相对价格的日内季节性仓位大小独立性

单个股票平均值的股票平均值在零左右变化。平均挥发率随时间呈对数增加。倾斜度在不同的[-3，3]的平均值为零。单股峰度值介于[-2，6]的平均值为1，其股票平均值在一天开始时从2左右开始，并在一天的第一分钟迅速下降到平均值1。4.2横截面日内季节性图8中的每条路径代表特定日内特定指数时刻的演变（即一条路径，一天时刻）。与单一股票波动性的情况一样，横截面离散度hσd（k）i随时间缓慢增加（图8（b））。横截面宽度hζd（k）i取区间内的值[-1,1]的平均值为零（图8（c））。平均峰度hκd（k）i从大约2的值开始。4.3 C型波动率与我们在第3.3节中的收益率相似，在图9中，我们展示了单一股票波动率的股票平均值[σα（k）]之间的比较图，对于标准普尔500指数的相对价格，以及t=1和t=5分钟的仓位，横截面波动率hσd（k，t）i的时间平均值和横截面平均值h |ud | i的平均绝对值。可以看出，这三个指标表现出了相同的日内模式（与收益率的情况相同）。

但最重要的事实是要注意到这一天内的0 50 100 150 200 250 300 350-0.008-0.006-0.004-0.00200.0020.0040.0060.0080.01（a）指0.50100150.010.0150.020.0250.03（b）挥发性0.50100150.00250-3.-2.-101234（c）倾斜度0 50 100 200 250 300 350-4.-202468101214（d）峰度图7：单只股票日内季节性：标准普尔500指数单只股票平均值、波动率、偏度和峰度的股票平均值（黑色）。T=1分钟。季节性独立于仓位大小，也独立于我们考虑的指数，但每个指数都具有特征（见插图9）。5我们在上一节中看到的日内模式和仓位大小，相对价格的波动性显示出相同的日内模式（图9）。这种日内季节性与仓位大小和我们考虑的指数无关，但与每个指数的特征无关。事实上，我们已经在图4的第3.3节中建议的退货情况并非如此。如果我们考虑收益的奇异矩（均值和偏斜度），其行为基本相同（噪音在零附近），并且没有任何特定的模式，独立地为0 50 100 200 250 300 350-0.02-0.015-0.01-0.00500.0050.010.0150.020.025（a）指0.50 100 150 200 250 300 3500.0020.0040.0060.0080.010.0120.014（b）挥发性0 50 100 150 200 300 350-1.-0.500.511.5（c）偏度0 50 100 150 200 250 300 3500123456（d）峰度图8：横截面日内季节性：标准普尔500指数（黑色）横截面平均值、波动率、偏度和峰度的时间平均值。T=1分钟垃圾箱。箱子大小（如图2、3和10所示）。但对于偶数收益时刻的情况，尽管它们表现出众所周知的U型和倒U型，但这些模式取决于binsize。

图11和图12很好地说明了这一事实，其中我们选择了5个不同的箱子大小值，从T=0.5到T=10分钟。在这些图中，我们显示了标准普尔500指数横截面波动率和峰度的时间平均值，但CAC 40或任何其他指数以及单只股票波动率和峰度的时间平均值也可以显示类似的仓位大小依赖性。另一方面，峰度是双星大小的递减函数，当我们考虑到“小”的星仓大小时，倒U型很明显，在我们的例子中，这发生在T=1和T=0.5分钟的星仓（图12）。这10:00 11:00 12:00 13:00 14:00 15:00 16:000.0020.0040.0060.0080.010.01210:00 11:00 12:00 13:00 14:00 15:0016:000.0020.0040.0060.0080.010.012CAC 40标准普尔500标准普尔500图9:C型波动率：单只股票波动率的股票平均值[σα（k）]，标准普尔500指数相对价格的横截面波动率hσd（k，t）i的时间平均值和横截面平均值h |ud | i的平均绝对值。T=1，T=5分钟箱。

插图：CAC 40（蓝色）和标准普尔500（黑色）。10:00 10:30 11:00 11:30 12:00 12:30 13:00 13:3014:00 14:3015:0015:30 16:00-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81T=0.5T=10（a）T=0.5分钟bin10:00 10:30 11:00 11:30 12:00 12:30 13:00 13:30 14:00 14:30 15:00 15:30 16:00-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81T=1T=10（b）T=1分钟区间图10：横截面偏度的时间平均值：T=0.5和T=1的一天模式与标准普尔500指数的T=10分钟区间的比较。代表一种确认，即在小尺度上，收益具有更大的尾部，而在长时间尺度上，收益更为高斯[4,8,9,10]。10:30 11:00 11:30 12:00 12:30 13:00 13:30 14:00 14:30 15:00 15:30 16:000.511.522.5x 10-3T=0.5T=1T=3T=5T=10图11:U型波动率中的仓位大小依赖性：标准普尔500指数5个不同仓位T值的横截面波动率的时间平均值。6日内异常模式我们为了探索相对价格的日内季节性而产生的动机之一是由于Kaisoji之前的工作[12]。在他的研究中，他发现，价格高值中相对价格集合的互补累积分布函数的上尾可以用幂律分布很好地描述，当指数接近二时，日本的互联网泡沫破裂。考虑到我们最近的发现，我们建议在相对价格的日内模式中使用仓位大小独立性，以描述指数的“非典型日”和股票的“异常行为”。横截面力矩的时间平均值代表平均日内特定指数力矩的平均行为。在图8中，我们展示了每条路径如何代表分析期间某一天（即一条路径，一天时刻）特定指数时刻的演变。

如果我们直接观察CAC 40和标准普尔500指数的价格，我们可以观察到在第11天，组成两种股票的股票价格下跌。在第11天之前和之后的几天里，（指数）时刻沿着我们的日内模式移动。此外，如果我们随机选择一天10:00 10:30 11:00 11:30 12:00 12:30 13:00 13:30 14:00 14:30 15:00 15:30 16:002345678910T=0.5T=1T=3T=5T=10图12：倒U型峰度中的面大小依赖性：从我们的分析期来看，面大小T的5个不同值的标准普尔500的横截面峰度的时间平均值，在大多数情况下，我们当天的指数将表现为日内的季节性（如图13所示），但第11天的指数不会。在图13中，我们用蓝色和蓝色显示了随机选取的3天内平均值（a）和波动率（b）的（横截面）日内季节性。这些天我们指数的平均表现（时刻）与我们的日内模式一致。与红色显示的第11天对应的曲线并非如此，该曲线明显偏离预期行为。对于标准普尔500指数来说，这可以被称为“非典型的一天”。我们可以使用与之前相同的推理来描述股票中的“异常行为”。正如我们在第4.1节中所说，图7中的每个路径代表构成标准普尔500指数的股票中某一特定时刻的平均演变。这些单只股票时刻的股票平均值代表了我们分析期间平均一天内平均股票的该时刻的平均行为。这意味着，如果我们从一组股票中随机挑选一只股票，在大多数情况下（其时刻）将表现为我们的日内季节性。

图14清楚地说明了这一点，其中我们展示了用蓝色表示的平均值（a）和波动率（b）的日内季节性，以及用蓝色表示的随机挑选的3只股票各自的单只股票时刻。可以看出，0 50 100 150 200 250 300 350的平均行为-0.015-0.01-0.00500.0050.010.0150.020.0250.03（a）平均值0.50 100 150 200 250 300 35000.0020.0040.0060.0080.010.0120.014（b）波动性图13:S&P 500非典型日：第11天（红色）和随机选择的三天（透明蓝色）内S&P 500的横截面平均值和波动性（蓝色）、横截面平均值和波动性的时间平均值。这些股票的时刻随着我们的日内模式而变化。然而，红色显示的曲线并非如此，这些曲线是特意选择的，以说明在这种情况下，股票228相对于预期的表现如何异常。0 50 100 150 200 250 300 350-0.01-0.008-0.006-0.004-0.00200.0020.0040.0060.0080.01（a）平均值0.50100150.010.0150.020.0250.03（b）波动性图14：异常股票行为：228只股票的平均值和波动率（蓝色）、平均值和波动率（红色）以及从标准普尔500指数（蓝色）中随机选择的三只股票。7本报告中的讨论，我们分析了单个和横截面（或集体）股票动态的日内季节性。为了做到这一点，我们通过一个典型的一天中其收益（和相对价格）时刻的演变来描述一只股票（或一组股票）的动态。我们所说的“单只股票日内季节性”是指一只平均股票在一个平均日内的收益（和相对价格）时刻的平均行为。同理，横截面日内季节性不超过指数时刻的平均日行为。

我们展示了收益率（图2和图3）和相对价格（图7和图8）的日内季节性，并比较了单只股票波动率的股票平均值[σα（k）]、横截面波动率的时间平均值hσd（k，t）i和等权指数h |ud | i的平均绝对值（图4和图9）。在返回的情况下，有一件有趣的事情值得观察，那就是这些“模式”实际上取决于垃圾箱的大小。这一事实通过5个不同的仓位大小值得到了很好的说明，图11显示了波动性，图12显示了峰度，当我们考虑“小”仓位大小时，其倒U型是明显的。在相对价格的情况下，波动率也表现出相同的日内模式（图9），但与收益率相反，它与仓位大小和我们考虑的指数无关，但对每种印地安人来说都是特征性的。在第6节中，我们建议如何使用相对价格中日内模式的仓位大小独立性来描述指数的“非典型日”和股票的“异常行为”。图13和图14显示了这一点，我们展示了蓝色的平均值（a）和波动率（b）的日内季节性，以及随机选取的蓝色的3天横截面动量（以及3只股票的单股力矩），我们看到了它们的平均力矩行为如何随我们的日内模式移动，而第11天和股票的情况并非如此228.感谢Steban Guevara感谢Anirban Chakraborti、Frederic Abergel、Remy Chichepatiche和Khashayar Pakdaman的支持和讨论。特别感谢欧盟委员会、厄瓜多尔政府和高等教育国家委员会、Ciencia、Tecnolog、Innovaci、Senecyt。参考文献[1]A.阿德马蒂和P.佩德勒。

日内模式理论：成交量和价格变化。《金融研究回顾》，1988年1:3-40。[2] 安徒生和博勒斯列夫。金融市场的日内周期性和波动持续性。《经验金融杂志》，4:115-1581997。[3] R.Cont，《资产回报的经验性质：程式化事实和统计问题》。《定量金融》，1223-2362001年。[4] A.Chakraborti等人，《经济物理学评论：I.实证事实，定量金融》，2011年11:7991-1012。[5] L.Borland，《恐慌时期的统计特征：作为自组织系统的市场》，数量金融，12:92012。[6] L.Borland和Y.Hassid，不同时间尺度上的市场恐慌。arXiv:1010.49172010。[7] R.Allez和J.-P.Bouchaud。个人和集体股票动态：日内季节性，New J.Phys。，13 025010, 2011.[8] P.Gopikrishnan、M.Meyer、L.A.Amaral和H.E.Stanley，股票价格变化概率分布的逆函数。欧元。菲斯。J.B，3139-1401998。[9] Gopikrishnan，P.，Plerou，V.，Amaral，L.A.，Meyer，M.和Stanley，H.E.，金融市场指数波动分布的缩放。菲斯。牧师。E、 605305-53161999年。[10] L.Kullmann、J.Toyli、J.Kertesz、A.Kanto和K.Kaski，股市指数的特征时间。Physica A，269，98-1101999。[11] T.Kaizoji。市场崩溃的前兆：日本互联网泡沫的经验法则。欧元。菲斯。J.B 50123-1272006。[12] F.Abergel等人，《金融泡沫的横截面估计分析》，http://ssrn.com/abstract=1474612, 2009.[13] J-P.Bouchaud和M.Potters。金融风险和衍生定价理论：从统计物理到风险管理。剑桥大学出版社，2003年。[14] J-P.Bouchaud和M.Potters。随机矩阵理论的金融应用：一个简短的回顾。arXiv:0910.12052009。[15] V.Plerou，P.Gopikrishnan，B。

罗森诺、L.A.阿马拉尔、T.古尔和H.E.斯坦利。金融数据交叉相关性的随机矩阵方法。《物理评论》E，65（6），066126，2002年。[16] A.Utsugi、K.Ino和M.Oshikawa。金融市场交叉相关性的随机矩阵理论分析。体检E，70（2），0261102004。