任意条件下连续半鞅的可选分解

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英文标题：
《Optional Decomposition for continuous semimartingales under arbitrary
  filtrations》
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作者：
Ioannis Karatzas and Constantinos Kardaras
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We present an elementary treatment of the Optional Decomposition Theorem for continuous semimartingales and general filtrations. This treatment does not assume the existence of equivalent local martingale measure(s), only that of strictly positive local martingale deflator(s).
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中文摘要：
我们给出了连续半鞅和一般筛选的可选分解定理的一个初等处理。这种处理方法不假设等价的局部鞅测度的存在，只假设严格正的局部鞅平减指数的存在。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Optional_Decomposition_for_continuous_semimartingales_under_arbitrary_filtrations.pdf (155.51 KB)

2022-5-7 08:31:27 上传

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关键词：Mathematical Differential Quantitative Applications Probability

任意过滤条件下连续半鞅的可选分解。我们给出了连续半鞅和一般滤波的选择分解定理的一个基本处理方法。这种处理方法不假设存在等价的局部鞅测度，只假设存在严格正的局部鞅测度。简介可选分解定理（ODT）是Stoch像散分析领域的一个重要结果，尤其是在数学金融领域。在[Kra96]之后最“经典”的形式中，ODT可以表述如下。有一段时间∈ N、 设X是给定过滤概率空间上的Rd值局部有界半鞅(Ohm, F、 P），F={F（t）}t∈R+，并假设Q，即等价于P并将局部鞅P性质赋予X的概率测度的集合，是非空的。当且仅当给定的非负过程V=V（0）+Z·hH（T），dX（T）i在Q中的所有概率下都是鞅- C这里H是一个可预测的X-可积过程，C是一个C（0）=0的非减量右连续适应过程。表示法（OD）与数学金融的设置有关。事实上，X的组成部分代表金融市场中资产的（贴现）价格。如果H=（Hi）i∈{1，…，d}是一个代理人在市场上的投资策略，他为所有人的资产组合提供帮助∈ {1，…，d}，和C衡量代理人的总消费，则nV in（OD）对应于从初始资本（0）开始的产生财富的消费过程。

ODT为所有此类财富消耗过程提供了一个具有启发性的“双重”特征，即所有等价局部鞅测度X下的超鞅。使用该日期：2015年2月5日。1991年数学学科分类。60H05；60H30；91B28。关键词和短语。半鞅；选择性分解；局部鞅函数。国家科学基金会（NSF-DMS-14-05210）和玛丽居里职业整合基金（FP7-PEOPLE-2012-CIG）资助的部分研究，项目编号334540。我们非常感谢一叶大幸和约翰·伊斯·鲁夫仔细阅读了手稿，并提出了许多建议。2 IOANNIS KARATZAS和CONSTANTINOS KARDARAScharacterization，ODT通过在非马尔可夫环境中使用动态编程技术建立了超边缘对偶性。与ODT类似，通过鞅方法获得的随机可控性结果可以追溯到[DV73]，在数学金融领域，可以追溯到[KLSX91]。[EKQ95]中，在准左连续滤波下，当X由布朗运动驱动时，ODT的厌恶。第一篇论文讨论了一般局部有界半鞅[Kra96]的ODT，其中使用了[DS94]中的函数（凸）分析方法和结果。在[FK97]中，考虑了投资约束的更一般情况，我们使用了基本相似的论点。在[FK98]中，提出了半鞅积分X的局部有界性假设；更重要的是，作者通过遵循可预测特征的替代应用程序路径，避免了有限维凸分析；这包括拉格朗日乘子、欧几里德空间中的超平面参数分离和可测量选择。

尽管上述论文中对ODT的处理相当普遍，但它们确实需要非常复杂的程度；事实上，它们要么涉及使用困难的函数分析结果，要么涉及对过程的一般理论的深入了解，如[JS03，第一章和第二章]。本文给出了连续路径半鞅积分器X的ODT的一个相当初步的证明，但证明了任意滤波的ODT。而不是假设q6=, 它使用了更“局部化”的假设，即严格正局部鞅函数的Y类是非空的。这个假设y6= 更一般，也更具描述性：它允许通过推测X的局部漂移和局部共变过程，对其有效性进行等效结构表征，如T heorem 1.1所述。（事实上，[SY98]使用条件6=.) 论文的重要教学要素是，为了获得ODT，避免使用功能分析和可预测的特征。由于任意过滤支持在可访问和完全不可访问时间具有潜在跳跃的局部鞅，因此不可能完全避免使用S-tochastic过程一般理论的某些结果。然而，我们觉得这里所走的道路是尽可能基本的。虽然与之前的工作存在一些交叉（尤其是[EKQ95]以及[Jac12]涉及持续资产定价和持续过滤），但我们认为目前的处理方法更具前瞻性。1.设置1。1.预备阶段。我们将研究一个概率空间(Ohm, F、 P），赋予一个fifiltrationf={F（t）}t∈R+满足了关于右连续性和零集增广的常见假设。

我们强调，对过滤没有进一步的假设。设X=（Xi）i∈{1，…，d}是具有连续路径的d维半鞅。对于X的Doob-Meyer分解，我们写ex=A+M；这里A是一个具有有限变化连续路径的d维过程，A（0）=0，M是一个具有连续路径的d维局部鞅。任意过滤条件下连续半鞅的可选分解∈ {1，…，d}，我们将用ˇait表示与Ai相关的第一个有限变化过程。定义时G:=Pdi=1ˇAi+[Mi，Mi], 因此，存在一个d维可预测过程a和一个可预测过程c，该过程取非负定义矩阵集合中的值，例如a=R·a（t）dG（t）和[Mi，Mj]=R·cij（t）dG（t）对i保持不变∈ {1，…，d}和j∈ {1，…，d}。我们将用P表示可预测的σ场Ohm x R+，并通过P G产品可测空间上的测度(Ohm ×R+，P）哪个满足（PG） [J]=ER∞J（t）dG（t）尽管如此，J∈ P.设P（X）表示所有d维、可预测和X-可积过程的集合。给定的d维可预测过程H属于P（X），如果d仅当两个过程r·| hH（t）、A（t）i | dG（t）和r·hH（t）、c（t）H（t）i dG（t）都有确定的值。我们将使用符号e（Z）：=expZ-Z、 ZC·Yt≤ ·1 + Z（t）经验(-对于Z（0）=0的标量半鞅Z的随机指数；注意，它满足积分方程E（Z）=1+R·E（Z）（t-) dZ（t）1.2。严格正局部鞅函数。我们将Y定义为所有严格正局部鞅Y的集合，Y（0）=1，因此Y xi是所有i的局部鞅∈{1，…，d}。下一个结果给出了X的dr if t和局部协方差结构的条件，其等价于Y的非空性要求。定理1.1。

在上述设置中，以下两个条件是等效的：（1）Y 6=.（2） 存在一个d维的可预测过程ρ，使得a=cρ成立（P G） 过程r·hρ（t），c（t）ρ（t）i dG（t）的值是确定的。定理1.1的陈述（2）中的结构条件已经出现，例如参见[Sch95]或[KS98，定理4.2，第12页]。定理1.1的证明见[Kar10，第4节]。我们在此不再重复，但将提供一些讨论，以便介绍稍后将使用的重要数量。1.3. 定理1.1的讨论。让我们先假设定理1.1的条件（2）成立。因为a=cρ意味着hρ，ai=hρ，cρi=|hρ，ai |保持（P G） -a.e.，由此得出ρisX可积，即ρ∈ P（X）。然后，s路半鞅（1.1）bV:=e的连续性Z·hρ（t），dX（t）i很好地定义并满足积分方程（1.2）bV=1+Z·bV（t）hρ（t），dX（t）i。4 IOANNIS KARATZAS和CONSTANTINOS Kardarasstraitforward计算表明，（1/bV）是局部鞅，正如（Xi/bV）是alli的局部鞅一样∈ {1，…，d}；因此，（1/bV）∈ 实际上，当L是局部鞅且L（0）=0时，L>- 1和[L，M]=0，乘积1/bVE（L）是Y的一个元素。虽然我们不会直接使用这个事实，但我们也要注意，Y的每个元素都是这种产品形式。前段的论点确定了含义（2）=> （1） 在理论上1。1.为了完整性，我们现在简要地讨论，条件（2）的失败如何意味着定理1.1中条件（1）的失败；详细的论据见[Kar10，第4节]。需要考虑两种偶然情况：（i）向量a不在矩阵c的范围内，在严格正（P）的可预测集合E上 G） -测量。

在这种情况下，可以定义ζ∈ P（X），例如在cζ=0时，过程R·hζ（t），dX（t）i=R·hζ（t），a（t）i dG（t）在任何地方都是不递减的，最终严格地为正。这直接意味着Y=.（ii）存在一个d维可预测过程ρ，因此A=cρ成立（P G） -a.e。；但这件事RThρ（t），c（t）ρ（t）i dG（t）=∞对于某些T>0，有正概率。然后，注意到ρ1{|ρ|≤n}∈ 所有n的P（X）h olds∈ N、 定义Vn=ER·ρ（t）1{|ρ（t）|≤n} ，dX（t）, 我们可以证明集合{Vn（T）|n∈ N} 概率是无限的。这同样意味着Y= .的确，如果Y不是空的，那么对于任何Y∈ 检查Y vn是否是非负的局部马丁盖尔很简单，因此，它是所有n的超鞅∈ N.根据杜布的极大等式，这意味着{Y（T）Vn（T）|N∈ N} 概率有界；因为Y是严格正的，所以{Vn（T）|n∈ N} 概率也是有界的。但我们已经看到，事实恰恰相反。备注1.2。A约化：在定理1.1的条件（2）下，给定的d维可预测p过程H属于p（X）当且仅当ifR·hH（t），c（t）H（t）i dG（t）为整值。实际上，柯西-施瓦茨不等式（另见[KS91，命题3.2.14]）和（PG） -identitya=cρ暗示thenZ·| hH（t），a（t）i | d G（t）≤Z·hH（t），c（t）H（t）i dG（t）1/2Z·hρ（t），c（t）ρ（t）i dG（t）1/2，并表明r·| hH（t），a（t）i | dG（t）具有更为严格的价值。在定理1.1的条件（2）下，我们有P（X）=P（M）。备注1.3。一种解释：从（1.2）可以看出，过程bv可以被解释为可预测过程ρ（被视为“投资组合”）产生的严格正财富，从一个资本单位开始。

X的成分代表股票市场上各种资产的回报；严格正过程Si=E（Xi）是这些资产的价格；ρ的组成部分代表投资于每项资产的当前财富的比例；任意过滤条件下连续半鞅的可选分解5，而标量过程θi=（bV/Si）ρi（分别，ηi=bVρi）保留了投资于各种资产的股份数（相应的电流量）。1.4. 可选分解定理。以下是这项工作的主要结果。它在第2节中得到了批准。定理1.4。假设y6=. 设V是一个适应的c`adl`ag过程，从下面局部有界。那么，下面的陈述是等价的：（1）乘积yv是一个局部超鞅，对于所有Y∈ Y.（2）过程V的形式为（1.3）V=V（0）+Z·hH（t），dX（t）i- C，H在哪里∈ P（X）和C是一个非减量的、右连续的、自适应的过程，C（0）=0，从上面看是局部有界的。备注1.5。关于唯一性：在目前的环境中，V的分解（1.3）在以下意义上是唯一的：如果V=V（0）+R·hH′（t），dX（t）i- C′与（1.3）一起表示H′∈ P（X）和C′是一个非减量、右连续和自适应过程，C（0）=0，然后C=C′和R·hH（t），dX（t）i=R·hH′（t），dX（t）i保持模消失。事实上，莱比：=1/bV，D=C′- C、 F:=H′- H、 注意，通过D=bYR·hF（t），dX（t）是一个连续路径局部鞅。这是根据最后一个等式右边的部分积分得出的，方程（1.2）表示bv，定理1.1中的性质（2）表示ρ。

（关于后一个局部鞅性质，另见蕴涵的证明（2）=> （1） 在理论上1。4在§2.2开头）再按部分积分，我们可以看到r·by（t）dD（t）=D-R·D（t）-) dbY（t）既是一个连续的路径局部鞅，又是一个有限变分过程，它由（t）dD（t）=0模消失。因为Ceby是绝对正的，最后一个事实意味着D=0保持模消失，完成了论证。最后，让我们注意到，对于被积函数H和H′，我们只能得出结论，H=H′保持在（P G） -a.e.感觉。2.定理1.4的证明我们将用lc表示具有连续路径的所有局部鞅L的集合，且L（0）=0；此外，我们将用LDL表示所有局部鞅L的集合L>-1和L（0）=0，它们是完全不连续的，即满足[L，λ]≡ 0表示所有∧∈ 信用证。2.1. 中间结果。为了证明定理1.4，我们首先分离出最终只能处理连续路径局部鞅的结果。引理2.1。设B是上半鞅的局部有界，具有以下性质：6 IOANNIS-KARATZAS和CONSTANTINOS-KARDARASoB+[B，L]是局部子鞅，对于EVERY L∈ Ld.o[B，L]=0，f或每L∈ 立法会。那么，B实际上是非递减的。证据第一个性质意味着B本身是一个局部子鞅（仅取L）≡ 0）。用B代替B- B（0），我们可以假设B（0）=0。此外，标准的局部化参数意味着我们可以从上面取B为有界；因此，我们假设b的存在∈ R+这样B≤ b、 这意味着b处的th是最后一个元素b的实际子部件(∞), E[B（T）]≥ E[B（0）]=0对所有停止时间T保持。现在考虑一个可数集合（τn）n∈Nof可预测的停止时间，耗尽了B的可能跳跃时间。

定义可预测集j:=[n∈N[[τN，τN]]，我们注意到过程bj:=Z（0，·]J（t）dB（t）=Xn∈NB（τn）1{τn≤ ·}是一家当地的子公司我们首先要证明BJ是不减损的，这相当于证明了这一点B（τn）≥ 0全部保留n∈ N.为此，我们为每个N∈ N F（τN）-)-可测随机变量Pn:=P[B（τn）<0 | F（τn）-) ] 1{τn<∞}.关于{τn<∞, pn=0}，我们有B（τn）≥ 0 . 为了n∈ N和k∈ N、 我们定义了Ln，k∈ Ld是局部鞅，Ln，k（0）=0，在τn处有一个跳跃，这样Ln，k（τn）=1.- （1/k）{pn>0}（1/pn）1{B（τn）<0}- 1..我们注意到B+[B，Ln，k]=B在{τn<∞ , pn>0}我们有 （B+[B，Ln，k]）（τn）=B（τn）1 + Ln，k（τn）=B（τn）k-1.- （1/k）pn(B（τn））-.特别地，施加在B上的性质意味着B+[B，Ln，k]是一个局部子鞅，在[0，τn]上以B+1/k为界。因此在{τn<∞, pn>0}我们有[B（τn）（1+Ln，k（τn））|F（τn-) ] ≥ 0，它转换为(B（τn））-| F（τn）-)≤E(B（τn））+|F（τn）-)1 +（k）- 1） /pn关于{τn<∞ , pn>0}表示所有k∈ N.发送k→ ∞ , 因此B（τn）≥ 0对{τn<∞, pn>0}。任意过滤条件下连续半鞅的可选分解- BJ=R（0，·](Ohm×R+\\J（t）dB（t）也是一个不减损的过程。我们注意到，B′继承了B的一些性质：特别是，我们有B′（0）=0和forevery L∈ Ld，p进程B′+[B′，L]=+Z·(Ohm×R+\\J（t）dB（t）+d[B，L]（t）是当地的一个次码头。我们还有B′≤ B≤ b、 此外，b′的停车时间仅为jum ps。为了简化表示法，我们用B代替B′来表示这个过程的剩余部分，假设从现在开始，B只在完全不可访问的停止时间跳跃。