准平稳状态的稳定性和层次性：金融市场

（18） 这里c表示随机变量c（t）的值，在该值处，漂移或扩散的值被评估。在这一瞬间，我们区分了c（t）和一个特定的数值c。等式中的平均值。（17） 和（18）在条件‘c（t）=c保持的‘c（t）的所有实现上执行。因此，这些方程表达了平均位移的时间导数及其在c处的平方c（t）。表达式（17）和（18）允许直接从参考文献中所示的经验数据估计漂移和扩散。[30,19]和下面的草图，参见参考文献[20,31,1,32]了解应用。在目前的工作中，我们通过It^o随机过程对c（t）进行建模，并根据经验时间序列估计相应SDE的确定性和随机部分。4.2. 条件动量的估计对于直接从数据集中估计漂移和扩散，我们主要遵循参考文献。[30, 20, 19, 31]. 在这里，我们简要描述了提取函数的估计程序，即第一个条件矩（17），因为对分离函数（18）的估计是相应的。我们首先介绍了一个新函数mc（τ）=h′c（t+τ）- \'c（t）iτ其中漂移函数f（c，t）=limτ→在τ=0时获得0Mc（τ）（20）。我们注意到，为了简洁起见，我们在公式（19）中的M参数中去掉了时间变量t。为了估算固定c下的Mc（τ）作为τ的函数，我们将时间序列c（t）划分为具有相同数量数据点的单元。对于每一个单元，函数Mc（τ）然后被估计为asM’cI（τ）=h’c（t+τ）- \'c（t）iτ\'c（t）∈I.（21）这里的“ci”是容器I中的“c（t）的平均值，并对该容器中的所有数据进行平均。我们注意到，对于经验数据，这种估计只能针对τ=1、2、3….的离散值进行。。。。

然后，我们将τ中的二阶多项式拟合为（21）的经验估计值，提取拟合函数常数系数下漂移的期望值。（19）的估计值仅适用于经验时间序列c（t）的实际值。与其分析漂移函数（17）本身，不如考虑势函数v（`c，t）=-cZf（x，t）dx，（22）定义为f的负本原积分。减号是一种惯例。系统的动力学以V（`c，t）的形式编码：势函数的局部极小值对应于系统振荡的准稳定平衡点或准稳定固定点。相比之下，局部极大值对应于不稳定的固定点。我们注意到，势函数被定义为一个加性常数。对于无因次变量c（t），势函数的因次是倒数。4.3. 市场状态动态为了量化处于固定市场状态α的市场动态，我们限制对（21）的估计，只评估数据点{c（t），\'c（t+τ）|t∈ α} （23）对于每个状态α。因此，我们只考虑市场国家内第一个主要组成部分的位移。不允许状态转换。用这种方法估计的势函数提供了有关市场状态稳定性的信息，并揭示了固定点。正如我们在第二节中提到的。3.1根据图6所示的层次结构，我们将状态分为三个主要类别。我们只评估数据点{c（t），\'c（t+τ）|t，估计每个A类的势函数∈ A} 。这里是t∈ A象征性地表示市场处于A类状态的所有时间点。例如，市场可能在时间t处于状态1，在时间t+τ处于状态2，因为这两个集群属于同一类。

因此，我们只考虑类内的显示，并允许在同一类的状态之间进行状态转换。5.结果我们以秒为单位显示了估计的扩散函数（18）。5.1并以秒为单位讨论估算的势能函数（22）。5.2. 在第5.3节中，我们将更详细地了解dot Combuble。关于市场状态动态的详细研究，见Sec。5.4.5.1. 差异术语为了量化差异函数g（`c，t）的时间依赖性，我们估计了四个交易年（1008个交易日）时间窗口上的第二个条件时刻（18），该时间窗口以两个交易月（42个交易日）为单位移动。我们总共得到了100个g（`c，t）的估计值，如图7所示。正如我们在第二节中解释的。4.2，仅可对c（t）的实际值进行估算。因此，我们将所有估算值放在一个图表中。然后，我们通过时间无关函数g（\'c）=λp（\'c）计算估计值- cmin）（cmax- “c），（25）这很好地验证了我们的数据，见图7。扩散函数（25）被广泛用于建模随机相关性[33,34,35,36,37]，因为它将相关性的值限制在范围[cmin，cmax]内。根据估计参数λ=0.0245 td-1/2，（26）cmin=0.042，（27）cmax=0.918，（28）我们得到系统的特征时间标度t=λ=1666个交易日，（29），这大约是分析期的三分之一。如图7所示，一次对整个时间序列c（t）进行一致性估计（18）。我们注意到，我们仅对滑动窗口上获得的数据进行了（25）拟合。0.0.2 0.4 0.6 0.8 1.0扩散函数c（t）g（c）[10-2td-1 2]0 0.5 1 1.5●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●滑动窗如图7所示。滑动窗口上估计的扩散函数（交叉（+））。圆圈（o）一次显示整个时间段的估计扩散函数。

实心曲线显示了固定函数（25）。我们仅使用Fit.5.2滑动窗口上的估计值。在整个时间周期内，势函数的时间演变为了量化漂移函数f（`c，t）的时间依赖性，我们估计了四个交易年（1008个交易日）时间窗口上的初始条件矩（17），该时间窗口以两个交易月（42个交易日）为单位移动。我们总共得到了100个f（`c，t）的估计值。然后我们计算势函数（22），如图8（a）-（b）所示。日期标记了估计时间窗口中间的时间点。与扩散函数相比，漂移函数变得与时间有关。因此，很难在一张图中以图形方式呈现多条曲线，因为势函数（22）被定义为一个加性常数。为了解决这个问题，我们设置V（\'c，t）=0，（30），其中\'cdenotes表示V（\'c，t）在其值的前半部分具有最小值的值。在这种表示法中，势函数越深，边界就越高。图8（a）显示了1992年初至2004年底的结果。第节中描述的特定时间段。3.2在势函数的形状上可以清楚地识别。它在开始时是可变的，并且近似恒定。在1997-98年的动荡时期，它在中期变得更深。两个局部极小值显示了市场的不稳定性。到这一时期结束时，网络危机以V（`c，t）的形式反映出来。它的边界变得更高，并且在高值c（t）时有许多深极小值。图8。（彩色在线）从1992年初到2004年底（a）和从2002年到2012年底（b）的潜在函数（22）的时间演变，估计时间窗口为四个交易年，以两个交易月为单位移动。

日期标记估计时间窗口中间的时间点。根据式（30）表示。图8（b）显示了2002年初至2012年底的结果。与前一种情况类似，在2000年代初相对平静的时期，V（`c，t）是波动且恒定的。在2007年下半年，它的形状发生了巨大的变化，并在“c（t）”左右达到了一个局部最低值≈ 0.4. 在21世纪末的金融危机期间，边界变得非常高。我们注意到，V（`c，t）在2010年后不会变为FL。我们证明了c（t）由一个随机过程（16）描述，该过程具有一个与时间无关的扩散项和一个与时间相关的漂移函数。以秒计。2我们表明，平均相关系数是集体市场动力学的主要变量。因此，势函数的非平稳性可以用市场上集体相关结构的确定性变化来解释。5.3. 在上一节中，我们放大到网络泡沫，展示了市场在时间上的演变，在不同的市场状态之间来回切换。作为州过渡的一个例子，我们估计了1999年初至2006年初期间的V（`c，t）。间隔覆盖了圆点可拼性。为了获得更高的时间分辨率，我们在两个交易年（512个交易日）的时间窗口上进行估计，并在一个交易月（21个交易日）内逐步滑动。图9显示了估计的势函数的时间演化。一开始，市场主要集中在州1和州2，见图5。在危机期间，c（t）的价值增加。因此，估计的潜在功能如图9所示。1999年初至2006年初期间，势函数（22）的时间演变，涵盖了网络泡沫。

估计是在两个交易年的时间窗口内进行的，该时间窗口按一个交易月的步长移动。日期标记估计时间窗口中间的时间点。根据等式（30）表示。沿c轴移动。一个很深的极小值逐渐形成，边界变得更高。市场在第三、第四和第六州之间跳跃，到2002年底在第七州结束。到2003年底，市场进入第6个州，只在第4和第1个州出现短暂的跳跃。与危机前相比，潜在函数变得恒定，但其形状发生了变化。因此，市场从稳定状态跳到动荡状态，然后再跳到另一个稳定状态。5.4. 市场状态动力学：稳定性、层级和状态转换在前面的章节中，我们展示了平均相关系数由一个随机过程（16）描述，该过程具有时间无关的扩散函数（25）和时间相关的漂移函数。特别是，平静期和动荡期可以通过V（`c，t）的形状来区分。为了量化给定市场状态下的市场动态，我们估计数据点的潜在函数（23）。因此，我们只考虑了固定市场状态下的错位。状态3、4和5的时间序列太短，无法估计（17），●●●●●●●●●●●●●●●●●●●0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18c（t）012V（c）[10-5td-1]●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●状态1状态2+3状态1+2+3（a）0.16 0.18 0.20 0.22 0.24 0.26 0.28c（t）●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●01234V（c）[10-5td-1]●州4+5州6州4+5+6（b）0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65c（t）●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●024681012141618V（c）[10-5td-1]●状态7状态8状态7+8（c）0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 c（t）●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●状态2+3状态1状态4+5状态6状态7状态80246810214V（c）[10-5td-1] （d）●StableUnstable图10。

（a） -（c）状态（23）（填充圆和三角形）内位移的势函数（22）。三组（24）内位移的势函数由带十字（+）的包络线表示。（d） 一次对整个时间序列c（t）估计的总体潜在景观V（c）。所以我们将状态2和状态3以及状态4和状态5的时间序列组合在一起。我们分别以2+3和4+5的比例来计算结果态。如图6所示，这些对由相同类别的状态组成。图10（a）-（c）显示了每个市场状态产生的潜在函数。势函数提供有关市场状态稳定性的信息。这种稳定性的概念不是由于市场占据某一状态所花费的时间，而是由市场的动态给出的。状态1、2+3、6和8是稳定状态，因为它们的势函数只有一个深极小值，因此有一个明确定义的固定点。状态8主要出现在最新的财务危机阶段分布（t）0 0.05 0.1状态转换（a）增量分布期间（t） 0.05 0.1Whitin状态状态转换（b）图11。（彩色在线）状态（黑色，实心）和状态转换（红色，虚线）期间（a）步骤（31）和（b）增量（32）的经验直方图。代表着市场上的强烈集体关联。相比之下，状态7非常不稳定。它的势函数不仅有两个局部极小值，而且是最深的一个。在市场状态7内，相关结构是非平稳的。复合态4+5具有半开势函数。状态4和状态5是平静期和动荡期之间的中间状态，见图5。

我们注意到，在稳定状态下，SDE（16）用扩散函数（25）和线性漂移函数描述了c（t）。在第3.1节中，我们根据聚类树将市场状态分为三类，见图6。并非所有的市场状态都在给定的时间间隔内同时出现，如图5所示。分析时间段的前四年主要由属于第一类的州1和州2控制。在过去的四年里，基本上只有第七州和第八州出现，这两个州建造了第三级。为了量化状态的层次结构，我们估计点（24）的V（`c，t）。因此，我们考虑了类内的位移，包括状态转换。图10（a）-（c）显示了三类的结果势函数。这些曲线揭示了相应类别的市场状态的潜在函数。与我们一次估算整个时间段的V（`c）的包络类似，如图10（d）所示。每个市场状态的潜在函数在第一个主成分中有一个不同的位置，即不同的c（t）值。因此，我们得出结论，当市场处于给定（稳定）状态时，平均相关系数围绕一个平均值波动，该平均值由潜在函数的最小值确定，见图。10和6。正如我们在第二节中所展示的。2.2，沿FirstPrincipal分量的运动由‘c（t）的时间演化给出。因此，固定状态下的市场动态由沿第二和更高主成分的运动给出，见图。3和4。平均相关系数的大幅度变化导致屈服状态转变。因此，在图10（d）所示的潜在景观中，市场在州与州之间“跳跃”。

为了保持一致性，我们计算每日步长（t）=k~c（t+1）-~市场的c（t）k（31）和绝对增量（t） =| c（t+1）- \'c（t）|。c（t）中的（32）。图11（a）-（b）显示了与状态转换期间的跳跃相比，市场状态内的步骤（31）和增量（32）的分布。正如我们所说的，在状态转换期间，这两个步骤，尤其是增量，平均来说都更大。6.结论几何数据分析和随机方法的结合为复杂系统的集体动力学提供了新的思路。我们将这些技术应用于股市数据，并在滑动时间窗上评估了21年的相关结构。主成分方面的总体市场动态由平均相关系数给出。我们提取了潜在的随机过程，结果发现它有一个与时间无关的随机项和一个与时间相关的确定项。后者以图形方式表示为潜在景观，并提供稳定性和系统固定点的信息。我们建立了市场上不同历史时期与潜在功能的时间演变之间的联系。非平稳的市场动态可以归因于集体市场动力的不确定性部分的变化。我们根据参考文献[10]确定了市场的准平稳状态，并区分了市场动力的三个主要类别：平静、中间和动荡状态。为了量化市场状态动力学，我们估计了潜在函数，仅考虑固定状态下的位移。在给定状态下，平均相关性围绕一个明显的平均值展开，这定义了一个固定点。市场状态下的市场动态是由沿着更高主成分的运动给出的。

状态转变反映在平均相关性的巨大变化中，并对应于潜在景观中的跳跃。我们的结果与参考文献[38]中的随机矩阵方法一致，有助于更好地全面理解市场动态。虽然我们在本文中强调了金融数据的应用，但我们的方法对于任何准平稳复杂系统的研究都是有用的。7.参考文献[1]Friedrich R、Peinke J、Sahimi M和Tabar M R R 2011年物理报告506 87–162[2]穆斯梅西N、阿斯特T和迪马特奥T 2015年《金融网络理论杂志》1 1 1–22[3]Onnela J P、Chakraborti A、Kaski K、Kert\'esz J和Kanto A 2003年《物理脚本》48[4]Mizuno T，Takayasu H和Takayasu M 2006 Physica A:统计力学及其应用364 336–342[5]Bonanno G，Caldarelli G，Lillo F，Miccich e S，Vandewalle N和Mantegna R N 2004欧洲物理杂志B-凝聚态物质和复杂系统38 363–371[6]Tumminello M，Lillo F和Mantegna R N 2010经济行为和组织杂志75 40–58[7]Tumminello M，Aste T，Di Matteo T和Mantegna R N 2005 PNAS 102 10421–10426[8]波齐F、Di Matteo T和Aste T 2013 Sci。代表3[9]Mantegna R N 1999欧洲物理杂志B-凝聚态物质和复杂系统11 193–197[10]M–unnix M C，岛田T，Sch–afer R，Leyvraz F，Seligman T H，Guhr T和Stanley H E 2012Sci。代表。