具有持续收入流的最佳数字产品维护

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英文标题：
《Optimal Digital Product Maintenance with a Continuous Revenue Stream》
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作者：
James Fan and Christopher Griffin
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We use a control framework to analyze the digital vendor\'s profit maximization problem. The vendor captures market share by focusing costly effort on post-launch product maintenance, which influences user perception of the product and drives a revenue stream associated with product use. Our theoretical results show necessary and sufficient conditions for product maintenance to decline over a product\'s life-cycle, thus showing conditions when Lehman\'s 7th law of software evolution holds. We also numerically illustrate control paths under different market conditions.
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中文摘要：
我们使用一个控制框架来分析数字供应商的利润最大化问题。供应商通过将成本高昂的工作重点放在产品发布后的维护上来获取市场份额，这会影响用户对产品的感知，并推动与产品使用相关的收入流。我们的理论结果显示了产品维护在产品生命周期内下降的充分必要条件，从而显示了雷曼第七软件进化定律成立的条件。我们还用数字说明了不同市场条件下的控制路径。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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PDF下载：
--> Optimal_Digital_Product_Maintenance_with_a_Continuous_Revenue_Stream.pdf (265.61 KB)

2022-5-7 07:09:51 上传

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关键词：Quantitative maximization Applications Optimization Maintenance

具有连续收入流的最佳数字产品维护James Fana，Christopher Griffi nbaSmeal商业学院，宾夕法尼亚州立大学公园，邮编16802，电子邮件：jamesfan@psu.edubMathematics马里兰州安纳波利斯美国海军学院教育部，邮编：21402，电子邮件：Griffixnch@ieee.orgAbstractWe使用控制框架分析数字供应商的利润最大化问题。供应商通过将成本效益集中在产品发布后的维护上来获取市场份额，这会影响用户对产品的感知，并推动与产品使用相关的收入流。我们的理论结果显示了产品维护在产品生命周期内下降的必要和充分条件，从而显示了莱曼软件进化第七定律成立的条件。我们还对不同市场条件下的控制路径进行了数值说明。1.简介软件应用的数字分销平台代表了一个巨大且不断增长的产品分销环境。这是一个软件供应商面临独特利益和挑战的环境。例如，由于软件质量在发布后可能会发生变化，FirmScan希望通过关注产品维护来最大化市场份额。高度重视维护；然而，保持这种奉献精神是昂贵的，而且随着时间的推移，回报率会不断下降。因此，开发人员必须平衡当前和未来的支出成本，以最大限度地提高产品生命周期的收益。我们认为这个问题现在尤其重要，因为数字分销平台（如iTunes、Goog lePlay、Steam）已经彻底改变了消费者购买数字产品的方式，如音乐、移动应用程序和提交给运筹学信函2018年9月18日的视频预印本。

这些平台也是一个重要的宣传场所；例如，仅在2014年第一季度，苹果iTunes的收入就超过了40亿美元[1]。虽然数字市场代表着潜在销售的巨大机遇，但希望从数字分销软件中获得最大收益的企业必须首先了解数字市场及其特殊挑战。在本文中，我们对通过数字媒体（如在线商店）交付的产品（如软件）的维护资源分配问题进行了建模。我们假设该产品在其生命周期内（例如，数字订阅模式）提供持续的收益，并且该公司不仅在总利润中拥有既得利益，而且在总的寿命终止市场份额中也拥有既得利益。特别是，这一市场份额可能决定其下一个产品发布的净初始收入。我们将这一问题建模为一个优化控制问题，其中产品维护（例如版本缺陷、小改进等）的影响不仅影响收入流，还影响消费者的消费。我们的理论和数字发现表明，在生产维护边际成本增加的情况下，只要产品的预期质量达到一定阈值，企业就应该在产品的整个生命周期内稳定地降低对维护的关注。这些结果得到了已有的软件进化文献的支持；因此，我们的模型为雷曼兄弟的软件进化第七定律提供了分析基础，该定律指出，“E型系统的质量似乎会下降，除非严格维护并适应运行环境的变化”[2]。

该定律在文献中常被称为“质量下降”定律。本文的主要贡献是：（i）我们使用数字产品维护的简约最优控制模型，为一般条件下的Lehman软件进化第七定律提供分析基础；（ii）我们证明了该模型的结构导致了一组关于最优控制的简化必要条件，以及（iii）我们使用这些简化必要条件来推导企业的分析结果和规则。最后，（iv）我们将这些结果与矩阵Riccati方程结合起来，推导出具有边界条件的微分方程系统形式的优化的必要和有效条件。2.相关工作建模自20世纪70年代以来，大型软件系统的开发一直是一个研究领域[3]。自90年代初以来，包括成本在内的软件可靠性模型也在文献[4]中进行了研究。甚至在现代数字生态系统出现之前，在过去二十年中，数字分发已经成为软件工程和管理科学的热门研究课题。本文研究了软件产品上市维护的最优策略，以实现企业收益最大化；因此，我们的研究处于软件工程和运筹学的交叉点。因此，在本节中，我们将重点介绍与本文相关的两种文献流，以及我们对文献的贡献。在软件工程文献中，随着时间的推移，软件系统的质量受到了极大的关注。莱曼的开创性工作提出了软件进化的八条定律，这些定律一直是严格的实证研究[2]的主题。例如，Munson指出，为软件度量开发度量标准是软件工程[5]中的一个关键元素。

作者提出了软件故障的精确定义，作为衡量软件系统质量下降的一种手段，并为第七定律提供了实证支持。其他研究也为传统软件设置[6][7][8][9]和移动应用程序设置[10]中的质量下降规律找到了实证支持。据我们所知，我们的论文首次为经常被观察到的第七定律提供了分析支持。在运营管理（OM）文献中，优化控制模型已被用于研究软件开发[11]、软件系统的增强和寿命[12]以及开源开发[13]。动态优化问题也被用于合作广告研究（[14,15]），该研究在不同的博弈中研究两个企业之间的战略互动。我们的论文使用控制理论来研究上市后产品维护的最佳路径，以最大限度地提高企业利润。我们的关键发现为一个经过充分研究的软件演化经验定律提供了分析支持。3.模型和分析结果我们考虑单个企业在数字分销平台上销售产品。市场份额根据下文所述的维持中介谣言传播模型而变化。该公司的目标是通过控制产品维护（而不是开发新产品或新版本）所需的时间，在产品上市后的生命周期内最大限度地提高市场份额和利润。定义：R+→ [0, ∞) 是时间的单值函数，它捕获了与维护高质量产品相关的所有影响，ut=0表示对产品维护没有影响。让我们来看看∈ [0,1]表示在时间t时采用供应商产品的用户比例，即在时间t时企业的比例市场份额。为便于注释，我们删除下标t。

我们首先考虑企业面临的更一般的控制问题，然后提供一个具体的例子，其中包含收入流R（u）的线性函数和产品维护π（u）的值函数。3.1。一般情况下，公司的最优控制问题是：最大ψ（x（T））+ZTR（u）x- Cudts。t、 ˙x=π（u）x（1）- x） x（0）=x>0，u≥ 0（1）我们假设x（t），u（t）∈ L[0，∞) 我们还要求u（t）几乎在任何地方都是可区分的。我们将在[16]的等式3中找到˙u的光滑表达式。在一般形式中，R（u）表示收入流作为u的函数，我们假设R（u）是递增的、凹的、二次微分的、非负的。R（u）的单位为美元，按市场份额比例计算。常数C是产品维护的成本系数，因此成本是维护效率的二次方。在我们的背景下，这说明了随着一家公司在产品上投入更多的时间和人力，资源的边际成本不断增加。这被证明是数字商品中合理的建模假设（见[17]）。函数ψ（x（T））是终端时间T的市场份额残值；i、 例如，公司对该产品的报废市场份额的重视程度。我们假设ψ在x（T）中是可微的、凹的、单调递增的。状态动力学由修正的巴斯方程[18,19,20,21]给出，在这种情况下，该方程是谣言传播的逻辑模型，由副产品质量介导。这里，π（u）是u的函数值，表示用户从产品中获得的效用相对于次优选项。在我们的模型中，π（u）控制着运动方程的符号——只有当用户喜欢某个产品而不是下一个最佳替代品时，它才能体验到市场的增长。增加π，我们假设u是凹的。

为了得到分析结果，我们使用变量的变化来简化模型。根据运动方程，我们得到：dxx（1- x） =π（u）dt。假设右手边对be:V（t）=Zπ（u（t））dt的形式反导数。我们可以将状态变量重写为：x=1+A exp(-V），（2）其中exp(-V）=e-五、 andA=eV1- xx>0是由x和V（0）=V确定的积分常数。这允许我们重写作为V（T）函数的ψ：ψ（V（T））=ψ1+A经验(-V（T））.这个函数在V（T）中是单调的，因此我们对ψ的假设是伪凹的。方程式1现在可以写成修正后的问题：最大ψ1+A经验(-V（T））+ZTR（u）1+A经验(-V）- Cudts。t、 ˙V=π（u）V（0）=V，u≥ 0.（3）继续之前，请注意：1。假设R（u）是递增的和凹的。2.1/（1+A经验）(-V）正在增加。3.π（u）是一个递增和凹的假设。4.-Cuis凹面。因为R（u）是递增的，而且ui是对称的，所以我们可以安全地忽略控制约束u≥ 0.我们在方程式6（如下）中表明，这一假设是正确的。修正后的最优控制问题的哈密顿量f为：H=R（u）1+A exp(-V）- Cu+λπ（u），其中λ是共态e。共态e动力学必须满足：dλdt=-HV=-经验(-V）R（u）（A exp(-V）+1）=-R（u）x（1）- x） ，（4）且横截性条件要求：λ（T）=ψ′1+A经验(-V（T））经验(-V（T））（1+A exp(-V（T））=ψ′（x（T））x（T）（1）- 因为：x（1- x） =经验(-V）（1+A经验(-V））。（5） 然而，请注意，这是以V表示的共态，以x表示。由于R（u）>0，最终时间值λ（T）为正，λ的时间导数严格为负。因此我们有：引理1。一直以来≥ 0时，共态λ为正态且递减。哈密顿量在控制u中（严格地）是凹的，因此我们有：引理2。有什么解决办法吗*Hu=0满足必要条件：1。胡=0和2。

Huu<0，强Legendre-Clebsch条件，因此，它在所有时间都使哈密顿量最大化。引理2中的两个条件以及V*（十）*, 分别）λ*求解由此产生的欧拉-拉格朗日两点边值问题，形成最优控制问题的一整套必要条件。当我们增加相应的Riccati方程在[0，T]上有界的附加要求时，这些条件构成了弱局部最大最优控制器的充分条件[22]。我们将在第3.3节中讨论这一有效条件。给出了最优控制问题的必要条件，研究了Hu=0的解。Hu=0的解得到隐式方程：u（t）=2CR′（u（t））A exp(-V（t））+1+λ（t）π′（u（t））=2C（R′（u（t））x（t）+λ（t）π′（u（t））（6）我们还注意到*（t）≥ 因为R′（u），π′（u）>0。因此，我们假设忽略约束u≥ 0现在是正确的。命题1。假设你*是最优控制问题的解决方案。那么，产品维护（即美国*) 当且仅当if:π（u）>π′（u）R（u）R′（u）时是递减的。证据将方程6与t进行微分，并用V（见方程4）代替˙λ的值得出：˙u=AeV（π（u）R′（u）- R（u）π′（u））（A+eV）（（A+eV）（2C）- λ（t）π′（u））- eVR′（u））（7）通过假设π′（u），R′（u）>0和π′（u），R′（u）<0。因此，方程式7的分母始终为正。分子为正当且仅当：π（u）R′（u）- R（u）π′（u）>0<==> π（u）>π′（u）R（u）R′（u）命题1指出，如果产品的估值超过由R（u）、R′（u）和π′（u）之间的关系确定的阈值，那么对产品维护的关注就会减少。

也就是说，当消费者重视简单化时，我们使用了ATM。如果企业的产品高于下一个最佳替代方案，超过某个阈值，则减少对产品维护的关注符合企业的最佳利益。这在实践中经常被观察到，当市场上的一种产品被确定为最佳选择时。减少产品维护实际上是企业的首选策略，因为感知产品价值是一个更高的门槛。命题1还提供了一个通用的分析结果，以支持雷曼的第七软件进化定律。由于严格维护和适应操作环境变化的成本高昂，数字产品的质量似乎随着时间的推移而下降。这并不是说实际产品质量必须随着时间的推移而降低，因为可能无法开发下一个产品迭代。在下一节中，我们将研究当R（u）和π（u）是线性的，说明在这个假设下u总是递减的情况。线性情况也允许我们导出最优控制的更简单形式。3.2. 线性case假设R（u）和π（u）是线性的，形式为R（u）=αu和π（u）=β·（pu）- π） ，其中β>0是市场份额变化的系数。假设ψ（x（T））=ρx（T），对于ρ≥ 0，根据需要为非递减和凹形。f或β值越大，市场份额的变化越大。公司的最优控制问题可以改写为：最大αT（ZTρ）+ux- Cudts。t、 ˙x=β·x（1- x） （P u）- π） x（0）=x，u≥ 0.（8）现在，π>0是用户从下一个最佳替代方案中得出的显式值，假设在产品的生命周期中是恒定的。在变量变化下：dVdt=βP u- βπ.而方程2仍然适用于x的V。

利用这些信息，我们可以简化方程8:ZTαux的修正问题目标函数中的积分- Cudt=ZTαu1+A exp(-V）- Cudt=ZTαβP1+A exp(-V）dV+απP1+A exp(-V）- Cudt=αβPlog（A+exp（V））|T+ZTαπP1+A exp(-V）- 库特。简化的最优控制问题的废品值为：△ψ（V（T））=ρ1+A exp(-V（T））+αβPlog（A+exp（V（T）））。（9） 这个简单问题的修正哈密顿量是：H=απP1+A exp(-V）- Cu+λβ（pu- π).引理2中讨论的必要条件仍然成立。因此，求解hu=0会导致表达式：u≡βP2Cλ。（10） 由于微分方程的欧拉-拉格朗日系统是必要条件，我们知道状态和共状态必须满足：˙V=（βP）2Cλ- βπ,˙λ = -απPA exp(-V）（1+A经验(-V））。（11） 利用这些方程，我们现在可以找到一个简单的微分方程组，控制u和原始状态变量x，这必然会被最优控制问题的任何解决方案所满足。推论3。方程8的最优状态和控制必然满足以下两点边值问题：˙x=βx（1- x） （P u）- π） ˙u=-αβπ2Cx（1）- x） x（0）=xu（T）=2C（αx（T）+βPρx（T）（1）- x（T）））。（12） 证据。给出了系统的状态动力学和初始条件。将方程11的结果代入方程10，利用方程5，我们得到˙u:˙u=-βP2CαπPA exp(-V）（1+A经验(-V））=-αβπ2Cx（1）- x） 。（13） 将方程9与V进行差分并构造横截性条件得到：λ（T）=ρA exp(-V（T））（1+A exp(-V（T））+αβP1+A exp(-V（T））=ρx（T）（1）- x（T））+αβPx（T）。用λ（T）和方程10求解u（T）得到：u（T）=2C（βPρx（T）（1- x（T））+αx（T））。这就完成了证明。很明显，在线性情况下，˙u应该减小，因为π′（u）=Pand R′（u）=α。