准平稳状态的稳定性和层次性：金融市场

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英文标题：
《Stability and Hierarchy of Quasi-Stationary States: Financial Markets as
  an Example》
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作者：
Yuriy Stepanov, Philip Rinn, Thomas Guhr, Joachim Peinke and Rudi
  Sch\\\"afer
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We combine geometric data analysis and stochastic modeling to describe the collective dynamics of complex systems. As an example we apply this approach to financial data and focus on the non-stationarity of the market correlation structure. We identify the dominating variable and extract its explicit stochastic model. This allows us to establish a connection between its time evolution and known historical events on the market. We discuss the dynamics, the stability and the hierarchy of the recently proposed quasi-stationary market states.
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中文摘要：
我们结合几何数据分析和随机建模来描述复杂系统的集体动力学。作为一个例子，我们将这种方法应用于金融数据，并关注市场相关性结构的非平稳性。识别主导变量并提取其显式随机模型。这使我们能够在其时间演变和市场上已知的历史事件之间建立联系。我们讨论了最近提出的准平稳市场状态的动力学、稳定性和层次性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Statistical Mechanics        统计力学
分类描述：Phase transitions, thermodynamics, field theory, non-equilibrium phenomena, renormalization group and scaling, integrable models, turbulence
相变，热力学，场论，非平衡现象，重整化群和标度，可积模型，湍流
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Data Analysis, Statistics and Probability        数据分析、统计与概率
分类描述：Methods, software and hardware for physics data analysis: data processing and storage; measurement methodology; statistical and mathematical aspects such as parametrization and uncertainties.
物理数据分析的方法、软硬件：数据处理与存储；测量方法；统计和数学方面，如参数化和不确定性。
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PDF下载：
--> Stability_and_Hierarchy_of_Quasi-Stationary_States:_Financial_Markets_as_an_Example.pdf (5.19 MB)

2022-5-7 19:10:23 上传

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关键词：金融市场 稳定性 层次性 Mathematical stationarity

准平稳状态的稳定性和层次性：以金融市场为例尤里·斯捷潘诺夫、菲利普·林恩、托马斯·古尔、约阿辛皮肯德和鲁迪·施费尔法科蒂、杜伊斯堡大学、杜伊斯堡、德国物理研究所和福温德、卡尔·冯·奥西茨基大学、德国奥尔登堡电子邮件：尤里。stepanov@uni-到期。dePACS数字：89.75-k、 05:45-a、 02.50。FzAbstract。我们结合几何数据分析和随机建模来描述复杂系统的集体动力学。作为一个例子，我们将这种方法应用于金融数据，并关注市场相关性结构的非平稳性。识别主导变量并提取其显式随机模型。这使我们能够在其时间演变和市场上已知的历史事件之间建立联系。我们讨论了最近提出的准平稳市场状态的动力学、稳定性和层次结构。1.简介大数据是近年来的热门词汇，反映出越来越多的电子可用数据需要分析和解释。我们的重点是复杂的动态系统，如金融市场，其中巨大的数据集以多元时间序列的形式存在。这类系统的动力学行为可以通过自组织降低其复杂性[1]。作为单个时间序列测量的系统变量耦合在一起，形成几个主要变量，这些变量准确地描述了系统动力学，并允许进行预测。自组织可能会在观测数据中产生通常难以发现的模式。数据分析技术种类繁多，应用广泛，包括图论信息过滤[2,3,4,5,6,7]、数据聚类[8,9,10,11,12,13]和几何分析[14,15,16,17,18]。所有这些技术都基于数据点之间的相似性度量。

这种方法有一个主要缺点：忽略了测量数据的时间信息。因此，系统动力学没有得到充分考虑。另一方面，复杂系统的动力学变量已经成功地用随机过程来描述[19,1,20]。在这种描述中，变量根据确定性动力学随时间演化，从而获得系统稳定性和固定点，并暴露于一般非平凡的随机波动中。在这里，我们将数据集分析与随机方法相结合，以捕捉系统的完整动态。我们将我们的方法应用于股市数据。类似的技术已被证明在描述复杂的动力学系统[21,22,23]方面是成功的。本文的结构如下：我们展示了数据集，并进行了几何数据分析，以揭示Sec中的主导变量。2.在第3节中，我们确定了金融市场的准稳态。[10]. 我们与已知的历史事件有联系。我们在第二节中介绍了随机分析。4.在第二节讨论我们的结果。5.2. 以秒为单位分析数据。2.1我们介绍了我们的数据集和分析量。我们以秒为单位对数据进行年龄计量分析。2.2.2.1. 观察数量我们分析每日调整后的收盘股价Si（t）i=1。。。，从1992年初到2012年底的21年间，标准普尔500指数中的K家公司中有K家。这些数据可以在金融部免费获得。雅虎。通用域名格式。为了测量相关性，我们使用每日回报率sri（t）=Si（t+1）- Si（t）Si（t）（1）并对其进行局部标准化[24]，以在非常短的时间内平滑趋势。我们用交易日来衡量时间t。然后，我们通过对t=42的时间窗口进行平均来计算K×K相关矩阵C（t），该时间窗口在数据中以一天的步长移动。

C（t）的元素是皮尔逊相关系数cientsij（t）=hrirjiT（t）- hrit（t）hrjiT（t）σ（t）i（t）σ（t）j（t）。（2） 这里σ（T）i（T）=qhrit（T）- Hrit（t）是与时间相关的波动率，sampleaveragehfiT（t）=TtXs=t-在T之前的T个数据点上对数量f（T）的T+1f（s）（3）进行评估。我们注意到，与股价Si和价格回报ri相比，相关系数Cij（T）是有界数量。我们总共得到了N=5169个相关矩阵。在短间隔T上计算的相关矩阵是有噪声的。我们通过平均相关系数来降低噪声，从而得出平均相关系数c（t）=hC（t）iij。（4） 这里。。。iijdenotes所有d=（K）的平均值-K） /2=46971每个相关矩阵C（t）的独立相关系数。我们回忆起光谱分解c（t）=TXa=1λa（t）~ua（t）~u+a（t）=λ（t）~u（t）~u+（t）+TXa=2Oλa（t）λ（t）!（5） K×K相关矩阵C（t）[17,18]。这里λa（t）表示c（t）的ath特征值，~ua（t）表示相应的归一化特征向量，~u+a（t）表示其转置。rankof C（t）是t，因此只有前t个特征值是非零的。对于我们的数据，最大特征值λ（t）=λmax（t）的效率大于其他特征值。~u（t）的所有分量约等于0.05，而其他t的分量-1每次t的特征向量都在零附近传播。因此，u（t）对应于整个市场的动态，如参考文献所示。[17、18]。因此，对相关系数c（t）=hC（t）iij进行平均≈ κλmax（t）（6）我们恢复了最大特征值。这里κ=h~u（t）~u+（t）iij≈ 229（7）是一个经验因素，由于数据中的噪声而出现。最大特征值的时间演化与平均相关系数c（t）密切相关，皮尔逊相关系数为0.998。

因此，λmax（t）和c（t）的数量具有相同的动态性。我们将在第二节展示。2.2“c（t）的值的可变性与我们的数据一样大。图1（a）显示了“c（t）”的时间演化。我们还在图1（b）中展示了标准普尔500指数的时间演变。平均相关系数c（t）92 93 94 95 96 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 1200.20.40.60.8（a）400600800100012001600s和P500指数（b）92 93 94 96 97 98 99 00 01 03 04 05 07 08 09 10 12图1。（a） 平均相关系数c（t）的时间演化。（b） 同一时期的标准普尔500指数。虚线突出显示了第3.2.2.2节所述的经济上不同的时间间隔。几何方法：主成分分析我们用相关向量C（t）识别每个相关矩阵C（t）=c（t）c（t）。cd（t）（8） 在实d维欧氏空间Rd中，ci（t）是~c（t）的第i个分量。然后应用主成分分析（Pearson[15]，Hotelling[14]）来量化时间序列ci（t），i=1，…，中的正交且因此不相关的一维子空间。。。，d、 第一个主成分被定义为与数据值最大可能偏差相关的直线。其他主成分是那些数据方差最大且与前面的主成分正交的主成分。主分量的数量小于或等于d。主分量由正交特征向量^vi，i=1。。，对称d×d协方差矩阵的d=AA+。（9） 这里A是d×T数据矩阵，d个经验时间序列ci（T）为行，A+表示其转置。W的秩为min（d，T），我们不能将主成分分析（PCA）应用于我们的全部数据，因此我们将主成分分析（PCA）应用于随机选择的100只股票，以d=（100）结束-100）/2=4950长度为T=5169的时间序列。无花果

2（a）显示了前十个主成分的伊根向量分量分布。05010050主成分分析特征向量成分值的密度0。014-0.04-0.02 0.04（a）●●●●●●●●●●0.20.40.60.81.0主成分方差主成分数归一化方差1 2 3 4 5 6 7 8 9 10（b）图2。（a） 前十个标准化主成分的分布和（b）其方差标准化为最大值。第一个归一化特征向量的分量集中在恒定值0.014附近，而其他九个的值对称分布在零附近。因此，数据值方差最大的方向是向量^v所跨越的子空间≡√D...≈0.0140.014...0.014. （10） 前十个主成分的数据值方差如图2（b）所示。第一主成分的方差比其他主成分的方差大得多。图3。（在线彩色）投射到前三个主要组成部分的数据集。不同的颜色突出了不同的市场状态，如第。5.数据集中的相关矩阵C（t）被视为向量~C（t）∈ Rdare THUSD沿着^v分布。图3显示了我们的数据在散点图中的前三个主成分上的投影。数据点沿第一主成分的分布占主导地位。相关矩阵C（t）在时间t对第一主成分的贡献由标量乘积H~C（t）给出，^vi=√ddXi=1ci（t）=c（t）√d、 结果是平均相关系数（4）乘以固定数√d、 因此，市场的动态由^vw的运动主导，而^vw由^c（t）给出。公式（11）证实了第节中讨论的光谱分析结果。2.1.

我们注意到，相关矩阵C（t）的谱分析是标准化收益^ri（t）=ri（t）的主成分分析- hrit（t）σ（t）i（t）。（12） 被视为RK的元素。因此（12）在时间t的第一个主分量上的投影等于^ri（t）的非加权平均值。投影h~c（t）、^vi和h~c（t）、^vi描述了沿第二和第三主分量的系统动力学，如图4.3所示。市场状态：市场的不同时期我们对参考文献[10]中的数据进行聚类，并确定金融市场的准平稳状态，我们在第。3.1. 我们将市场上的特征状态与Sec中已知的历史事件联系起来。3.2.主成分分析92 93 94 95 96 97 98 99 00 01 02 04 05 06 07 08 09 10 11 12-0.2-0.100.10.22第三个PC3图4。（彩色在线）投影h~c（t）、^vi（实心，黑色）和h~c（t）、^vi（虚线，红色）到第二和第三主成分的时间演化√d、 3.1。市场状态市场状态92 93 94 95 96 97 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12状态图5。市场状态的时间演化。虚线突出显示了第3.2节中描述的经济上不同的时间间隔。在上一节中，我们展示了我们的数据沿着Rd中的几个主要子空间分布。为了量化任何两个相关矩阵C（ta）和C（tb）之间的相似性，我们计算了距离Dab=k C（ta）- C（tb）k=k~C（ta）-~c（tb）k（13）通过欧几里德范数√D●●●●●●●●●状态2（0.09）●状态3（0.1）●州1（0.15）●州4（0.2）●州5（0.21）●州6（0.26）●州7（0.37）●状态8（0.58）图6。市场的聚类树表示聚类。括号中给出了各状态下的平均值c（t）。作为下一步，我们使用对分k-均值聚类算法[12]。

在聚类过程开始时，所有相关矩阵都被视为一个聚类，然后使用k=2的k均值算法将其分为两个子聚类。对于每个簇α，我们计算其簇中心~uα=NαXt∈α~c（t），（14）是该簇中的平均相关矩阵。这里Nα表示团簇元素的数量，t∈ α象征性地表示~c（t）在簇α中的所有时间t。重复分离程序，直到团簇大小器α=NαXt∈αk~c（t）- ~αk（15）小于每个簇α的给定阈值。我们选择平均距离小于0.164，以获得参考文献[10]中的8个簇。如果相应的相关矩阵C（t）和相关向量C（t）位于簇α中，则称市场在时间t处于市场状态α。市场状态的时间演变如图5所示。图6显示了相应的聚类树。在我们数据的第一天被占用的州被标记为1。剩余状态根据图6所示状态内的‘c（t）平均值进行标记。我们把这些州分成三大类。市场状态1、2和3代表着市场状态。第四、五和六个州是中间州。七州和八州是动荡的州。金融市场在这些不同的州之间演变。随着时间的推移，新的状态形成，现有的状态消失。例如，在过去四年中，第1和第2州占主导地位，而第8和第7州占主导地位。3.2. 不同的时间段我们将整个时间段划分为六个动态且经济上不同的时间段。（i） 1992年初至1996年春季：在这个相当平静的时期，c（t）在0到0之间变化。2.标准普尔500指数持续增长，波动性适中。

市场主要占据第一和第二州。（ii）从1996年春季到2000年春季，\'c（t）探索的范围以及S&P500指数大幅增加。波动性也变得更大。“c（t）”的增加可以解释为这一时期出现了密切相关的工业部门，尤其是技术部门。市场状态二几乎消失，市场主要在状态五和状态一之间跳跃。我们注意到第五个状态仅出现在这一时期。（iii）2000年春季至2003年下半年：这段时间完全覆盖了互联网泡沫，被称为金融市场因危机而非常动荡的时期。标准普尔500指数持续下跌，损失了大约一半的价值。平均相关系数在0.48处达到最大值。在Crisstate 3的开始出现了大约一年。这种状态在整个时期只出现过一次。在下半年，该市场在第四州和第六州之间切换，到2002年底占据第七州。这一时期包括市场对9·11袭击的反应。（iv）从2003年下半年到2007年秋天：这段时间涵盖最近全球金融危机之前的四年，直到雷曼兄弟倒闭之前的一年。从图1中的标准普尔500指数可以看出，在互联网危机之后，市场似乎有所复苏，但“c（t）”并没有平静下来，而是在平均值0.28左右强烈波动。市场在第四州、第六州和第七州之间跳跃。第六州主要在此期间被占领。（v） 从2007年10月到2009年3月：这段时间涵盖了21世纪末的金融危机。标准普尔500指数持续下跌，并损失了大约一半的价值。平均相关系数在0.67处急剧达到峰值。

该市场主要位于第七州，到2008年底占据第八州。（vi）2009年3月至2012年底：随着标准普尔500指数再次增长，市场似乎在缓慢复苏。增长因急剧下降而中断。这反映在“c（t）”的高峰中，在分析的21年中，其最大值为0.77。平均相关系数并没有降低到危机前的水平。市场在第七和第八状态之间切换，并在短时间内衰减为第四和第六状态。4.随机分析我们描述了用于模拟c（t）的随机过程。4.1. 以秒计。4.2我们解释了如何从时间序列中提取显式模型。我们在Sec中描述了市场状态的随机分析。5.4.4.1. 随机过程我们将“c（t）”建模为一个由朗之万方程DDT“c（t）=f（\'c，t）+g（\'c，t）Γ（t），（16）描述的随机过程，即变量“c（t）”的随机微分方程（SDE）∈ R.这里f是（16）的确定部分——漂移函数，g是扩散函数，它定义了（16）的随机部分。Γ（t）是δ相关高斯白噪声，hΓ（t）i=0，hΓ（t）Γ（t）i=δ（t- t） 。我们注意到，对于无量纲变量c（t），漂移函数的维数为反时间，扩散函数的维数为反时间平方根。（16）的解是根据随机积分定义的，这取决于离散化的选择[25,26,27]。在本文中，我们使用了It^o的选择（参见It^o对SDE的解释[25,28]）。It^o定义的优点是，扩散项g与高斯白噪声hg（\'c，t）Γ（t）i=0不相关[25]。因此，漂移项和扩散项可以作为条件矩[25,29]f（c，t）=limτ获得→0h′c（t+τ）- \'c（t）iτ\'c（t）=c，（17）g（c，t）=limτ→0h（`c（t+τ）- \'c（t））iτ\'c（t）=c。