一种新的自由期权定价模型

我们在第6节中给出的数值实验表明，在某些情况下，该模型准确地解决了问题。4数字实现在实践中，我们没有为每次罢工提供欧式期权价格，因此我们无法准确了解边际分布。此外，对于某些到期日，交易的流动产品数量可能非常少，以至于期权价格的任何插值都会包含额外的误差。为了避免在模型中引入额外的估计误差，并且只使用市场给出的信息，我们用代表普通期权价值计算的约束替换了边际分布的约束。考虑到上述观察结果，我们构造了以下问题supfzrnh（x）df（x）s.t.ZRn（xi- kji）+d F（s）≤\'\'Cji，i=1，n、 j=1。，mjZRn（xi）- kji）+d F（s）≥ Cji，i=1，n、 j=1。，mjZRnφi（s）d F（s）≤△i，i=1，NφZRnφi（s）df（s）≥δi，i=1，NφZRnz≤s|k≤y（z，y，s）（xk+1）- xk）df（s）=0，（y，z∈ Rk，k<n）（18）ZRn1d F（s）=1，F≥ 0，其中（kji）mij=1是市场上可用的欧洲看涨期权的价格，（`Cji）mij=1和（Cji）mij=1是它们各自的市场价格界限（买入价），mij是此类期权的数量。除了看涨期权或看跌期权，我们可能会观察市场上的其他期权。让它们具有支付函数φi（s）和买卖价格δi和δi，i=1，Nφ。对于每一个额外的观察选项，我们都增加了2个不平等约束。注意，代表看涨期权价格的约束符合我们的模型（函数是分段线性的）。为了使鞅约束与我们的模型兼容，我们通过要求（10）只保留我们选择的有限多个框来近似它们。我们对每个ti的股价XI施加上下限，i=1，。。。，N

0代表一个自然的下限，而对于上限，我们可以取一个足够大的值，使股价在统计上不太可能超过。我们还确保罢工被包括在我们的离散化中。设0=di<di<···<dnii为Xi的离散点集。表示Φ：=s:迪≤ xi≤ dnii，（i=1，…，n）.然后，k=1的鞅约束是zrn{x∈注册护士：djii≤xi≤Dlii，（i=1，…，k）}（s）（xk+1）-xk）df（s）=0，（1≤ 冀≤ l我≤ 镍，i） 。因此，对于每个k，我们有Mk：=∏ki=1（ni- 1） 等式约束，用分段线性函数表示为积分不等式。我们发现，在离散化之后，我们的所有约束都符合第3.2节所述的模型。此外，如果支付函数h（s）和φi（s），i=1，Nφ是分段线性的（看跌/看涨或二元障碍期权、亚式期权、回望期权等），然后我们可以解决第3.2节所述的对偶问题。如果支付函数h（s）是凹的（对于实现差的选项），那么我们可以用我们的方法找到上界，如果它是凸的，我们可以找到下界。对于所有其他情况，我们必须进行近似，例如一阶泰勒近似。现在我们可以把对偶问题写成：infy，y，z，z，t，wn∑i=1ni∑j=1（\'yji\'Cji）- yjiCji）+Mφ∑i=1（\'zi\'δi）- ziδi）+ws。t、 n∑i=1ni∑j=1（`yji- yji）（xi）- Kji）+Mφ∑i=1（\'zi- zi）φi（s）+n-1.∑k=1∑τ∈Ikpτ≤s|k≤pτ+1（s）（xk+1）- xk）+w≥ h（s），s∈ Φ.感兴趣的读者可以在第二作者的DPhil论文[8]中找到解决上述优化问题的有效算法。由于线性优化问题的规模随着维数的增加而迅速增长，内存开销成为一个重要问题。对于这种情况，有必要实现simplexalgorithm的延迟列生成方法。

他用单纯形算法迭代生成整列，而用单纯形算法生成整列。在实践中，为了获得理想精度的最佳解决方案，不需要考虑所有列。此外，由于大量迭代只在少量列上工作，因此该方法不使用辅助内存，在节省时间方面具有很大优势。无套利定价通常被用作识别套利机会的一种手段。假设某个收益为h（s）的路径依赖期权在价格为hM的市场上交易。通过实现我们对该期权的模型，我们发现没有套利边界[L，U]。如果嗯/∈ [L，U]，然后市场中存在套利（双重问题也提供了在这种情况下无风险赚钱的策略，但我们不会在这项工作中详细介绍，感兴趣的读者可以参考[1]）。因此，我们通常感兴趣的是确定对于给定的hM，L<hM<U。为此，关于Nesterov算法在线性优化问题中的实现的详细描述见[8]。备注3注意，根据对股票行为的额外假设，可以在模型中引入额外的约束。例如，很容易包含股票波动性的下限和/或上限。5.分段线性函数的收益在本节中，我们描述分段线性函数的不同收益。显然，看涨期权和看跌期权属于这一类。5.1屏障选项对于给定的上下屏障B<B（如果仅为一个屏障定义了选项，例如向下和向外、向上和向内，那么我们假设其他屏障为-∞ 或∞ 根据上下文的不同，障碍选项的回报为H（s）=H（X）n∏i=1B≤xi≤B、 其中H（X）是最终收益。

对于数字屏障选项，我们有H（S）=1，s∈ Rnand对于带K的看涨期权和看跌期权，我们有H（S）=（Xn- K） +和H（S）=（K- Xn）+。很明显，这些期权具有分段线性回报。5.2回望期权和亚洲期权回望期权的收益取决于Xmax=max{X，…，Xn}和/或Xmin=min{X，…，Xn}。亚洲期权被定义为在到期时具有支付函数，其取决于平均值XA=n∑ni=1X路径上的股价。表1描述了不同回望期权和亚洲期权的收益。下面的引理证明了表1中的所有支付：回望和亚式期权支付Scall PutLookback Fixed max（Xmax- K、 0）最大值（K）- Xmin，0）回望浮动Xn- XminXmax- XnAsian固定最大值（XA- K、 0）最大值（K）- XA，0）亚洲浮动Xn- XAXA- 表1中的xN是Φ上的分段线性函数。引理4设Φ是RNA中的一个多面体，并进一步分为许多多面体Φ=（SMi=1∏i）。设函数f:Φ→ R和g:Φ→ R在这些多面体上是分段线性的。然后，函数max{f（x），g（x）}和min{f（x），g（x）}在Φ=（S\'Mi=1∏i）的某些有限划分上也是分段线性的。6数值实验在本节中，我们给出了障碍选项的数值结果。我们考虑二维和三维情况。在MATLAB上，利用SEDUMIT和SDPT3解算器，采用内点法对线性规划问题进行了数值求解。对于高维或更精细的离散化问题，最好使用Nesterov的非光滑函数平滑技术[7,8]。首先，我们得到了模拟市场数据的数值结果，即我们使用Black-Scholes公式计算不同时间段的看涨期权价格。对模拟市场数据的数值实验特别有趣，因为在这种情况下，我们还可以计算目标衍生产品（即。

我们的目标是找到上界和下界。因此，我们可以将Black-Scholes模型中的导数价格与我们的模型得到的上下限进行比较。表2和表3分别显示了2和3个时间步的不同屏障选项的数值结果。为了获得这些结果，我们只使用给定的罢工作为离散点，即对于所有i=1，n和j=1，ni，上下黑色Scholes双不接触数字0.282622 0.612447 0.4232双不接触通话0.527483 0.2020 0.187674 0.0919表2：与toBlack-Scholes值相比，双时间步障碍选项的上下限。上下Black Scholes Double no touch digital 0.0610184 0.533453 0.2732 Double no touch call 0.43506 0.1方差交换0.326711 0.1369表3：与toBlack-Scholes值相比，三次阶梯屏障选项的上下限。Barrier Call Barrier Digital Variance Swap2 0.554805 0.90002 1.211953 0.485545 0.855626 1.24816表4：方差交换的下限，2个和3个时间步的双无触点Barrier Digital和caloptions。这些结果是使用苹果股票的市场数据得出的。股价为115，门槛分别为95和125。dji=kji。我们进行了模拟期权价格的实验，现货价格为50%，波动率为30%，时间跨度为6个月。罢工人数在30到60之间（含30和60），而下限和上限分别为34和56。在表4中，我们使用苹果股票（APPL）看涨期权的市场数据，给出了双无触点看涨期权、数字和方差互换期权的下限。现货价格为115，考虑的壁垒为95和125。我们对到期日为2014年12月20日、2015年2月20日和2015年4月17日的债券采用买入期权价格。

计算日期为2014年11月20日。请注意，这里考虑的第三个选项是方差互换选项，它既没有分段线性回报，也没有分段凹回报。在这种情况下，我们通过对每个多面体进行线性限制的分段线性函数来近似支付函数。在进行了一些数值实验后，我们观察到，只要与我们期权的障碍一致的期权价格可用，任何比上述更精确的离散化都不会进一步收紧界限，也就是说，优化问题的解决方案保持不变。这一观察结果是进一步研究的主题，它表明我们的方法产生了与给定市场数据兼容的最紧可能的债券。这就是说，对于任何其他的界l>l和u<u，我们可以构造一个股票价格的鞅测度，在这个测度下，我们得到了超出这些新界l和u的限制期权的价格，其中l和u是我们的模型得到的上界和下界。考虑到上述观察，如果我们的市场数据中没有障碍作为罢工，我们应该在开始时进行一些插值，以找到障碍作为罢工的近似看涨期权价格，然后构建我们的模型。这种方法比通过更精确的近似来解决问题要好。备注5请注意，在实践中，市场和鞅约束提供的关于看涨期权价格的信息会产生非常大的界限，因此人们永远不会观察到套利，即目标期权的价格总是在界限内。

但是，正如在使用布莱克-斯科尔斯模型得到的看涨期权价格的结果中所观察到的，期权的实际价值大约是上下限的中值。7结论在这项工作中，我们展示了[3]的一般对偶结果如何应用于自由路径相关期权定价模型。我们还引入了所谓的“通过分段凹函数积分的约束”，以数值方式解决由此产生的半无限维优化问题。此外，我们的数值实验提供了强有力的证据，证明通过我们的方法得到的界限是与观察到的市场价格和无套利假设相容的最紧密的可能界限。参考文献[1]Beigbl–ock Mathias和Henry Labord\'ere Pierre and PenknerFriedrich：期权价格的模型独立界限：一种大规模运输方法。金融学和随机学。17 (3), 477-501, (2014).[2] Borwein，J.和Lewis，A.：凸分析和非线性优化：理论和例子（CMS数学书籍）。[3] Hauser，R.和Shahverdyan，S.，Embrechts，P.：风险聚合中的二元性（2014年）。[4] 《自动期权定价：数值方法》（2011年12月5日）。可从SSRN获得：http://ssrn.com/abstract=1968344 orhttp://dx.doi.org/10.2139/ssrn.1968344[5] 蒙泰罗，上午。；T–ut–unc–u，R.H.和Vicente，L.N.：使用立方线从期权价格中恢复风险中性概率密度函数，并确保非负性。欧洲运筹学杂志187（2），525-542（2008）。[6] Nesterov，Y.：一种解决收敛速度为O（1/k）的凸规划问题的方法。苏联数学。多克。27 (2), (1983).[7] Nesterov，Y.：非光滑函数的光滑最小化。数学程序爵士。A 103127–152（2005年）。[8] Shahverdyan，S.：风险管理中的优化方法。DPhilthesis，牛津数学研究所（2014年）。