配对交易规则的最优切换：粘性解方法

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英文标题：
《Optimal switching for pairs trading rule: a viscosity solutions approach》
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作者：
Minh Man Ngo and Huyen Pham
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  This paper studies the problem of determining the optimal cut-off for pairs trading rules. We consider two correlated assets whose spread is modelled by a mean-reverting process with stochastic volatility, and the optimal pair trading rule is formulated as an optimal switching problem between three regimes: flat position (no holding stocks), long one short the other and short one long the other. A fixed commission cost is charged with each transaction. We use a viscosity solutions approach to prove the existence and the explicit characterization of cut-off points via the resolution of quasi-algebraic equations. We illustrate our results by numerical simulations.
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中文摘要：
本文研究了配对交易规则的最优截止点的确定问题。我们考虑了两个相关资产，其利差由随机波动率的均值回复过程建模，最优配对交易规则被描述为三种状态之间的最优切换问题：平仓（无持有股票）、多空和多空。每笔交易都收取固定的佣金。我们使用粘性解的方法，通过对拟代数方程的解析，证明了截止点的存在性和显式特征。我们通过数值模拟来说明我们的结果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Optimal_switching_for_pairs_trading_rule:_a_viscosity_solutions_approach.pdf (550.55 KB)

2022-5-7 06:58:23 上传

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关键词：交易规则 Mathematical Quantitative mathematica Transaction

配对交易规则的最优切换：一种粘性解逼近方法，曼彻斯特国立大学霍志明市NGOJohn von Neumann（JVN）研究所。jvn的非ZF组织。埃杜。在巴黎第七大学迪德罗分校、CREST-ENSAE分校和JVN数学研究所，都有一个关于饮食可能性的报告。巴黎迪德罗大学。2014年12月25日摘要本文研究了配对交易规则的最优分割问题。我们考虑了两个相关资产，其利差由随机波动率的均值回复过程建模，最优配对交易规则被描述为三种状态之间的非最优切换问题：仓位（无持有股票）、做多做多和做多做多。每笔交易均收取固定佣金。我们使用粘性解的方法证明了存在性，并通过准代数方程的解析来明确刻画切点。我们通过数值模拟来说明我们的结果。关键词：配对交易，最优切换，均值回复过程，粘性解。理学硕士分类：60G40、49L25。JEL分类：C61，G11。1介绍成对交易包括同时在资产a和资产B中的一个中持有多头头寸，在另一个中持有空头头寸，以消除市场贝塔风险，并且只暴露于由价差决定的相对市场变动。埃尔曼[7]、维迪亚穆蒂[18]和埃利奥特（Elliott）、范德霍克（Vander Hoek）和马尔科姆（Malcom）[9]都有关于配对交易的简要历史和讨论。本文的主要目的是通过随机控制方法对这些规则进行数学推理，并找到最佳切割效果。近年来，人们用随机控制方法研究了配对交易问题。

Mudchanatongsuk、Primbs和Wong[13]考虑成对交易的自融资投资组合策略，通过OrnsteinUhlenbeck过程对一对股票价格之间的对数关系进行建模，并利用该过程制定投资组合优化，通过相应的Hamilton-JacobiBellman（HJB）方程以封闭形式获得该控制问题的最优解。它们只允许以相等的美元金额做空一只股票，做多另一只股票。Tourin和Yan[17]研究了同样的问题，但允许在每个股票中使用任意数量的策略。另一方面，与其使用自我融资策略，不如专注于确定最佳切分，即当利差存在时，交易区域的边界。这一问题与均值回复资产交易中的最优买卖规则密切相关。Zhang和Zhang[19]研究了最优买卖规则，他们通过Ornstein-Uhlenbeck过程对基础资产价格进行建模，并考虑由两种机制决定的最优交易规则：买卖。这些制度由两个阈值级别定义，每项交易收取一笔已执行的交付成本。他们使用经典验证方法来寻找值函数，作为相关HJB方程（准变量不等式）的解，并通过平滑技术获得最佳阈值。孔的博士论文[10]研究了同样的问题，但他从三个方面考虑了交易规则：买入、卖出和做空。Song和Zhang[16]使用相同的方法来确定最佳配对交易阈值，他们通过Ornstein-Uhlenbeck过程对A和B股票价格的差异进行建模，并考虑由两种机制确定的最佳配对交易规则：多头A空头B和流动头寸（无持有股票）。

Leungan和Li[11]研究了根据交易成本打开或关闭头寸的最佳时机，以及在Ornstein-Uhlenbeck（OU）模型下止损水平的影响。他们直接构造价值函数，而不是使用变分不等式方法，通过将价值函数描述为报酬函数的最小凹主函数。在本文中，我们考虑了宋和张[16]中的成对交易问题，但我们的模型设置和解决方法有所不同。我们考虑了两个相关资产，它们的扩散是由一个更一般的随机波动率均值回复过程建模的，最优对交易规则基于三种状态之间的最优切换：浮动（无持有股票）、多头和空头，反之亦然。每笔交易收取固定佣金成本。我们使用粘性解的方法来解决我们的最优切换问题。实际上，通过结合粘度解方法、平滑特性和Pham、Ly Vath和Zhou[15]中证明的粘度解的唯一性结果，我们能够直接推导出切换区域的结构，以及我们的值函数的形式。这与经典验证方法形成对比，在经典验证方法中，解决方案的结构应该是临时猜测的，并且必须检查它是否满足相应的HJB方程，这在两个以上区域的最佳切换情况下并非微不足道。论文的结构如下。在第2节中，我们将交易对描述为具有三个区域的非最优切换问题。在第3节中，我们陈述了由粘性意义下的值函数和对交易机制的定义所满足的变分不等式系统。

在第4节中，我们陈述了切换区域的一些有用性质，推导了值函数的形式，并通过依赖值函数的平滑特性获得了最佳切点。在第5节中，我们用数值例子来说明我们的结果。2对交易问题让我们考虑两个相关资产之间的利差X，比如A和B，由一个带边界的回复过程建模`-∈ {-∞, 0}和`+=∞:dXt=u（L- Xt）dt+σ（Xt）dWt，（2.1），其中W是平面上的标准布朗运动(Ohm, F、 F=（英尺）t≥0，P），u>0和L≥ 0是正常数，σ是上的Lipschitz函数(`-, `+), 满足非退化条件σ>0。SDE（2.1）在给定初始条件X=X的情况下，允许一个唯一的强解∈ (`-, `+), 表示为Xx。我们假设`+=∞ 是一个自然边界`-= -∞ 是一个自然边界`-= 0是无法实现的。主要的例子是Ornstein-Uhlenbeck（简称OU）过程或非均匀几何布朗运动（IGBM），将在下一节详细研究。假设投资者从两种资产的浮动头寸开始。当价差扩大到远离平衡点时，她自然会通过购买定价过低的资产，然后出售定价过高的资产来打开交易。接下来，如果价差缩小，她会关闭hertrades，从而产生利润。这种交易规则在实践中在对冲基金经理中非常流行，其切割值由描述性统计数据根据经验确定。本文的主要目的是通过随机控制方法对这些规则进行数学推理，并找到最佳效果。更准确地说，我们将配对交易问题描述为一个具有三个区域的最优切换问题。

让{-1,0,1}是一组机制，其中i=0对应于一个流动头寸（无持股），i=1表示一个多头头寸，对应于a的购买和B的出售，而i==-1是X的空头头寸（即卖出a，买入B）。在任何时候，投资者都可以通过从制度i=0转换为制度i=-1（开放出售）或i=1（开放购买）。此外，当投资者处于多头（i=1）或空头（i=-1） ，她可以通过切换到状态i=0来决定结束她的位置。我们还假设，投资者不可能直接从制度i=-1:i=1，反之亦然，但不首先关闭她的位置。投资者的交易策略由开关控制α=（τn，ιn）n建模≥0其中（τn）是代表交易时间的非递减停止时间序列，τn→ ∞ a、 当n变成in fi fity和ιnvaluedin时{-1,0,1}，Fτn-可测，表示在τn直到下一个交易时间确定的位置状态。通过误用符号，我们用αt表示任何时刻的状态值：αt=ι{0≤t<τ}+Xn≥0ιn{τn≤t<τn+1}，t≥ 0，这也表示任何时候差价中的存货价值。我们用gij（x）表示从头寸i转换到j，i，j时的交易收益∈ {-1,0,1}，j 6=i，对于一个扩展值x。开关增益函数由以下公式给出：g（x）=g-10（x）=-（x+ε）g0-1（x）=g（x）=x- ε、 其中ε>0是在每个交易时间支付的固定交易费用。注意，我们不考虑函数g-11和G因为不可能从制度i转换=-1 toi=1，反之亦然。

通过误用符号，我们还设置了g（x，i，j）=gij（x）。给定初始价差X=X，与转换交易策略相关的有限期限内的预期回报α=（τn，ιn）n≥0由增益函数J（x，α）=EhXn给出≥1e-ρτng（Xxτn，ατ）-n、 ατn）- λZ∞E-ρt |αt | dti。第一个（离散和）项对应于投资者通过成对交易策略获得的（贴现系数ρ>0贴现）累积收益，而最后一个积分项通过因子λ惩罚降低库存风险≥ 0，在交易时间间隔内持有的资产。对于i=0，-1，1，当最大化转换交易策略时，让videnote的值函数与初始位置i，即收益函数isvi（x）=supα∈AiJ（x，α），x∈ (`-, ∞), i=0，-1，1，其中切换控制的集合α=（τn，ιn）n≥0，初始位置为α-=i、 即τ=0，ι=i。不可能直接从状态i=±1切换到1通过限制位置i=±1:ifα的策略形式化∈ Aorα∈ A.-1然后ι=0，以确保投资者在开仓前必须先平仓。3 PDE表征在本文中，我们用L表示扩散过程x的最小生成元，即L~n（x）=u（L- x） ~n（x）+σ（x）~n（x）。二阶ρφ的常微分方程- Lφ=0，（3.1）有两个线性独立的正解。如果我们要求其中一个严格递增，另一个严格递减，这些解是唯一确定的（直到乘法）。我们用ψ+递增解表示，用ψ表示-逐渐减少的解决方案。它们被称为（3.1）的基本解，任何其他解都可以表示为它们的线性组合。自从`+=∞ 是一个自然边界`-∈ {-∞, 0}是一个自然的或不可达到的边界，我们有：ψ+(∞) = ψ-(`-) = ∞, ψ-(∞) = 0

（3.2）我们还将假设limx→`-xψ-（x） =0，limx→∞xψ+（x）=0。（3.3）典型示例满足上述假设的X融资的两个基本示例是oOrnstein-Uhlenbeck（OU）过程：dXt=-uXtdt+σdWt，（3.4）带有u，σ正常数。在本例中，`+=∞, `-= -∞ （3.1）的两个基本解由ψ+（x）=Z给出∞tρu-1exp-t+√2dt，ψ-（x） =Z∞tρu-1exp-T-√2dt，并且很容易检查条件（3.3）是否满足。o非均匀几何布朗运动（IGBM）：dXt=u（L- Xt）dt+σXtdWt，X>0，（3.5），其中u、L和σ为正常数。在本例中，`+=∞ 是一个自然边界`-= 0是一个不可达到的边界，（3.1）的两个基本解由ψ+（x）=x给出-aU（a，b，cx），ψ-（x） =x-aM（a、b、cx）。（3.6）式中=pσ+4（u+2ρ）σ+4u- （2u+σ）2σ>0，b=2uσ+2a+2，c=2uLσ，（3.7）以及M和U是第一类和第二类的有效超几何函数。此外，通过反超几何函数（见[1]）的渐近性质，基本解ψ+和ψ-满足条件（3.3），且ψ+（0+）=ca（3.8）。在本节中，我们用动态规划方法阐述了值函数的一些一般偏微分方程特征。我们首先陈述了值函数的线性增长性质和Lipschitz连续性。引理3.1存在一些正常数r（取决于σ），因此对于贴现因子ρ>r，值函数在r上是有限的。在这种情况下，我们有0≤ v（x）≤ C（1+| x |），n，十、∈ (`-, ∞),-λρ≤ 六（十）≤ C（1+| x |），n，十、∈ (`-, ∞), i=1，-1和| vi（x）- vi（y）|≤ C | x- y |，x、 y∈ (`-, ∞), i=0，1，-1，对于某些正常数C证明。考虑到无所事事的策略，vand viare的下界很小。让我们关注上限。

首先，通过使用It^o公式和Gronwall引理的标准参数，我们对微分X有以下估计：存在一些正常数r，取决于σ的Lipschitz常数，例如E | Xxt |≤ 证书（1+| x |），T≥ 0，（3.9）E | Xxt- Xyt|≤ ert|x- y |，T≥ 0，（3.10）对于某些正常数C，取决于ρ、L和u。接下来，对于与买卖或买卖策略相对应的两个连续交易时间τ和σn=τn+1，我们有：-ρτng（Xxτn，ατ）-n、 ατn）+e-ρσng（Xxσn，ασ-n、 ασn）i（3.11）≤Ehe-ρσnXxσn- E-ρτnXxτni≤ EhZσnτne-ρt（u+ρ）|Xxt | dti+EhZσnτne-ρtuLdti，其中第二个不等式来自^o公式。当投资者处于浮动状态（i=0）时，投资者可以在第一个交易时间进入状态i=1或i=-1，在第二个交易时间，她必须回到状态i=0。因此，威斯泰州i=0时的策略可以用有限对夫妇的组合来表示：买卖、买卖，例如：州0→ 1.→ 0→ -1.→ 0→ -1.→ 0→ 1.→ 0... 意思是：买和卖，卖和买，卖和买，买和卖，。。。。我们从（3.11）中推断，对于任何α∈ A、 J（x，α）≤ 呃∞E-ρt（u+ρ）|Xxt | dti+uLρ。回想一下，当投资者从多头或空头仓位（i=±1）开始时，她必须先平仓，然后再开仓，因此对于α∈ Aorα∈ A.-1，J（x，α）≤ |x |+EhZτe-ρt（u+ρ）|Xxt | dti+EhZτe-ρtuLdti+EhZ∞τe-ρt（u+ρ）|Xxt | dti+EhZ∞τe-ρtuLdti≤ |x |+EhZ∞E-ρt（u+ρ）|Xxt | dti+uLρ，使用估计值（3.9）证明了Vi的上限。

根据同样的论点，对于与买卖或买卖策略相对应的两个连续交易时间τnandσn=τn+1，我们有：-ρτng（Xxτn，ατ）-n、 ατn）+e-ρσng（Xxσn，ασ-n、 ασn）- E-ρτng（Xyτn，ατ）-n、 ατn）- E-ρσng（Xyσn，ασ-n、 ασn）i≤Ehe-ρσnXxσn- E-ρτnXxτn- E-ρσnXyσn+e-ρτnXyτni≤ EhZσnτne-ρt（u+ρ）|Xxt- Xyt | dti，其中第二个不等式来自它的^o公式。我们推断| vi（x）- vi（y）|≤ supα∈Ai | J（x，α）- J（y，α）|≤ |十、- y |+EhZ∞E-ρt（u+ρ）|Xxt- Xyt | dti，它证明了vi的Lipschitz性质，i=0，1，-1.使用估算值（3.10）。2在续集中，我们定义了一个贴现因子ρ>r，使价值函数得到了充分定义和确定，并满足引理3.1的线性增长和Lipschitz估计。因此，由值函数满足的动态规划方程由一组变分不等式给出：minρv- Lv，v- 最大值v+g，v-1+g0-1.= 0，开(`-, ∞), （3.12）分钟ρv- Lv+λ，v- 五、- G= 0，开(`-, ∞), （3.13）分钟ρv-1.- 吕-1+λ，v-1.- 五、- G-10= 0，开(`-, ∞). （3.14）事实上，Vm方程意味着，在制度0中，投资者可以选择保持浮动仓位，或在价差中以多头或空头仓位开仓，而vi方程，i=±1，意味着在制度i=±1中，她首先有义务平仓，因此在开仓前切换到制度0。