任意条件下连续半鞅的可选分解

每n∈ N、 我们定义了局部鞅ln:=nXt≤ ·{B（t）≤-1/n}- Dn，其中Dn是具有连续路径的合适的非减量过程（因为B的跳跃完全不可访问）。注意∈ Ld，这意味着B+[B，Ln]是所有n的局部子鞅∈ N.此外，我们注意到B+[B，Ln]=B+nPt≤ ·B（t）1{B（t）≤-1/n}≤ 这意味着b+[b，Ln]是一个真正的子鞅。因此，它是这样的-Xt≤NB（t）1{B（t）≤-1/n}≤ E[B（n）- B（0）]=E[B（n）]≤ B N∈ 单调收敛定理给出了Pt∈R+(B（t））-= 0，这意味着B≥ 0.继续，我们为每个n定义∈ N一个新的局部m-artin-galeln:=eDn-1.- （1/n）Xt≤ ·{B（t）≥1/n}，这是一个合适的连续且不减损的过程。注意，我们有Eln∈ LDN∈ N，哪个imp位于进程B+[B，eLn]=B-1.- 1/nXt≤ ·B（t）1{B（t）≥1/n}，n∈ Nare局部子鞅，从上到下一致有界于b。因此，它遵循这一点≤ ·B（t）具有固定价值；那就是B:=B-Pt≤ ·B（t）是局部子鞅。回顾B的跳跃只发生在完全无法到达的停止时间，我们看到最后一个过程B具有连续路径，并且与所有连续路径局部鞅强烈正交，这意味着它是有限变化的。由于它是一个本地子码头，因此必须不减损。它从过程B的这个推理中得出=B-Pt≤ ·B（t）+Pt≤ ·B（t）是不减损的，这就是论点的结论。8伊奥尼斯·卡拉萨斯和康斯坦丁诺斯·卡达拉斯2。2.定理1.4的证明。含义（2）=> （1） 这很简单。事实上，我们∈ 我注意到Z:=Z·Y（t-) dX（t）+[Y，X]=yx- X（0）-Z·X（t）dy（t）是一个d维局部m-artin大风。

那么，如果V=V（0）+R·hH（t），dX（t）i- C、 一次计算V=V（0）+Z·V（t）-) dY（t）+Z·hH（t），dZ（t）i-Z·Y（t）dC（t），这表明Y-V是一个局部超马尔可夫对于含义（1）=> （2） ，假设V是所有Y的局部超鞅∈ 特别是，通过（1.1）的表示法，我们注意到（V/bV）是一个局部超鞅，并将这个过程写在它的渡边Kunita/Doob-Meyer表示（2.1）U:=V/bV=V（0）+Z·hθ（t），dm（t）i+N中- 这里是θ∈ P（X）（见备注1.2）和N∈ lcsaties[N，M]=0，而B是B（0）=0且“纯粹不连续”的局部子鞅，从这个意义上讲，（2.2）[B，L]=0适用于每一个L∈ 信用证。特别地，我们注意到[B，N]=0。（i） ：第一项业务是证明（2.1）中的流程B实际上是不减损的；为此，我们将使用引理2.1。由于N+R·hθ（t），dM（t）i是s和U局部有界的连续过程，因此p过程B=V（0）+N+R·hθ（t），dM（t）i- U从上方局部有界。让我们来看看∈ 劳埃德。从（1/bV）E（L）∈ Y我们观察到，例如，使用生产规则·1/bVE（L）=U E（L）=V（0）+N+Z·hθ（t），dm（t）i- BE（L）是一个本地su permartingale。Fu rthermore，过程N+R·hθ（t），dm（t）iE（L）是一个局部鞅，根据这两个观测结果，B E（L）=Z·E（L）（t-) d（B+[B，L]）（t）+Z·（BE（L））（t-) dL（t）是局部子鞅。这反过来意味着B+[B，L]=Z·E（L）（t-)d（BL）（t）-Z·B（t）-) dL（t）也是一个局部子鞅。回顾性质（2.2）并调用引理2.1，我们从观察中得出结论，分解（2.1）中的局部子鞅B确实是非减量的。任意过滤条件下连续半鞅的可选分解9（ii）：第二项任务是证明N≡ 0适用于（2.1）。

这里的关键观察值是，因为[N，M]=0，乘积（1/bV）E（nN）是所有N的Y元素∈ 因此，UE（nN）=V·（1/bV）E（nN）是所有N的局部超鞅f∈ N.由于[E（nN），B]=0和[E（nN），M]=0，因此E（nN）（B-N） 是一个局部亚群∈ 现在我们观察到（nN）（B）- N）=Z·（B）- N） （t）-) dE（nN）（t）+Z·E（nN）（t）-) DB- N- [nN，N]（t） ，从它后面是B- n[n，n]是所有n的局部子鞅∈ N.这只有在[N，N]=0时才可能，因为N（0）=0，imp等于N≡ 0; 结果，（2.1）变成（2.3）U=（V/bV）=V（0）+Z·hθ（t），dM（t）i- B.（iii）：我们现在可以得出结论。部分积分公式在V=bV U上的另一个应用，结合（1.2）、（2.3）和定理1.1给出了分解V=V（0）+Z·U（t-) dbV（t）+Z·bV（t）dU（t）+[bV，U]=V（0）+Z·U（t）-) dbV（t）+Z·bV（t）hθ（t），dX（t）i-Z·bV（t）dB（t）=V（0）+Z·bV（t）hU（t）-)ρ（t）+θ（t），dX（t）i-Z·bV（t）dB（t）。定义U-（t） ：=U（t）-) 对于t>0，以及asH:=bVU-ρ + θ∈ P（X）和C:=Z·bV（t）dB（t），我们得到如权利要求所述的分解（1.3）。参考文献[DS94]F.Delbaen和W.Schachermayer。资产定价基本定理的一般版本。数学安。，300(3):463–520, 1994.[DV73]M.H.A.戴维斯和P.瓦拉亚。部分可观测随机系统的动态规划条件。SIA M J.控制，11:226–2611973。妮可·卡鲁伊和玛丽·克莱尔·昆内斯。完全市场中未定权益的动态规划与定价。暹罗J.控制优化。，33(1):29–66, 1995.[FK97]H·F¨ollmer和D·Kramkov。约束下的可选分解。Probab。理论相关领域，109（1）：1-251997。[FK98]霍尔默和余。卡巴诺夫先生。可选分解和拉格朗日乘子。金融斯托赫。，2(1):69–81, 1998.[Jac12]S.Jacka。

Kramkov关于一致超鞅分解结果的一个简单证明。《随机学》，84（5-6）：599-602，2012年。[JS03]J.Jacod和A.N.Shiryaev。随机过程的极限定理，Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften[数学科学的基本原理]第288卷。斯普林格·维拉格，柏林，第二版，2003.10伊奥尼斯·卡拉萨斯和康斯坦丁诺斯·卡达拉斯[Kar10]C.卡达拉斯。有限可加概率与资产定价基本定理。《当代定量金融》第19-34页。柏林斯普林格，2010年。[KLSX91]I.Karatzas、J.P.Lehoczky、S.E.Shreve和G.-L.Xu。不完全市场中效用最大化的鞅和对偶方法。暹罗J.控制优化。，29(3):702–730, 1991.[Kra96]D.O.克拉姆科夫。不完全证券市场中超鞅的可选分解与未定权益套期保值。Probab。理论相关领域，105（4）：459-4791996。[KS91]I.Karatzas和S.E.Shreve。布朗运动与随机微积分，数学研究生教材第113卷。S pringer Verlag，纽约，第二版，1991年。[KS98]I.Karatzas和S.E.Shreve。数学金融方法，数学应用第39卷（纽约）。斯普林格·维拉格，纽约，1998年。[Sch95]M.Schweizer。关于极小鞅测度和F¨ollmer-Schweizer分解。随机的。应用程序。，13(5):573–599, 1995.[SY98]C.Stricker和J.A.Yan。关于可选分解定理的一些注记。在S\'eminaire de Probabilit\'es，XXXII，1686卷数学课堂讲稿中。，第56-66页。

柏林斯普林格，1998年。Ioannis Karatzas：美国纽约州纽约哥伦比亚大学数学系，邮编10027；美国新泽西州普林斯顿Palmer广场441室Intech投资管理公司08542电子邮件地址：ik@math.columbia.edu, ik@enhanced.comConstantinos卡尔达拉斯：伦敦经济学院统计系，伦敦霍顿街10号，WC2A 2AE，英格兰电子邮件地址：k。kardaras@lse.ac.uk