具有持续收入流的最佳数字产品维护

因此：ππ′=u-πP<u=RR′。这与推论3所示的结果一致，其中显然˙u≤ 0.动力学的右侧在x和u中都是平滑的。因此，从时间范围[0，T]上的任何起点开始，在x中有一条唯一的解曲线- 满足边界条件的u相空间。因此，假设你*是最优控制的形式，这条曲线是问题的唯一解。此外，请注意˙u<0。因此，u（0）>0和u（T）≥ 0，因为x（受其动力学约束）保持在区间[0，1]内，且所有参数均假定为非负。˙u<0这一事实表明，在最优性条件下，关注产品维护是一个单调递减函数。在R（u）和π（u）为线性的特定情况下，企业应始终在产品生命周期的开始阶段对产品维护提供最大的帮助，并随着时间的推移不断缩小维护工作量。推论4。假设x和u是状态和最优控制。然后：x（u）=C-CPαπu+2Cαu，（14）式中：~C=x（T）+CPαπu（T）-2Cαu（T）。（15） 也就是说，x在u型曲线中呈二次变化。从推论3中给出的微分方程组中，我们可以将x单独表示为u的函数。注：˙x˙u=dxdu=-2Cαπ（pu- π) . （16） 积分方程（16）得出状态变量作为控制函数的表达式：x（u）=C-CPαπu+2Cαu其中C是积分常数。我们有一个表达式f或u（T）：u（T）=αx（T）+βPρx（T）（1）- x（T））2c因此，我们可以解方程15中给出的C。推论5。假设最优控制由表达式13给出。以下其中一项完全成立：1。u（0）>π/P，u（T）≥ π/P和x（T）≥ x（0）和市场份额呈单调增长。2.

u（0）>π/P，u（T）<π/P和市场份额先增加后减少，x（T）和x（0）之间的最终关系由u（T）和u（0）之间的关系决定。u（0）≤ π/P和x（T）≤ x（0）和市场份额单调下降。证据u中x的闭环表达式（方程式14）在u=P/π时最大化。因此，如果u（0）>P/π，随着u减小到P/π，x值以二次（单调）方式增加。在这一点上，x开始减少ifu下降到P/π以下。（示例见第4节。）从推论4和推论5中，我们可以描述三种不同市场条件下产品维护的最优路径。我们将在第4节中说明这些路径。在下一节中，我们将展示通用模型的效率条件。3.3. 对于这一节，设f（V，u）=π（u）和H（V，u，λ）为问题8的哈密顿量，并将其转化为极小化问题：H=-R（u）1+A经验(-[23,24,22,25,26,27,28,29]中广泛讨论了最优控制问题的V）+Cu+λπ（u）充分条件，以及（矩阵）Riccative方程的有界性，该方程源于一个辅助最小化问题[23,29]：-˙S=HV V+2fVS- （HuV+fuS）H-1US（T）=-ψV | t=t当V和λ解Euler-Lagrange方程时，假设引理2中的条件满足，区间[0，t]足以确保确定的最优控制为（弱）局部最大值。注意我们有-ψV V | t=比ψV V | t=Tas更重要的是，我们已将其转换为一个极小化问题。在这种情况下，我们可以回到状态x（而不是V）的公式，并为u开发一套完整的必要和有效条件*tobe a（弱局部）最优控制，因为在没有u（t）的闭合形式表达式的情况下，很难确定方程2中的未知参数。

首先注意：˙x=π（u）x（1- x） 从方程4中我们推断：˙λ=R（u）x（1- x） 因为R的符号在目标函数中发生了变化。注：λ现在为负，并且随着符号变化而增加（与引理1相反）。从方程7中，我们推断：˙u=（R′（u）π（u）- π′（u）R（u））x（1- x） 2C- R′（u）x+λπ′（u）。这产生了与之前相同的˙u符号标准（这是预期的），但现在˙u表示为原始状态x和变换问题的共状态λ。根据x、u和λ重写Riccati方程得到：˙S=R（u）（1）- 2x）x（1）- x） +（R′（u）x（1）- 十）- π′（u）S）2C- R′（u）x+λπ′（u）。最后，我们可以计算-ψV | t=x（t）的Tin项：- ψV|t=t=（ψ′（x（t））（2x（t）- 1) - ψ′′（x（T））x（T）（1）- x（T）））x（T）（1- x（T））。最后，我们得出以下结论：命题2。假设x*, U*, λ*和S*求解下列微分方程组：˙x=π（u）x（1- x） ，˙λ=R（u）x（1）- x） ，˙u=（R′（u）π（u）- π′（u）R（u））x（1- x） 2C- R′（u）x+λπ′（u），˙S=R（u）（1）- 2x）x（1）- x） +（R′（u）x（1）- 十）- π′（u）S）2C- R′（u）x+λπ′（u），x（0）=x，λ（T）=-ψ′（x（T））x（T）（1）- x（T）），2Cu（T）=R′（u（T））x（T）- λ（T）π′（u（T）），S（T）=-ψV | t=t，（17）S在区间[0，t]上是有界的，并且一直是t∈ [0，T]和u（T）满足定点条件：2Cu（T）=R′（u（T））x（T）- λ（t）π′（u（t））。然后（x）*, U*) 是问题1的（弱局部）最优状态和控制。证据If（x）*, U*, λ*, s*) 是一个解，那么对应的V*λ*对于修改后的原始问题，必须满足Euler-Lagrange方程。假装你*满足固定点属性确保其解Hu=0，当Huu>0时，这意味着哈密顿量最小化。

从[23,22]中，S在[0,T]上有界的事实足以确保（x*, U*) 是一个弱的局部最优状态/控制解，因为引理2的必要条件是满足的。虽然很难用封闭形式证明这一点，但一般来说，这并不是不合理的，因为钻机的右手侧在其组成未知中是光滑的，但必须检查这一点以确保最优。如第3.2节所述，条件命题2实质上简化了线性情况。推导过程是直接的，省略了空格。4.线性情况的数值示例我们将第3节中我们的模型获得的理论结果与不产生简单理论分析的更复杂模型进行比较。目的是展示在更复杂的情况下更简单的modelhold的经验法则。特别是，我们在目标函数中添加了折扣系数，以更准确地反映货币的时间价值。我们还考虑了创新系数A>0的更复杂的通用Bass模型[18,19,20,21]。由此产生的最优控制问题如下：中兴通讯-rt[αux- Cu]dts。t、 ˙x=β（A（1- x） +x（1）- x） ）（π（u）- π） ut>0，x∈ [0,1]，x（0）=x（18）为了简单起见，我们设置ρ≡ 0，以便在维护期结束时，相关公司不会明确关注市场份额。其余参数的取值如下：T=4；α = 2; β = 0.5; π= 0.5; P=1；r=0.05；C=1；A=0.05；我们将这些图分为推论5中所示的三种情况。每个案例代表着不同的星级市场份额；我们发现，产品维护的最佳控制路径在很大程度上取决于x。在图1中，我们看到了Corollar y 5案例1下的产品维护和企业市场份额的最佳控制路径。

在这一市场份额水平上，可以保持相对较高的图1维护水平：x=0.5的市场条件使收入最大化。市场份额在产品生命周期内单调增加，尽管产品维护随着时间的推移而减少，这符合雷曼第七定律。案例1代表的是一个拥有巨大、固定市场份额的供应商。凭借对维护的大力投入，该公司能够在整个产品生命周期内确保更多的市场份额。图2:x=0.3的市场条件在图2中，我们看到推论5案例2下的企业维护和市场份额的OPT ima控制路径。当x=0.3时，严格维护产品不再有利；因此，在产品生命周期内，市场份额单调下降。案例2代表了一家市场份额较小的供应商，他们希望在不产生高成本的情况下实现收入最大化。在我们的模式中，这家公司获得市场份额的成本太高。相反，该公司在市场份额恶化之前利用短期利润。与案例1相比，案例2中每个时间点的维护效率都要低得多。图3:x=0.4的市场条件在图3中，我们看到了推论5的案例3中企业产品维护和市场份额的最佳控制路径。由于数字样本对初始值敏感，xof降低10%有助于改善最优控制路径和市场份额行为。每次都很少关注维护。市场份额先上升，达到峰值，然后下降。从推论5中，我们知道当nu=πP时达到峰值。与第一种情况不同，供应商没有动力维持必要的维护效果或持续的市场增长。在这种情况下，产品维护的重点介于案例1和案例2.5之间。

结论和未来方向在本文中，我们提出了一个简约的最优控制问题来模拟企业在软件开发和分销过程中的动态决策过程。我们研究了在数字市场中运营时，市场份额和产品维护之间的关系。我们的理论分析表明，市场份额行为可以被描述为产品维护投入和特定条件的函数；尽管在产品生命周期内，市场份额可能会增加或减少，但只要产品的感知价值高于某个阈值，维护效率就应该始终降低。这一发现独立于初始条件和期末市场份额的残值，为雷曼的软件演化第七定律提供了分析基础。为了帮助可视化我们的发现，当维护工作量总是随着时间的推移而减少时，我们使用了线性大小写的数字示例。这些数字澄清强调了不同市场条件下的不同最优控制路径。正如预期的那样，初始市场份额和产品维护成本在供应商的决策过程中起着关键作用。我们的理论结果既支持贴现，也支持创新系数。对于未来的工作，确定最优性的充分条件是否可以进一步简化，或者这个问题是否本质上难以确定所导出的必要条件的解决方案的可行性，这将是有益的。其他模型扩展将包括将市场份额纳入生产成本C或考虑更一般的收入函数R（u，x）。

在一个更基本的流行病模型中考虑市场份额增加的问题也很有趣。我们还希望通过在数字市场环境下分析多个Evendors的案例来扩展我们的研究。其他公司的加入增加了竞争，将模型的动态从最优控制问题转变为不同的博弈，因为每家公司必须在每次t时考虑所有其他公司的行动。我们希望更好地理解我们的结果在这种博弈论环境中是如何维持的。另一种研究途径是将同行评议反馈参数化，将其作为一个内生变量，企业可以通过营销和产品维护进行影响。这将增加模型的丰富性，并可能有助于更好地拟合经验数据，但代价是更简洁的模型。参考文献[1]苹果新闻信息，苹果-新闻信息-苹果报告第一季度结果（2014年）。统一资源定位地址https://www.apple.com/pr/library/2014/01/27Apple-Reports-First-Quarter-Results.html[2] M.Lehman，J.Ramil，P.Wernick，D.Perry，W.Turski，《软件演化的度量与规律——九十年代的观点》，第四届国际软件度量研讨会论文集（第四届国际软件度量研讨会）。内政部：10.1109/公制。1997.637156.[3] R.W.Wolverton，《开发大规模软件的成本》，计算机，C-23（6）（1974）615–636上的IEEE交易。内政部：10.1109/T-C.1974.224002。[4] F.Zahedi，N.Ashra fi，基于结构、效用、价格和成本的软件可靠性分配，IEEE软件工程交易17（4）（1991）345–356。内政部：10.1109/32.90434。[5] J.C.Munson，《软件测量：问题和实践》，软件工程年鉴1（1）（1995）255-285。内政部：10.1007/BF02249053。[6] K.Johari，A.Kaur，《软件演化对软件度量的影响》，载于：ACM SIGSOFT软件工程注释，2011年第36卷，第1页。内政部：10.1145/2020976.2020987。[7] N。