一种新的自由期权定价模型

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英文标题：
《A New Approach to Model Free Option Pricing》
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作者：
Raphael Hauser and Sergey Shahverdyan
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  In this paper we introduce a new approach to model-free path-dependent option pricing. We first introduce a general duality result for linear optimisation problems over signed measures introduced in [3] and show how the the problem of model-free option pricing can be formulated in the new framework. We then introduce a model to solve the problem numerically when the only information provided is the market data of vanilla call or put option prices. Compared to the common approaches in the literature, e.g. [4], the model does not require the marginal distributions of the stock price for different maturities. Though the experiments are carried out for simple path-dependent options on a single stock, the model is easy to generalise for multi-asset framework.
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中文摘要：
本文介绍了一种新的自由路径相关期权定价模型。我们首先介绍了[3]中引入的带符号测度的线性优化问题的一般对偶结果，并展示了如何在新的框架下表述无模型期权定价问题。然后，我们引入了一个模型，当提供的唯一信息是普通看涨期权或看跌期权价格的市场数据时，从数值上解决这个问题。与文献[4]中的常用方法相比，该模型不需要不同到期日的股价边际分布。虽然实验是针对单一股票的简单路径依赖期权进行的，但该模型很容易推广到多资产框架。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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关键词：期权定价模型 期权定价 定价模型 Quantitative distribution

一种建立自由期权定价模型的新方法*1和Sergey Shahverdyan+2牛津大学数学研究所牛津大学数学研究所摘要本文介绍了一种新的建模自由路径依赖定价的方法。我们首先介绍了[3]中引入的带符号测度的线性优化问题的一般对偶结果，并展示了如何在新的框架下表述无模型期权定价问题。然后，我们引入一个模型来解决这个问题，当提供的唯一信息是普通看涨期权或看跌期权价格的市场数据时。与文献[4]中的常用方法相比，该模型不需要不同到期日的股价边际分布。虽然实验是针对单一股票上的简单路径依赖期权进行的，但该模型很容易推广到多资产框架。本文介绍了一种新的离散路径相关期权的无模型定价方法。关于这个问题的理论已经有了相当多的研究，但是，据我们所知，对于一般情况下的数值解知之甚少。这项工作基于[3]中介绍的一般对偶关系。这种二元关系在这部作品中为我们服务了两次。

首先，我们展示了如何解决路径相关期权的无模型上下限优化问题*英国牛津大学伍德斯托克路拉德克利夫天文台区安德鲁·威尔斯大厦，hauser@maths.ox.ac.uk+英国牛津大学伍德斯托克路拉德克利夫天文台区安德鲁·威尔斯大厦OX2 6GG，shahverdyan@maths.ox.ac.ukformulated在他们的框架中，这使得我们可以直接从原始问题中获得双重问题。接下来，我们应用所谓的“积分边界约束”模型来数值求解优化问题。该模型允许人们构造边际分布的约束条件，这可以通过校准经验风险中性分布来获得。但我们使用欧洲看涨期权或看跌期权价格的市场数据作为约束条件。这使我们能够在无模型框架中计算出尽可能严格的界限，即，仅考虑市场信息，任何较窄的界限都必须考虑市场数据提供的限制以外的约束，并且股票价格过程是阿马丁格尔过程。2问题公式和对偶考虑一个奇异的路径依赖期权，它取决于某个离散时间t<t<···<tn时的股票价格。设X=（X，…，Xn）为n维随机变量，分别表示（t，…，tn）时的股票价格，设h（X，…，Xn）为给定期权的收益。在实践中，在无套利框架中，我们假设股票价格遵循某个特定模型，根据市场数据校准该模型，并确定期权的公平价格，即在R上找到风险中性概率度量，并计算价格asEQ[h]=ZRnh（x，…，xn）dq（x，…，xn）。

（1） 在Q下，股价过程（Xi）i=1，。。。，假设nis是一个离散鞅。无模型期权定价的问题是，在不假设股票价格过程的任何特定模型的情况下，确定期权价格的界限，即在所有模型上确定与观察到的市场数据一致的最大值和最小值。假设知道市场看涨期权价格，每i=1，…，就可以恢复fixi的分布函数，n（例如，参见[5]），代表风险中性等价概率测度X的边际分布。在这个框架中，用边际F，…，Fn表示鞅测度集，Fn，问题解决了∈Mn（F，…，Fn）ZRnh（x，…，xn）df（x，…，xn）。（2） 我们称上述问题为原始问题。对于任何i=1，。。。，n从R中定义一组可积函数→ R byHiand对于任何j=1，N-1 Rj中的有界可测函数集→ Tj的R。有人打招呼吗∈ 嗨，i=1，n和gj∈ Tj，j=1。，N- 1考虑函数ψ（hi），（gj）（x，…，xn）：Rn→ 定义为ψ（hi），（gj）（x，…，xn）=n∑i=1hi（xi）+n-1.∑j=1gj（x，…，xj）（xj+1）- xj）。（3） 考虑以下优化问题：sup（hi∈嗨）n，（gj∈Tj）n-1n∑i=1ZRhi（xi）d Fi（xi）（4）s.t.ψ（hi），（gj）（x，…，xn）≤ h（x，…，xn）。（5） 我们有下面的定理。定理1（定理1，[1]）假设F，Fn是R上的Borel概率测度，因此M（F，…，Fn）是非空的。让h:Rn→ (-∞,∞] bea下半连续函数，使h（x，…，xn）≥ -K·（1+| x |+··+| xn |），对于某些常数K，则原始问题（2）和对偶问题（4）之间的对偶间隙等于零。此外，还得到了原最优值，即存在鞅测度F∈ M（F，。。

，Fn），使得（2）的最佳值等于EF[h]。这个定理的证明可以在[1]中找到。为了数值求解对偶问题，我们需要对这个有限维问题进行一些离散化。这样做的一种方法（如[1]所述）是分解函数（hi）和（gj）n-1在有限尺寸的基础上。自（gj）n-假设是连续的，我们可以选择多项式基，即gj（x，…，xj）=∑kgkjekj（x，…，xj），其中ekjare是基的函数，gkjare是gj相对于所选基的坐标。对于函数（hi），nwe可以选择看涨期权支付作为basishi（xi）=∑khki（xi）- kb）+。通过这种近似，对偶问题简化为线性规划问题，可以通过内点法、单纯形算法或其他选择的算法来解决。在这项工作中，我们对无套利定价问题的数值解采取了不同的方法。该方法基于[3]中描述的模型，将在下一节中介绍。3一般对偶关系在本节中，我们将看到[1]在[3]中提出的大规模运输问题的一般对偶关系的特例中引入的（2）和（4）之间的对偶关系，从而得出（4）的替代推导。首先，我们将描述对偶结果，然后将展示如何使用此框架获得上一节中介绍的对偶结果。

在这一部分中，我们还提出了一个模型，该模型有助于数值求解有限维优化问题，这些问题具有特殊的结构。设（Φ，F）、（Γ，G）和（∑，S）为完备测度空间，设A:Γ×Φ→ R、 答：Γ→ R、 B：∑×Φ→ R、 b.∑→ R、 h:Φ→ R在这些空间和相应的乘积空间上是有界的可测函数。设MF、MG和MSbe分别为（Φ，F）、（Γ，G）和（∑，S）上具有有限变化的有符号测度集。分别考虑mf和MG×mssupf上的以下一对优化问题∈MFZΦh（x）df（x）（6）s.t.ZΦA（y，x）df（x）≤ a（y），（y）∈ Γ），ZΦB（Z，x）df（x）=B（Z），（Z∈ ∑），F≥ 0，and（G，S）∈MG×MSZΓa（y）dg（y）+Z∑b（Z）ds（Z），（7）S.t.ZΓa（y，x）dg（y）+Z∑b（Z，x）ds（Z）≥ h（x），（x∈ Φ），G≥ 0.有限编程问题（6）和（7）是彼此的对偶。定理2（弱对偶，定理1，[3]）对于每（6）-可行测度和每（7）-可行对（G，S），我们有zΦh（x）df（x）≤ZΓa（y）dg（y）+Z∑b（Z）ds（Z）。证据利用富比尼定理，我们得到了zΦh（x）df（x）≤ZΓ×ΦA（y，x）d（G×F）（y，x）+Z∑×ΦB（Z，x）d（S×F）（Z，x）≤ZΓa（y）dg（y）+Z∑b（Z）ds（Z）。在各种特殊情况下，如[3]中讨论的情况，强对偶性在正则性假设下成立，即（6）和（7）的最优值重合。强对偶适用的另一种特殊情况是，当测度F、G和S在适当的希尔伯特空间中具有密度时，参见第二作者即将发表的DPhil论文[8]。还要注意的是，如果一组允许的措施受到限制，那么约束中的量化指标可能会被削弱。

例如，如果G被限制在一组相对于固定测度绝对连续的测度中∈ MG，然后是数量（y∈ Γ）可以减弱为（G-几乎所有y）∈Γ）.3.1一般对偶结果在无模型期权定价中的应用在本小节中，我们证明了在这个框架下，路径相关期权的无套利界的对偶结果也可以得到。在原始问题（2）中，我们有两种类型的约束。第一种类型是联合概率测度F要求具有边际分布F。，Fn。第二种类型的约束是F是阿马丁格尔测度。边际约束可表述如下。t、 ZR{xi≤z} （z，x）df（x）=Fi（z），（z∈ R、 i=1，n） （8）对于鞅测度约束，注意F是鞅测度当且仅当对于每k=1，。。。，N- 每一次波雷尔可测量的挫折 RkZRnB（x，…，xk）（xk+1）- xk）df（x，…，xn）=0，（9），这相当于（[1]，引理2.3）：对于每个z，y∈ 太棒了≤ 伊兹尔茨≤x | k≤y（x，…，xk）（xk+1）- xk）df（x，…，xn）=0，（10），其中x | kwe表示x的前k个坐标，向量的比较是分量式的。现在我们已经准备好在新的框架中阐述问题（2）。我们的目标是找到以下优化问题的双重问题。infFZRnφ（x）df（x）s.t.ZRn{xi≤t} （t，x）df（x）=Fi（t），（t∈ R、 我∈ Nn）ZRnz | k≤x | k≤y | k（z，y，x）（xk+1）- xk）df（x）=0，（y，z∈ Rn，k<n）F≥ 0.表示Φ=r和∑=1，…，2n- 1} ×R×Rn×Rn。如果k，我们构造函数b（k，t，z，y）=Fk（t）≤ n、 b（k，t，z，y）=0，fork>n。进一步，对于k≤ n我们有B（k，t，z，y，x）=1xk≤t、 对于k=1，N-1我们有b（k+n，t，z，y，x）=1z | k≤x | k≤y | k（xk+1- xk）现在我们构造对偶问题。作为目标函数，我们有z∑b（k，t，z，y）ds（k，t，z，y）=n∑k=1ZR×Rn×RnFk（t）d’Sk（t，z，y）。对于k=1，。。。

定义了Borel sigma代数B（R）的度量值，例如每D的Sk（D）=Sk（D×Rn×Rn）∈ B（R）。至于边缘问题，有符号的度量是有限变化的，函数sk（t）=S((-∞,t] ）和极限sk=limt→∞Sk（t）=S((-∞,+∞)) A定义明确且明确。此外，使用limt→-∞Fk（t）=0和limt→+∞Fk（t）=1，我们有∑k=1ZRFk（t）d Sk（t）=n∑k=1Fk（t）Sk（t）|+∞-∞-ZRSk（t）d Fk（t）=N∑k=1sk-N∑k=1ZRSk（t）d Fk（t）=n∑k=1ZR（sk- Sk（t））d Fk（t），同样地，对于约束。书写hk（t）=sk- Sk（t），（k=1，…，n），目标函数变为∑k=1ZRhk（t）d Fk（t），约束的左侧变成z∑B（k，t，z，y，x）ds（k，t，z，y）=n∑k=1ZR×Rn×Rnxk≤td？Sk（t，z，y）+n-1.∑k=1ZR×Rn×Rnz | k≤x | k≤y | k（xk+1- xk）d′Sn+k（t，z，y）=n∑k=1hk（xk）+n-1.∑k=1gk（x，…，xk）（xk+1）- 其中gk（x，…，xk）=RRn×Rnz | k≤x | k≤y | k（xk+1-xk）dsk+n（z，y），k=1，。。。，N-1.测量Sn+k，k=1。，N-1定义为每D的Sk+n（D）=Sk+n（R×D）∈ B（Rn×Rn）。我们显然有函数gk，k=1。，N- 1是有界的。所以我们得到了原始问题的以下对偶公式。嗯，。。。，hnn∑k=1ZRhk（τ）d Fk（τ）（11）s.t.n∑k=0hk（xk）+n-1.∑k=1gk（x，…，xk）（xk+1）- xk）≤ h（x），（x∈ Rn）。由于决策变量g，gn-当目标函数系数为零时，我们得到对偶问题（11）等价于up（n）∑k=1EFk[hk]：Ggn-1s。t、 ψ（hk），（gj）≤φ） 式中ψ（hk），（gj）（x，…，xn）=n∑k=0hk（xk）+n-1.∑k=1gk（x，…，xk）（xk+1）- xk）和EFk（hk（t））=RRh（t）d Fk（t）。注意，（12）与（4）完全相同。3.2通过积分边界的约束在本节中，我们给出了本节开头讨论的一般对偶结果的一个特殊情况，具体来说，我们有很多约束。

在下一节中，我们将展示如何使用该模型找到分段线性收益期权的无套利边界。我们假设Φ分解成一个具有非空内部的多面体的分区Φ=Ski=1Ξiof。每个多面体都有一个生成元的原始描述，Ξi=conv（qi，…，qini）+cone（ri，…，rioi），其中conv（qi，…，qini）是顶点为qin的多面体∈ Rn和Cone（ri，…，rioi）=（oi）∑m=1ξmrim:ξm≥ 0（米）∈ Noi）是具有后退方向边缘的多面体圆锥体∈ 注册护士。每个多面体都有一个线性不等式的对偶描述，Ξi=ki\\j=1十、∈ 注册护士：h fij，xi≥ lij,对于一些向量fij∈ Rnand界限lij∈ R.主要关注的情况是，平面平行于坐标轴的有限或有限长方体，或此类长方体与线性半空间的交点，在这种情况下，很容易在原始描述和双重描述之间传递。然而，请注意，对偶描述更可取，因为框的描述只需要2n个线性不等式，而原始描述需要下一个顶点。考虑一下这个问题∈MFZΦh（x）df（x）（13）s.t.ZΦs（x）df（x）≤ as，（s=1，…，M），s.t.ZΦψt（x）df（x）=bt，（t=1，…，N），ZΦ1df（x）=1，F≥ 0，其中测试函数ψ在分区Φ=Ski=1Ξi上是分段线性的，其中- h（x）和测试函数φ在分区的有限多面体上是分段线性的，在分区的有限多面体（即多面体）上是联合线性的、凹的或凸的。（13）isinf（y，z）的对偶∈RM+N+1M∑s=1asys+N∑t=1btzt+z，（14）s.t.M∑s=1ysφs（x）+N∑t=1ztψt（x）+zΦ（x）- h（x）≥ 0，（x∈ Φ），y≥ 0.请注意，（13）是一个半无限规划问题，具有无限多变量和无限多约束，而（14）是一个半无限规划问题，具有无限多变量和无限多约束。

然而，问题（14）的约束可以重写为多面体Ξi，M上的asco正性要求∑s=1ysφs（x）+N∑t=1ztψt（x）+zΦ（x）- h（x）≥ 0，（x∈ Ξi，（i=1，…，k）。接下来，我们将看到如何在数值上处理这些共正性约束，通常是通过放松所有约束，但不包括很多约束。在下面的内容中，我们将使用符号φy，z（x）=M∑s=1ysφs（x）+N∑t=1ztψt（x）+z- h（x）.3.2.1分段线性测试函数我们讨论的第一种情况是φs|i和hi联合线性。由于wefurthermore假设函数ψt |是线性的，因此存在向量∈ 机智∈ 注册护士，gi∈ Rnand常数∈ R、 迪特∈ R和ei∈ R使得φsΞi（x）=hvis，xi+cis，ψtΞi（x）=hwit，xi+dit，hΞi（x）=hgi，xi+ei。共正性条件∑s=1ysφs（x）+N∑t=1ztψt（x）+zΦ（x）- h（x）≥ 0，（x∈ Ξi）然后可以写为ash fij，xi≥ lij，（j=1，…，ki）==>*M∑s=1ysvis+N∑t=1ztwit- gi，x+≥ 工程安装-M∑s=1yscis-N∑t=1ztdit- z、 根据Farkas引理，这相当于constraintsM∑s=1ysvis+N∑t=1ztwit- gi=ki∑j=1λijfij，（15）ei-M∑s=1yscis-N∑t=1ztdit- Z≤基∑j=1λijlij，（16）λij≥ 0，（j=1，…，ki），（17），其中λij是额外的辅助决策变量。因此，如果所有测试函数在所有多面体块Ξi上都是线性的，那么对偶（D）可以作为M+N+1的线性规划问题来求解+∑ki=1kivariables和k（n+1）线性约束，加上y和λij上的有界约束。更一般地说，如果一些但不是所有多面体对应于联合线性测试功能块，那么联合线性块可以被视为上文讨论的，而其他块可以被视为下文讨论的。上述构造的线性优化问题的有效解决方法详情见[3]。在下一节中，我们将展示分段线性支付的无模型期权定价问题可以在该模型的框架内近似。