通过批准投票实现帕累托有效纳什

我们用af P（A）表示所有平均固定点的集合。图1展示了平均固定点的定义。下面的引理表明，甚至包括平均不动点在内的更严格的边界概念也总是存在的，这显然保证了平均不动点的存在（即AF P（A）≠).引理1。每个集合A至少允许一个边界包括平均固定点。证据我们设置x=avg（A），对于t≥2我们设置xt=avg（A\A<，<（xt）-1)).如果A<，<（x）= 然后，xis a边界包括平均固定点。否则，我们知道x>>xbecause只有严格低于平均水平的实用程序被从setA中删除。同样，如果A<，<（x）\A<，<（x）= 然后，xis a边界包括平均固定点。否则，x>>x因为只有严格低于平均水平的实用程序被从A组中删除\A<，<（x）。最多有n种不同的结果，因此对于一些≤n+1我们将有一个<，<（xt）\A<，<（xt）-1)= X是一个包含平均固定点的边界。一个自然的问题出现了：包含平均固定点的边界是否一定是唯一的？下面的例子说明答案是否定的。设A=（（1,1），（0.8,0），（0,0.8）），则（1,1）和（0.6,0.6）均为边界，包括平均固定点。平均固定点的集合不一定是单一的。然而，下面的引理表明，平均固定点集具有以下结构：它必须是（弱）帕累托主导结果的序列。引理2。每两个平均固定点x，y∈afp（A），或x≤≤y还是y≤≤x、 证据。通过矛盾的方式假设x，y满足x>yand，x<yA.≤,≤（十）\A<，<（x）应使x=平均值（（A\A.≤,≤（x） )∪Bx）。我们表示Ax=（A）\A.≤,≤（x） )∪Bx，表示BCx=（A≤,≤（十）\A<，<（x））\Bx互补下边界点（不包括在平均值中）。

同样地，我们表示Ay、By和BCy。注意thaay=（Ax∪F）\图2：集合Ax，Ay，Bx，By，F和G。其中（见图2）F={a∈A.∶Y≤A.≤x、 a≤x}\BCyandG={a∈A.∶A.≤y、 x≤A.≤y}\通过关于平均值x（特别是玩家2的平均值xof），当我们从Ax切换到Ay时，我们添加弱低于x（集合F）的点，移除弱高于x（集合G）的点。因此，y≤x、 这是一个矛盾。平均固定点（引理1）的存在和平均执行点的结构（引理2）允许我们定义最小平均固定点的概念。定义3。A点mafp（A）∈[0,1]是mafp的最小平均固定点∈AF P（A），对于每个y∈AF P（A）它认为y≥≥马夫。注意，引理1和引理2证明了mafp（A）的存在性和唯一性。2.2纯纳什均衡的刻画在陈述我们的主要正结果之前，我们介绍了几个概念。对于集合a，我们用PE（a）={a来表示∈ A.∶ 没有b∈ A使得b>>A}是A的帕累托有效点集。我们的主要积极结果是机制AVδ的纯纳什均衡结果的精确表征。定理1。对于每个集合A和每个0<δ≤1，机制AVδ的纯纳什均衡结果集正是以下两种结果的结合：1。协议结果集sag（A）={（1）-δ） a+δx∶A.∈pe（A），x∈afp（A）和A≥≥x} .2。分歧结果集为（A）={x∈AF P（A）∶没有一个∈A使得A>>x}。平衡结果如图3所示。给出了一个具有单不一致均衡和两个一致均衡的集合A。图3:AVδ的平衡结果。证据见第2.5节。一个简单的推论表明，AVδ是一种匿名机制，所有的均衡结果（近似）都是有效的。推论1。

对于每个集合a，机制AVδ允许一个纯纳什均衡，而AVδ是一个匿名机制，在所有均衡中δ-帕累托有效。推论1的证明。很容易检查AVδ是否是匿名的。也很容易检查AG（A）中的所有元素∪DIS（A）是δ-帕累托有效的。剩下的部分是展示AG（A）∪DIS（A）≠. 引理1afp（A）≠. 对于一些平均固定点X∈AF P（A），如果x不是由任何效用函数支配的帕累托函数，那么x∈DIS（A）。否则，就存在a∈Pe（A）帕累托支配x，然后（1）-δ） a+δx∈AG（A）。定理1可以用社会选择对应关系和虚拟实现来表述。对于一系列实用程序a，我们将最小AFP帕累托效率响应（见定义3）定义为σ（a）={a∈P E（A）∪AF P（A））∶A.≥≥mafp（A）}。定理1的直接推论如下。推论2。这种机制实际上实现了社会选择的对应。事实上，在定理1的证明中，我们展示了一个更强大的结果，该结果刻画了纳什均衡行为集（不仅仅是结果）。对于集合a而言，博弈ΓAVδ（a）的纳什均衡集是以下两种均衡的结合：一致均衡，如果存在帕累托主导的平均执行点x，则存在一致均衡≤≤a换a∈P E（A）。平衡作用曲线如图4所示。图4：协议平衡文件。不一致均衡，如果存在帕累托效率平均点x，则存在该均衡。图5显示了均衡作用曲线。图5：不一致平衡曲线。2.3谈判正如我们所见，建议的批准投票机制是对称的，它只实现了部分有效的结果，此外，结果集是规模不变的（因为均衡结果是规模不变的）。

效率、对称性和尺度不变性是谈判理论中普遍接受的公理，见[14]。因此，在与有限的替代者谈判问题的背景下考虑建议的机制是有效的（该模型之前已经讨论过，见[1]）。谈判背景下的实施主要针对子博弈完美均衡实施进行了研究，参见[3,16,10,1,18]，这对经典谈判解决方案的实施产生了强烈的积极影响。另一方面，Nash实现在文献中受到的关注较少。一个明显的原因是，上述强有力的积极结果对于Nash的实施是不可能的，见[18]。建议的批准投票机制具有多重均衡结果，因此无法确定一个独特的点作为谈判问题的解决方案。事实上，正如我们在附录中的命题3中所示，存在一种具有独特均衡结果的命名机制，其满足近似帕累托效率的要求。尽管如此，该机制确实对讨价还价互动的可能结果做出了一些预测：没有一个参与者在最小平均固定点获得低于其效用的补偿。在这里，我们在经典的“派的划分”问题中证明了这一观察结果（参见Rubinstein[24]）。对于一般谈判集，也可以进行类似的操作。在馅饼分割问题中，有一个商品单元应该在讨价还价者之间分割。有几种方法可以用有限的备选方案来模拟这个问题：1。集合是A=（（0,1），（1,0））.2。集合是conv线（（0,1）、（1,0））的ak网格。即A=（（ck，1-ck）kc=0。还有一种建模方法，它不假设对问题的定义是有效的。3.集合是三角形conv（（1,0）、（0,1）、（0,0））的ak网格。

即A={（ck，dk）∶c、 d∈N和ck+dk≤1}. （2） 对于模型1和模型2，两种机制AV和AVδ的唯一结果是点（，）。这不是很有趣。实际上，（，）是建模1和建模2的每个匿名机制M的唯一结果。这源于这样一个事实：由匿名机制诱导的博弈是一个常数和为1的对称博弈，因此具有唯一的纳什均衡结果（，）。对于δ和kin模型的小值，分析AVδ机制的结果是有趣的（3）。以下命题表明，结果接近于连接点（0.39,0.61）和（0.61,0.39）的效率段。提议1。设A=A（k）为等式（2）中的集合。对于每个k和每个δ>0，机制AVδ的所有纯纳什均衡结果都是（δ+k）-接近于分段conv（（x，1）-x） ，（1）-x、 x），其中x≈0.39是方程x的解-x段中的x+=0∈[0,].在证明命题之前，我们给出了一个关于平均固定点的简单观察结果（给出引理2），这将有助于找到a（k）的平均固定点。引理3。设A为效用函数的对称集合，设x=（x，x）为A的平均固定点，则x=x。根据集合的对称性，（x，x）也是一个平均固定点。根据引理2，它必须是（x，x）≤≤（x，x）或相反（x，x）≤≤（x，x）。在这两种情况下，x=x。图6：分割饼图的平衡示例。命题1的证明。首先，我们将集合A=A（k）的平均固定点近似为误差k。根据引理3，A的所有平均固定点的形式为（x，x）forx∈[0,].我们考虑的是连续版本，其中我们替换了集合A\A<，<（x，x）和A\A.≤,≤（x，x）通过setB=conv（（0,0）、（0,1）、（1,0））\具有均匀密度的conv（（0,0）、（0,x）、（x,0）、（x,x））。

B的质心近似于A的平均值\A<，<（x，x）和A的平均值\A.≤,≤（x，x）误差高达kb，因为这些表达式之间的差异仅取决于靠近A的边界点≤,≤（x，x）\A<，<（x，x）是A中所有点的最大分数\A.≤,≤（x，x）。B的质心由下式给出-十、(,)-x（x，x） （3） 其中（，）是conv的质心（（0，0），（0，1），（1，0）），（x，x）是conv的质心（（0，0），（0，x），（x，x）），x是这些集合的相应面积。通过平均定点假设，我们从公式（3）中推断：-十、-十、=十、=>十、-x+=0这个方程对x有唯一的解∈[0,]. 因此，（k）的所有平均固定点（y，y）都位于（x，x）附近。最后，通过对OREM 1中平衡结果的描述，我们得到所有平衡都是一致平衡，其中一致点是（a，1）-a） 为了你≤A.≤1.-结果δ接近（a，1）-a） 。参见图6。值得解释的是，为什么允许低效率的替代方案可以创造更广泛的高效谈判解决方案。无效的替代方案会增加惩罚的程度；i、 例如，玩家i可以减少玩家3的报酬-我在下面（图6）。因此，新的均衡出现了，玩家i采取了一种“聪明”的惩罚策略，在这种策略中，对手的最佳选择是同意一个他得到的分数低于1的分区。图6中玩家1的这种“聪明”惩罚策略的一个例子是，该策略包括右下梯形中的22个实用程序和一个额外的实用程序（0.6,0.4）。

这种策略在上述意义上是“聪明的”，因为它平衡了玩家1的两个相反目标：一方面，惩罚玩家2，迫使玩家2同意不公平的划分；另一方面，排除对自己不利的替代方案，因为正概率δ考虑了这些不利的替代方案（即使在达成一致的情况下）。2.4帕累托前沿允许该机制返回彩票结果，而我们测量了机制相对于纯效用的效率。例如，考虑以下备选方案集合：A=（（1,0）、（0.6,0）、（0,1）、（0,0.6））。A的唯一平均固定点为（0.4,0.4），这是帕累托效率（关于toA）。因此，根据定理1（0.4，0.4）是唯一的（不一致）平衡结果。有理由认为均衡结果（0.4,0.4）不是帕累托最优的，因为该机制可以选择具有预期效用（0.5,0.5）的彩票。帕累托最优性的一个更强大的概念（在我们的环境中可能更合适）是帕累托前沿。给定集合a，如果没有替代y，则结果x=（x，x）ε-接近帕累托前沿∈conv（A）使得y>>x+（ε，ε）。我们认为，机制AVδ可以修改为一个类似的机制，其结果在所有均衡中任意接近帕累托前沿。备选方案[n]上的k-均匀分布是[n]中备选方案的多个大小k上的均匀分布。我们用k-UN（[n]）表示[n]上所有k-一致分布的集合。在修改后的机制AVkδ中，每个参与者提交一组经批准的备选方案的k-均匀分布。也就是说，每个玩家i=1，2提交一个列表Li k-UN（[n]）。机制AVkδ选择结果彩票的方式与AVδ完全相同。

唯一不同的是，这里我们有一个均匀分布在k-均匀分布上，这导致了一个分布在替代品上。提议2。AVkδ机制允许每个集合都有一个纯纳什均衡，AVkδ机制是一个匿名机制，它是δ+k-在等位平衡中接近帕累托前沿。证据集合A上的机制AVkδ与集合k-UN（A）上的机制AVδ相同，其中k-UN（A）={Ei~u（ai）∶u是[n]上的k-均匀分布。}是a上k-均匀分布下的预期结果集。通过推论1，这证明了纯纳什均衡的存在。对于帕累托边界上的每条线conv（a，b），其中a，b∈pe（A），结果{mka+k-mkb}km=1是帕累托前沿的k-均匀分布结果。图7展示了isk远离帕累托前沿的每一点都是由帕累托主导的，这是由一个这样的矩阵Mka+k构成的-mkb。因此δ-Pareto对k-UN（A）的效率意味着δ+k接近A的帕累托前沿。根据推论1，集合k-U N（A）上机制AVδ的所有平衡都是δ-帕累托有效的（相对于k-UN（A）），这意味着注意到k-均匀差异分布的数量是有限的，并且等于（N+k）-1k-1).图7：由k-均匀结果支配的帕累托点。集合A上的机制AVkδ的所有平衡都是δ+k-靠近帕雷托前线。2.5定理1的证明我们首先介绍几个额外的符号。对于一套实用程序 Awe表示为IS={i∈ [n]∶ 人工智能∈ S} 相应的备选方案集。

在相反的方向上，对于一组备选方案L，我们用AL表示A={al∈A.∶L∈五十} 对应的公用事业文件集。对于包含边界点B的固定点xA.≤,≤（十）\A<，<（x）（即平均值\A.≤,≤（x） )∪B） 我们把B中的边界点分成两个集合Bi={a∈B∶ai=xi}，其中BB=B.我们首先展示每个结果x=（x，x）∈ DIS（A）是一种不一致的平衡结果。我们将公用事业分成两部分\A.≤,≤（x） 分为两组：Di={a∈A.∶对于i=1，2，ai>xi}。比安和迪亚尔的场景如图8所示。固定点x属于DIS（A），因此不存在A∈ 这样A>>x。那么设置B∪ 丹B∪ 敢于脱节。因此，公司的薪酬（IB∪D、 IB∪D） 是x（因为x是一个固定点）。我们认为，行动图8：分歧均衡。（IB）∪D、 IB∪D） 这是一个纳什均衡。玩家1批准所有高于平均水平的备选方案（D），不批准所有低于平均水平的备选方案。因此，玩家1不能通过保持分歧来增加他的报酬。请注意，B中的所有备选方案∪对玩家1来说，这是低于平均水平的选择。因此，每一项协议都会减少第一层的支付。对称参数证明玩家2没有可证明的偏差。在我们证明AG（A）中的每一个结果都是不一致均衡结果之前，我们先介绍一个引理，这将有助于它的证明。引理4。设x为平均固定点，设A是一个（玩家2）的列表，它批准了A<，>（x）中的所有备选方案∪乐队不赞成一场比赛中所有的选择≤,≤（十）\B.ThenmaxSAavg（S）∪S） =x.证明。对于S={a∈ A.∶ A.≥ x} 我们有平均值∪ S） =x，这是因为x是一个平均固定点，每一个选择的边界点{a∈A.∶a=x}不影响AVG。

这也是平均值的最大值∪S） =x，因为每一次对上述平均值的反对或对低于平均值的备选方案的批准都会降低平均值。现在我们证明了每个结果（1-δ） a+δx∈ AG（A）是一个协议平衡体。我们用R=A表示≤,≤（a）∩ A.≥,≥（x） 实用程序显示在由两点a和x构成的矩形中。我们还表示C=a>，≤（x，a）\ R、 C=A≤,>（a，x）\R.设R=RRbe R中公用事业项目的任意划分。图9显示了Bi、R和C集。图9：协议均衡。我们认为行动文件（L，L）=（IB∪C∪R∪{a} ，IB∪C∪R∪{a} ）是一种协议平衡。首先很容易检查我∩L={a}和L∪L=I（A）\A.≤,≤（x） )∪B、 因此，结果确实是o=（1）-δ） a+δx.参与者1无法改善“不一致”支付，因为所有高于平均水平的替代方案都得到其中一个参与者的批准（即，属于L∪五十） ，不一定是玩家1。此外，所有低于平均水平的备选方案都被玩家1（即不是L）否决。现在我们证明了“协议”支付不能通过参与者1的单边偏离而得到改善。玩家1可以破坏协议（即，不同意a），通过引理4，这将使他的支付减少到xor更少。最后，玩家1不能通过切换到另一个（或添加额外的）协议选项来提高协议支付，因为对于所有b∈五十、 b≤a、 对称参数证明player2没有可证明的偏差。现在我们转到证明的第二部分，在这里我们证明了所构造的上述均衡都是博弈的纯纳什均衡。我们首先证明，在每个协议均衡中，协议结果是唯一的：引理5。设（L，L）为纯纳什均衡，使得∩L≠ , 然后是everyi，j∈L∩五十、 ai=aj。证据假设我∩L≠  交叉口包含具有不同特性的备选方案。