最优做市的暗池视角

在（\'t，\'x，\'k）下的最小值） [0，T）×S×K，（ii）（p，q，M）∈\'P2，+V*（\'t，\'x；\'k）（分别为\'P2，-五、*（\'t，\'x；\'k）），其中集合\'P2，+V是由P2定义的二阶抛物线超射流P2，+V，+V（\'t，\'x；\'k）的闭合：=p、 q，M∈ R:Vt、 x；“k”≤ V（\'t，\'x；\'k）+p（t）-\'t）+q（s-\'s）+M（s）-（s）,（iii）集合P2，-V=-P2+(-V）是二阶抛物线主题。我们使用定义3.1来证明粘性解的存在性，使用定义3.2来证明不连续粘性解的强比较结果，这意味着唯一性。结果和长期假设见附录。我们进一步注意到，由于控制空间是有界的，终端条件是正则的，等于V（T，x；k）=U（x，k）。有关更多详细信息，请参见例如Pham（2009）。4数值结果在本节中，我们探讨了本文中提出的脉冲控制问题的一些明确示例，并详细分析了它们的定性特征。我们从presentinga玩具模型开始，该模型存在半显式解。然后，我们逐步删除下面列出的简化假设。目前，我们认为（a）中间价格过程遵循算术布朗运动，（b）暗池订单为单位大小，（c）亮池订单为单位大小，（d）暗池佣金δa和δb是先验固定的，（e）限制订单不能部分执行（即z∈ {0,1}，（f）限价单只能以最好的买卖价格（即κ=0）发布，（g）暗池观察系统，可以在固定的离散时间进行干预，（h）g（u，x）=0和u（x，y，s）=y+sx- kx，（i）买卖价差为常数，并设置为k。在假设（h）中，g（u，x）=0意味着暗池是风险中性的。此外，考虑到函数U的选择，它寻求最大限度地提高终端现金金额，前提是通过市场订单对其库存进行全面清算。

让我们把t=t<t<t<···<tN=t作为时间间隔t的等距分区- t、 这样ti+1- ti= > 0 fori=0，1，N- 1.我们通过X（ti+1）=X（ti）+（Nb（ti+1）定义观察到的库存和现金过程- 铌（钛））- （Na（ti+1）- Na（ti）），Y（ti+1）=Y（ti）- （S（ti+1）- δb）（Nb（ti+1）- Nb（ti））+（S（ti+1）+δa（Na（ti+1）- Na（ti））。如果交易仅在暗池内执行，则thusuncontrolled问题的值函数简化为v（t，x，y，s）=EY（T）+X（T）S（T）- kX（T）= y+xs+c（T）- （t）- k（x+c（T）- t） ），式中c=λaδa+λbδb-Kλa+λbc=λb-λa. 接下来，我们介绍在lit池中提交单位规模市场和限制订单的可能性。每次ti时，darkpool都会检查（i）仅在暗池中执行交易，（ii）提交一份市场订单，以便X（ti）=X（ti）是否更方便-) + ξ（ti），Y（ti）=Y（ti-) - ξ（ti）S（ti）+ξ（ti）k,式中ξ（ti）={+1，-1} εm>0，或（iii）提交一份限制订单，使X（ti）=X（ti）-) + η（ti）z，Y（ti）=Y（ti-) - η（ti）S（ti）- kη（ti）z、 式中η（ti）={+1，-1} z是一个{0，1}值的随机变量，P[z=1]=`（z）和P[z=0]=`（z）。在这个特定的例子中，相同动作的不同时间顺序不会影响值函数。因此，我们提供以下定义。定义4.1。让n≤ N设Q:={Qam，Qbm，Qal，Qbl}∈ Nbe分别是[T]中提交的市场卖出（MS）、市场买入（MB）、限价卖出（LS）和限价买入（LB）订单的数量- （n）- 1), T]，使Qam+Qbm+Qal+Qbl≤ N- 1.我们说，如果 Q∈ Q和Q∈ Q6=Q，我们有n*=4.Qi=0（n+i）时间间隔的可区分策略[T]-（n）-1), [T]。情况可以总结如下：我们有四个对象和n- 1个插槽。

我们需要计算我们可能有多少个组合，包括重复，前提是排序不计算，并且一些插槽可能保持为空。这样的数字n*容易获得：n*=（n）-1） Xi=0（n）-1.-i） Xj=0（n-1.-我- j） Xk=0（n-1.-我- J-k） Xh=01=4！Yi=0（n+i）。通过DPP，我们可以通过向后递归来解决上述问题。特别地，假设Q是区间[T]的最优策略- （n）- 1), [T]。然后，值函数由v指定T- （n）- 1), x、 y，s，Qam，Qbm，Qal，Qbl= y+xs+c（T）- （n）- 1)) -k+εmQam+Qbm+金伯利进程- εlQal+Qbl- Kx+Qbl- 卡尔p+Qbm- Qam+c（T）- （n）- 1)),其中P[z=1]=P和P[z=0]=1-p、 价值函数VT-N, x、 y，s，Qam，Qbm，Qal，Qbl=五、T- N,Qam，Qbm，Qal，Qbl是由男B:VQam，Qbm+1，Qal，Qbl如果x<min-εm2k- 1.-\'x，εl- 2k- εm2k（1）- p）-P-\'x,磅：五Qam，Qbm，Qal，Qbl+1如果εl- 2k- εm2k（1）- p）-P-\'x<x<-εl2kp+1- P-\'x，DP:VQam，Qbm，Qal，Qbl如果麦克斯-εm2k- 1.-\'x，-εl2kp+1- P-\'x≤ 十、≤ 闵εm2k+1-\'x，εl2kp-1.- P-\'x,LS:VQam，Qbm，Qal+1，Qbl如果εl2kp-1.- P-\'x<x<-εl+2k+εm2k（1- p） +p-\'x，MS:VQam+1，Qbm，Qal，Qbl如果x>maxεm2k+1-\'x，-εl+2k+εm2k（1- p） +p-\'x,“x”在哪里=Qbl- 卡尔p+Qbm- Qam+c（T）- N). 如果εl<p（εm+3k+pk），则限制买入订单和限制卖出订单永远不是最佳选择。以限制购买订单为例。在每个时间点，当且仅当库存x满足εl时，它们才是最佳选择- 2k- εm2k（1）- p）-P-\'x<x<-εl2kp+1- P-\'x.（4.1）要存在这样的x，必须有εl- 2k- εm2k（1）- p）<-εl+kp2kp<=> 0<εl<p（εm+3k+pk）。同样的条件也适用于限价销售订单的存在。由于上述条件既不取决于时间，也不取决于迄今为止遵循的策略，我们可以将其视为一种与时间和策略无关的条件。按照类似的程序，我们发现上述条件也确保了限价销售订单的存在。

在图1中，我们绘制了通过上述递归关系获得的值函数。在图2中，我们展示了当库存满足方程（4.1）时，εl<p（εm+3k+pk）条件确保限价订单是最佳选择。特别是，这意味着，如果通过限价指令在lit池中交易的罚款不超过图2（a）中的数量p（εm+3k+pk），则限价指令是最优的。相反，在图2（b）中，我们注意到市场指令和暗池活动的非最佳组合优于限制指令，而限制指令永远不是最佳选择。图1:n（n+1）（n+2）（n+3）/24=20475个市场、限制和暗池指令的可区分组合。我们设定了δa=δb=0.25，λa=λb=0.5，k=0.5，εm=5，εl=3，p=0.92。（a） εl<p（εm+3k+pk）（b）εl>p（εm+3k+pk）图2：仅适用于暗池的值函数（虚线），适用于限制订单和暗池（虚线），适用于市场订单和暗池（实线）。如果εl<p（εm+3k+pk），限价订单的表现优于市场订单。我们现在移除假设（a），（b），（f），（g）和（h），并将其替换为（a\'）中间价格过程遵循几何布朗运动，（b\'）暗池订单a和b的大小是随机的，分别支持a和b，（f\'）亮池中暗池柱可以最佳选择的极限价格，即κ6=0，（g\'）暗池可以连续观察和控制其现金和库存水平，（h\'）g（u，x）=-φg（x）=-φx=和U（x，y，s）=y+x（s- k | x |/x）。也就是说，暗池因持有非零库存而受到二次连续惩罚，并在最终日期T清算其所有库存。这体现了暗池的风险逆境，因为大量库存降低了暗池的价值功能。我们假设P[z=0]=`κ（z）和P[z=1]=`κ（z）=1- `κ（z）。

这反映了一个事实，即限价订单的填充概率取决于此类订单的发布距离中间价有多远。关联的QVI是min¨φg（x）- 电视-σsssV- λaZAhV（t，x- a、 y+a（s+δa），s）- V（t，x，y，s）i\'a（a）da- λbZBhV（t，x+b，y- b（s）- δb），s）- V（t，x，y，s）i`b（b）db；V（t，x，y，s）- supξ=±1五、t、 x+ξ，y- ξ（s+ξk），s- εm;V（t，x，y，s）- supη=±1，κ∈[0，\'-κ]Xi=0五、t、 x+ηzi，y- 子s- η（k+κ）,s- εl`κ（zi）<<=0。给定终端条件的形式，我们考虑终端条件h（t，x）=-k | x|-εm.我们参考Cartea&Jaimungal（2012）和Cartea et al.（2014）了解有关该安萨茨的更多细节。然后我们得到：min–φg（x）- th（t，x）- λaZAhaδa+h（t，x- （a）- h（t，x）i`a（a）da- λbZBhbδb+h（t，x+b）- h（t，x）i`b（b）db；h（t，x）- supξ=±1-|ξ| k- εm+h（t，x+ξ）;h（t，x）- supη=±1，κ∈[0，\'-κ]Xi=0|η|（k+κ）zi- εl+h（t，x+ηzi）`κ（zi）<<=0.01 2 3 4-200-150-100-50050100150200时间目录50-周期QVI最优边界市场销售订单slimit Sell Ordersκ=0限价销售订单κ=1限价销售订单κ=2限价集合限价购买订单κ=2限价购买订单κ=1限价购买订单κ=0限价购买订单图3：具有κ=0,1,2的doube障碍问题的最优边界。正如人们所料，随着库存的增加，暗池将首先采取限制订单的措施，并最终采取市场订单的方式。我们注意到，在发布限价订单时，投资越小，做市商发布的中间价就越远。预先指定的非零库存将在最佳边界上产生等量的变化。此外，图3中的对称性是由于客户向暗池提交订单的频率的特殊选择。也就是说，通过选择λa6=λb，我们将失去这种对称性，并看到当λa<λb（resp.（λa>λb））时，最优边界向上（或向下）移动。

为了求解QVI，采用了有限差分法。现在，我们用（d\'）替换假设（d），暗池以最佳方式选择δa∈δa-,δa+δb∈δb-,δb+.QVI现在显示为：min–φg（x）- th（t，x）- supδa=δa±λa（δa）ZAhaδa+h（t，x- （a）- h（t，x）i`a（a）da- supδb=δb±λb（δb）ZBhbδb+h（t，x+b）- h（t，x）i`b（b）db；h（t，x）- supξ=±1-|ξ| k- εm+h（t，x+ξ）;h（t，x）- supη=±1，κ∈[0，\'-κ]Xi=0|η|（k+κ）zi- εl+h（t，x+ηzi）`κ（zi）<<=0。（4.2）在图4中，我们绘制了（4.2）的数值解-200-150-100-50050100150200时间目录50-周期QVI最优边界市场购买订单slimit购买订单κ=0限制购买订单κ=1限制购买订单κ=2暗池δa=δa+δb=δb+暗池δa=δa+δb=δb-暗池δa=δa- δb=δb-暗池δa=δa- δb=δb+暗池δa=δa+δb=δb+限制销售订单κ=2限制销售订单κ=1限制销售订单κ=0市场销售订单图4：具有κ=0,1,2和δa的doube障碍问题的最佳边界-= δb-= 0.2和δa+=δb+=0.4。在图4中，我们看到当库存相对较小时，设置δa=δa是最佳的-δb=δb-因此，为了鼓励暗池订单的到来。然后，例如，当库存增加时，激励降低到δa=δa+和δb=δb-. 如果库存量进一步增加，则δa=δa+和δb=δb+是首选，因为暗池必须增加佣金，以避免达到需要在litpool中下单的阈值。随着终端清算日期的临近，暗池开始向亮池下单的关键库存水平下降。最后，我们观察到，当库存为负时，情况是对称的，即佣金随着库存的减少而增加，而照明池阈值在接近结束日期时缩小。

在最后一次模拟中，我们删除了假设（i），并用（i\'）替换它，引入了随机买卖价差。对于ansatz V（t，x，y，s；k）=y+xs+hk（t，x），QVIs系统可以简化为tomin¨φg（x）- 厚度（t，x）- supδa=δa±λa（δa）ZAhaδa+hk（t，x- （a）- 香港（t，x）i\'a（a）da- supδb=δb±λb（δb）ZBhbδb+hk（t，x+b）- 香港（t，x）i`b（b）db-Xj6=krk-jhj（t，x）- 香港（t，x）i；香港（t，x）- supξ-|ξ| k- εm+hk（t，x+ξ）;香港（t，x）- supη，κ∈[0，\'-κ]Xi=0|η|（k+κ）zi- εl+hk（t，x+ηzi）`κ（zi）<<=0。(4.3)5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-200-150-100-5005010015020050-周期QVI最优边界时间库存（a）第一阶段，k=0.85 10 15 20 25 30 35 40 45 50-200-150-100-5005010015020050-周期QVI最优边界时间库存（b）第二种状态，k=1.35 10 15 20 25 30 35 40 45 50-200-150-100-5005010015020050-周期QVI最优边界时间库存市场销售订单slimit销售订单κ=0限制销售订单κ=1限制销售订单κ=2库存池δa=δa+δb=δb+暗池δa=δa+δb=δb-暗池δa=δa- δb=δb-暗池δa=δa- δb=δb+暗池δa=δa+δb=δb+限制采购订单κ=2限制采购订单κ=1限制采购订单κ=0市场采购订单（c）第三种情况下的k=1.8图5：κ=0,1,2和δa的doube障碍问题的最佳边界-= δb-= 0.2，δa+=δb+=0.4，k=0.8,1.3,1.8。在图5中，我们注意到，随着排列的增加，照明池阈值降低。事实上，做市商倾向于更早地求助于照明池，以避免在时间T持有大量的投资，这将确实是非常昂贵的处置。5结论性意见在本研究中，我们研究了一个黑池所面临的最优做市问题。暗池通过在其客户下单的池内执行交易订单来赚取佣金。通过暗池交易的市场代理从匿名性和有利的价格中获益。

在整个活动过程中，池面临着库存风险，这可以通过（i）控制暗池价差的宽度来降低，以及（ii）通过市场和限价指令进入亮池来降低。暗池活动更受欢迎，因为它可以防止信息泄漏。每当黑暗泳池向光明泳池提交订单时，黑暗泳池就会对该功能进行固定惩罚。正如数字结果所证实的那样，只要库存规模相对较小，暗池就不会在亮池下订单。每当超过某一水平时，黑暗泳池就会通过限价指令求助于光明泳池。限价令的报酬更高，尽管它的执行是不确定的。暗池可以选择限价；我们发现，投资增长越多，就越接近暗池发布的中间价格。这是合理的，因为限价订单的填充强度取决于它们离中间价的距离。如果库存变得非常庞大，市场订单将成为首选，这虽然成本高昂，但有助于确保执行。当做市活动接近尾声时（例如，可能被认为是交易日的尾声），亮池中的市场订单区域扩大，而亮池中的暗池和限制订单区域减少。事实上，做市商在终止日期清算大量存货将招致更高的罚款。这些结论是通过建立一个双障碍标准随机脉冲控制问题，并通过证明相关的值函数是相应动态规划方程的唯一粘性解而得到的。最后，我们提供了四个日益复杂的数值例子。