈论的结果。此外，我们的理论还明确地构造了一个不平衡条件成立的有限集：这可以在具体实现中加以利用，仅在已知的有限集上计算检查不平衡条件。证明和结果是新的，这一事实也为可能的推广和改进留下了许多途径。例如，假设（12）是为了简单起见，但也可以进行不那么直接的假设。

同样，定义2只是引理3所持的最简单的一个假设：有很多方法可以实现相同的结果，这可能导致对定理1的陈述中出现的不同最终要求。目前，ForMaRE正沿着这些轨迹研究其应用领域拍卖理论的进一步发展。参考文献[1]鲁杰罗·卡瓦洛。“浪费最少的最佳决策：VCG支付的无策略再分配”。摘自：《第五届自主智能体和多智能体系统国际联合会议论文集》。ACM。20 06，第882-889页。[2] Jean-Jacques La ffo nt和Eric Maskin。“主导战略机制的差异化方法”。《经济计量学》48.6（1980），第1507-1520页。[3] Christoph Lange、Marco B.Caminati、Manfred Kerber、Till Moss akowski、Colin Rowat、Makarius Wenzel和Wolfgang Windsteiger。“四个定理证明者对基本拍卖理论适用性的定性比较”。智能计算机数学：MKM、Calculemus、D ML、系统与项目2013。雅克·卡雷特、大卫·阿斯皮纳尔、克里斯托夫·兰格、彼得·索伊卡和沃尔夫冈·温斯泰格编著。《人工智能》课程讲稿7961。斯普林格出版社，2013年，第200-215页。[4] Christoph Lange、Colin Rowat和Manfred Kerber。“ForMaRE项目——经济学中的正式数学推理”。智能计算机数学。雅克·卡雷特、大卫·阿斯皮纳尔、克里斯托夫·兰格、彼得·索伊卡和沃尔夫冈·温斯泰格编著。LNCS 7961。斯普林格，2013年，第330-334页。arXiv:1303.4194[cs.CE]。[5] 埃里克·马斯金。“拍卖理论的统一：米尔格罗姆的大师班”。摘自：《经济文献杂志》42.4（2004），第1102-11页。网址：http://scholar。哈佛。edu/files/maskin/files/unity拍卖理论。pdf。[6] 保罗·米尔格罗姆。将行动理论付诸实践。丘吉尔主讲经济学。

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