最小化退休时破产的概率

如果被最小化的表达式具有已知的形式，那么寻找α（·）将通过微积分来处理。然而，V（·）和VR（·）的封闭式表达式不太可能出现。为了克服这个问题，我们对0的α和RF（t）维进行离散化≤ α ≤ 1和RF（t）>0，生成与非基于模拟的最优解的数值近似。通过提高离散化精度，用户可以获得任意精度的近似。（12） （11c）（11a）（11b）I.沿α和RF（t）维离散定义α{·}和R{·}作为离散精度Pα和PRalongtheα和RF（t）维分别产生的集合，最大RF（t）=RFMax t、 也就是说，α{·}={0，1/Pα，2/Pα，…，1-（1/Pα），1}R{·}={1/PR，2/PR，3/PR，…，RFMax-（1/PR），RFMax}。沿着破产因子维度，集合R{·}中的每个值（>1/PR）将作为围绕其构造的abucket的中点。每个RF（t）>0映射到（PR）*RFMax+1个桶中的一个，最后一个桶包含所有破产因子>RFMax+1/（2PR）。（见图4。）图4正破产因子维度的划分（9）和（12）中提出的DPs不太可能呈现封闭形式的解决方案，因为用于模型市场回报的RVs CDF通常没有封闭函数形式。为了实现这些DPs，我们对α和RF（t）的连续维数进行了分解。离散化α很简单，但离散化RF（t）更为复杂。在这幅图中，我们展示了给定破产因子精度PRandmaximum破产因子RFMax的RF（t）离散化策略。离散化是连续的（没有间隙）。当离散DP实现需要单RF（t）值时，我们将使用桶中点。由于存储桶是连续的（没有间隙），因此该解决方案提供了allRF（t）>0的覆盖范围。

对于（t，i/PR），i=1,2,3，…（PR）*RFMax，以及对于RF（t）>RFMax+1/（2PR）的V（t，RF（t））=1，导出了值函数V（·）和VR（·）。作为公关→∞ 桶体塌陷到中点，沿RF（t）维的离散化接近连续解。我们通过以与桶边界一致的方式离散（t+1，α）+的概率分布来处理条件期望。在时间t，考虑到RF（t+1）>0完全由CDFof（t+1，α）确定，RF（t+1）落入桶i的概率，i=1，2，…（PR）*RFMax，（PR）*RFMax+1。落入任何桶中的概率精确地为P（c（t+1））=P（RF（t+1）>0）（13a）（13b），这也由（t+1，α）的CDF决定。（9）和（12）中对（t+1，α）+的期望值变成V（t+1，RF（t+1））和VR（t+1，RF（t+1））的值乘以适当的离散条件概率的总和（见附录E）。设Vd（t，RF（t））和αd（t，RF（t））分别表示（9）中V（·）和α（·）的离散化版本。那么，Vd（t，i/PR）=Min∈1-（1-F（t+1，α）（i/PR））*（1-∑PJ*五、T1，j/P*)为了0≤ T≤ TD-1，i=1,2,3，…（PR）*RFMax，w/B.C.的Vd（TD，RF（TD））=0RF（TD）>0，对于RF（t）>RFMax+1/（2PR），Vd（t，RF（t））=1。给，PJ表示桶中的P（RF（t+1）|j（t+1，α）>RF（t））具有最佳=αd（t，RF（t））。用户可以选择Pα和PR，在任何编程语言中解决该DP。该代码在（t，RF（t））维度上的网格上运行（见图5）。对这个DP进行编码的一个基本（但效率低下）策略是从菱形开始，按照箭头，然后在正方形结束。Vd（·）和αd（·）的值被导出并保留在网格中的每个单元格中。如图所示，（9）中的V（·）展示了t和RF（t）维度的结构。给定RF（t），V（·）随t减小，给定t，V（·）随RF（t）增大。

辩护是间接的。假设一个单位的时间过去了，RF（t）并没有改变，但V（t，RF（t））增加了。如前所述，时间t的实际账户余额为（$A）*RF（0）/RF（t）。因此，t+1时的实际账户余额等于t时的实际账户余额，但P（破产）增加了。这是一个矛盾。类似地，假设在时间t，RF（t）<RF（t），但V（t，RF（t））>V（t，RF（t））。这也是两个投资组合的矛盾之处（$a）*RF（0）/RF（t）>（$a）*RF（0）/RF（t）和WR=RF（0）。V（·）和VR（·）是最优的，因为在给定WR的情况下，没有替代策略可以使用相同的股票/债券产生较低的RP（破产）。离散DP是最优策略的数值近似，其实现需要大量的CPU，尤其是对于较大的Pα和PR。一般来说，较大的Pα会减少P（破产），而较大的Pα会证明近似的准确性。（14） 图5按破产因子网格编码为时间的离散化DP（9）中的离散化DP在（14）中给出，可直接扩展到（12）中的随机TDM模型。我们可以使用多种策略解决这些DPs，但通常倾向于处理时间较短的解决方案。图中显示了一个基本但低效的策略。在这里，我们的代码将迭代时间和RF（t）维度，从菱形开始，到正方形结束。图中显示了最终取款的时间、破产因子精度和DP的价值函数V（·）。三、 固定和随机TDN的实现我们使用（14）中的技术对固定TDin（9）的DP进行编码，Pα=1000，PR=5000，RFMax=2.75，ER={0.5%，0.0%}。在这种离散化下，每个时间t都有13751个RF（t）BucketSexister。我们将时间单位设置为年，TD=30，得到一个由426281个单元组成的图5网格，其中填充了（V，α）。每年，退休人员都会计算RF（t），将其分配到一个Bucket上，并咨询网格。

V（·）的值反映了在任何未来时间点，使用资产配置α，直到t=tD的最优（最小）P（破产）。请注意，DPs要求在当前和所有反映最优原则的未来时间点遵循最优策略。为了便于DP编码，我们必须对股票/债券收益进行分配假设。A.分配假设在本分析中，我们分别使用历史年度标准普尔500指数总回报率、10年期国债总回报率和1928-2013年的CPI-U来代表股票回报率、债券回报率和通货膨胀率。我们隐含地假设，未来股票/债券收益来源于与过去收益相同的基本概率分布，并且考虑了N=86年的历史收益。在对通货膨胀进行调整后，我们发现股票和债券的实际总回报率是来自基本正态分布的随机样本，其（u，σ）分别为（0.0825,0.2007）和（0.0214,0.0834）。此外，每次t时，这些收益之间都存在ρ=0.04387的小正相关关系（见附录F）。（9）和（12）中的模型没有对资产类别收益的基本分布进行假设。唯一的要求是，相关股票/债券收益的凸组合的尾部概率已知，或者可以在集合α{·}上的Bucket边界处模拟/近似。一旦选择了pr，桶边界是固定的和已知的，因此可以对尾部概率进行预处理。数组引用将替换代码中的CDF函数调用。此外，桶中点处的CDF调用可以由平均边界CDF概率代替，而不会影响离散DP收敛到其连续对应点。在这个实现中，我们假设股票/债券回报率随时间变化为iid，但不需要相同分布假设。

用户可以在均值和方差随时间变化的情况下应用预测。此外，我们的模型假设有两个资产类别，但如果可以获得多个资产类别（可能相关）回报的线性组合CDF，这也可以放松。可能需要巧妙的编码来保持运行时的合理性，因为优化将超过每个（t，RF（t））的α。B.固定TDP的离散DP结果第三节中描述的固定TDP的离散DP实现在426281个单元和46个单元的网格中填充（V，α），如图6所示。这里，V是未来任何时间点的最小P（破产），α是所需的股票比例。由于RF（0）=WR，时间t=0表明初始WR的最优P（破产）介于3.5%和4.5%之间，以及第一年的最优所需α。值得注意的是，4%的通货膨胀调整后的WRER=0.5%在股票中产生的最佳P（破产）为0.065（成功率=93.5%），起始α为41.4%。图6使用费用比ER=0.5%选择离散实施单元该图显示了426281单元优化解决方案中46个单元的样本，用于（固定）TD=30年、Pα=1000、PR=5000和ER=0.5%。我们在时间t=0时，使用WR=RF（0）的单元中的资产分配（α）开始优化策略。对于标准形式的退休人员，第一次提款发生在时间t=1，最后一次提款发生在时间t=TD=30。每次t时，退休人员都会尝试退出，如果成功更新了SF（t），则会咨询网格以获得新的最优值（α）。在时间t时，最优P（破产（>t））是随时间变化的V。三条路径为阴影，表示可能通过网格的路径（即下滑路径）。当我们的投资组合表现良好时，RF（t）下降，我们向左跟踪。当表现不佳时，RF（t）增加，我们向右跟踪。

当TD=30时，第一个和最后一个α决策分别在时间t=0和t=29。第一次和最后一次提款时间分别为t=1和t=30。为了便于说明，图6中有三条路径用阴影表示。如果退休人员最初使用4%的回报率，RF（t）会随着时间的推移而降低，退休人员会沿着一条可能与路径1类似的路径向前走。稳定的回报率接近于零，导致RF（t）恒定，退休人员的路径可能类似于路径2。不利回报增加RF（t），退休人员可以沿着路径3向右跟踪。如路径1和2所示，P（破产）在有利/稳定市场中下降，α下降。因此，路径1和路径2大致遵循TDF基金中使用的下滑路径策略，该策略一直延续到退休日期。然而，路径3表明，在不利市场中，最优股权配置大致保持不变或增加。这与研究人员的发现是一致的，他们警告说，退休早期的回报序列很差。参见Cohen等人（2010年），以及Pfau和Kitches（2014年）。请注意，如果第一年的通货膨胀/费用调整回报率为1.799%，则当RF（0）=0.040时，四舍五入的RF（1）=0.041。图7显示了ER=0.0%的结果。使用4%初始WRis0的最优P（破产）。043（成功率=95.7%），股票的起始α为36.8%。股票在有利市场中减少，在不利市场中增加，这一模式同样适用。95岁。7%的成功率适用于任何同意在任何时间点采取最佳行动的退休人员。图7使用无费用比率（ER=0.0%）选择离散实施单元该图显示的信息与图6相同，只是针对ER=0.0%的解决方案。

在无支出比率的情况下，时间t=0的破产概率（V）较低，资产配置（α）也较低，这是预期的。图6和图7中的网格适用于使用任何初始WR的所有退休人员。如果两个退休人员在时间t开始时间t=0时，具有不同的回报，在时间t结束时，具有相同的RF（t），那么他们的回报以及（V，α）在退休的剩余时间内是相同的。这也意味着他们将在交叉点后通过网格绘制出正确的同一路线图，而在分析中不起作用。这一结论背后的直觉是，退休人员必须经历可避免的回报，并在交叉点之前绘制一条向左的路径。在绘制这条向左的路径时，退休人员积累了足够的财富，以支持更大规模的提款。然而，我们在此不评估此类交叉口发生的可能性。B.1解的数值精度我们通过将PR5000加倍到10000来评估数值近似的精度。这种离散化每次创建27501个桶，在图5grid中创建852531个总单元。该溶液与图7（ER=0.0%）具有直接可比性。较大的PRP（破产）和α变化不大，但从实际意义上讲，使用PR=5000的结果比使用TD=30时的结果更合适。（见表一）表I PR=5000 vs.PR=10000，ER=0.0%时的V和α比较该表比较了PR=5000 vs.PR=10000的模型在t=0时的最小破产概率Vd（0，RF（0））和最优资产配置αd（0，RF（0）），使用3个提取率（WR）。这里，PRis-theRF（t）离散化精度。当我们对（9）和（12）中的DPs进行离散化时，pr值越高，数值近似越精确，但也会导致更长的运行时间。我们表明，将PR5000翻一番到10000，几乎没有什么好处。

当α精度为Pα=1000时，使用PR=5000的最佳解决方案有426281个总单元，使用PR=10000的最佳解决方案有852531个总单元。时间（t）RF（t）（=WR）Vd（0，RF（0））[αd（0，RF（0））]PR=5000apr=100000 0.035 0.01638[0.314]0.01637[0.314]0 0.040 0 0.04252[0.368]0.04251[0.368]0.045 0.08455[0.445]0.08454[0.445]aFrom图7，t=0行。B.2次优策略的后果我们通过将其与次优策略进行比较，评估（9）中的模型及其在第三节BB中的实施的实际价值。具有α的固定投资组合∈ {0.00,0.25,0.50,0.75,1.00}在第III-A节所述相同假设下考虑，TD=30，ER=0.0%，WR=4%。当α是固定的时，可以使用模拟来估计P（破产），或者可以对每个α分别求解|α{·}|=1的dp。每个单元的最小值超过一个α，v（0，0.04）表示使用该策略的P（破产）的数值近似值。结果根据图7中的V（0,0.04）进行评估。α=0.50的投资组合产生的P（破产）最低，成功率为91.5%，而最优策略下的成功率为95.7%。（见表二。）表II使用固定α策略的可比P（破产）该表列出了各种固定资产配置（α）策略使用TD=30年、ER=0.0%和WR=4%的P（破产）值。这些破产概率与图7中的破产概率直接可比。我们可以使用模拟或带有单个α的DP生成这些概率。两种方法都被使用，结果显示几乎相同。我们的目的是展示最佳固定α策略和最优策略之间P（破产）的差异。最佳固定α为α=0.5，相应的P（破产）=0.0850（成功率=91.5%）。我们在图7中看到，最优策略的成功率为95.7%。

因此，使用次优固定α策略的结果是接受P（破产）的加倍。修正了α{·}={α}b0的α模拟。00 0.3851 0.38500.25 0.1204 0.12040.50 0.0850 0.08510.75 0.1070 0.10701.00 0.1461 0.1460aN=250万/模拟BPR=5000最优和次优P（破产）值之间的差值随TD增加。例如，使用TD=50、ER=0.0%和WR=4%时，固定α=0.75会产生0.217（成功率=78.3%）的最低破产点，而使用PR=10000和Pα=1000得出的最佳策略会产生0.137（成功率=86.3%）的P（破产点）。B.3算法可伸缩性t k=TD，M=Pα，N=RFMax*PR。离散DP算法在（14）个尺度下的运行时间为O（k*M*N）。这是因为图5网格中的一行中的每个单元格都需要一个expectedvalue计算，该计算在下一个时间点访问N个单元格，这是针对k行中所有N个单元格的M AssetLocation进行的。因此，在没有删减或并行处理的情况下，第III-B.1节中的实现比第III-B节中的实现的运行时间长4倍（因为k和M没有改变，但N是2倍）。然而，我们可以在代码中实现显著且可扩展的效率（参见附录H）。C.多个退休人员的随机TD模型将多人单位（MPU）定义为一个集合退休基金并在每个时间点将系统性提款分配给幸存成员的群体。MPU在活动时进行swithDraws，在至少一个成员活动时进行活动。由于使用了系统性提款，因此可能会发生破产。通用MPU由K个女性和L个男性组成。Letfi和Mj分别代表雌性i和雄性j的剩余寿命。

在MPuRetrient开始时，Fi和Mj是独立的离散RVs，具有已知的PMF和：TD=max{F，…，Fi，…，FK，M，…，Mj，…，ML}让FTD（·）和FTD（·）分别代表TD的CDF和PMF。离散时间危险概率P（TD=t | TD≥ t） 当t=0，1，2，…，Smax的fTD（-1）=0时，可导出为fTD（t）/[1-fTD（t-1）]。PMF被构造为fTD（t）=fTD（t）-fTD（t-1），CDF是通过识别集合的最大值小于或等于给定值（如果集合的所有成员小于或等于该值）来构建的。即TD≤ T<->   max{F，…，Fi，…，FK，M，…，Mj，…，ML}≤ T<->   （F）≤ （t）∩ … ∩ （FK）≤ （t）∩ （M）≤ （t）∩ … ∩ （MK≤ （t）→    FTD（t）=P（TD）≤ t） =P（F）≤ t） *…*P（FK）≤ t） *P（M）≤ t） *…*P（MK）≤ t） 。（16c）中的个体RHS概率源自已发布的SSA生命表，随机TDM模型通过将MPU视为具有已知危险概率的个体来求解。该解决方案是一种最佳的减计数策略，MPU可以选择WRBY，然后首先确定其期望的成功率。请注意，第III-C.1节中的同龄M/F夫妇分析是K+L=2（K=L=1）的特例MPU。我们在这里提出的随机TDM模型的一个风险是，危险概率可能会过时，导致解决方案过时。假设一个MPU成立，在第一年有几个成员出人意料地死亡。该MPU将具有与用于构建最优策略的概率显著不同的剩余风险概率，并且应重新运行优化。这同样适用于一对夫妇，其中一名成员在退休时提前去世。随着K+L的增加，风险降低，这意味着夫妻最容易暴露。它们也是最容易调整的。简单地将活着的成员转移到为该性别的单身退休人员在适当的时间点开始求解的随机TDM模型。