基于宏观经济的无套利通货膨胀证券估值

短期名义利率ni——由中央银行设定——是ti时商定的利率-1并在ti时通过ti时余额的银行账户支付-1.用于支付折扣。短期名义利率过程{ni}i=0,1，。。。是一个可预见的过程，即短期名义利率NIFI-1-可测量。2.银行账户Bi=Qij=1（1+τjnj），其中B=1。这里τi表示时间ti之间的年分数-1和ti。因为利率是NIFI-1-可测量，银行账户过程{Bi}i=0,1，。。。这是一个可以预见的过程。在时间ti-1时间发生的现金流是已知的：这就是为什么银行账户通常被称为无风险资产的原因。3.前两个属性隐含着负短期名义利率的下限：在这个模型中，利率可以是负的（就像2012年一样，例如德国国债达到2年期，欧洲央行在2014年将存款利率设定为-0.1%），但不能低于-100%，否则名义银行账户将为负值，这是不可能的。理性的代理人不会把钱放进这样一个将资产变成负债的账户。4.贴现债券P（ti，tN）系统，在tN时支付一单位货币，并具有以下性质：oP（ti，tN）=EQihQNj=i+1（1+τjnj）-1ioP（ti，ti）=1，ioP（ti，tN）>0，我≤ NolimN→+∞P（ti，tN）=0oP（ti，ti+1）=Bi/Bi+1。这里我们假设中央银行以商业银行支付给货币市场账户持有人的相同利率向商业银行贷款。我们正在做一个简化的假设，即央行按照货币市场账户中累积利息的时间尺度来审查利率。这一假设让我们可以在定价模型中对中央政策进行相当现实的描述。5.

季节性调整价格指数过程{Ii}i=0,1，。。。这描述了价格水平的演变。6.零息票流动指数掉期（ZCII）系统，即流动分支支付（Ii+M）-1/Ii）-1固定支腿支付（1+XM）Mτi-1.两次付款均在到期时进行。对于所有到期日tM>ti，利率均按时间t报价。在这个模型中，通货膨胀支付是滞后的，因为它发生在现实中：事实上，物价指数会受到修订，在实践中，ZCII支付的通货膨胀滞后一个时期。7.指数挂钩的零息债券PI（ti，tM）系统，到期时支付的现金相当于价格指数IM-1.这些债券的定价与前一点所述的零息票流动互换一致。在这种模型中，由于实际情况的不同，流动性支付存在时间滞后：事实上，价格指数可能会进行修订，在实践中，流动性债券的支付滞后一个时期。这些债券在时间t对所有到期时间t M>t I进行报价。我们忽略了通常在流动性债券中交易的流动性。宏观经济变量。通货膨胀率由pi=（Ii/Ii）定义-1) - 1） /τi.这是物价指数的年增长率。产出缺口xi定义为经济的实际和潜在对数线性增长率之间的差异：xi=^yi- ^yfi。为了全面定义产出缺口，我们引入了国内生产总值（GDP）Yi，也称为产出，它是经济体在两个时期之间生产的所有最终产品和服务的价值-1和ti。GDP年化增长率定义为：yi=（（yi/yi）-1) - 1） /τi.假设增长率yi具有长期平衡水平y，即e（yi）→ “就像我一样→ +∞. 变量^yi被定义为GDP增长率yi与其长期均衡水平y之间的百分比偏差：^yi=（（yi/\'y）- 1).

经济学家通常将其称为对数线性化的DGDP增长率，如^yi=（（yi/y）- 1)~=日志（yi/y）。如果我们假设经济受到一些“不效率”的影响，我们可以引入潜在的GDPYfi，它可以定义为在没有不效率的情况下产生的GDP：直觉上，这些不效率表明实际GDP Yi没有达到“充分就业”GDP Yfi。因此，我们同样推导出变量yfi、\'yfi和^yfi，它们完成了产出差距xi的定义。我们假设过程{Yi}i=0,1，。。。，{Yfi}i=0,1，。。。，和{Ii}i=0,1，。。。因此，过程{xi}i=0,1，。。。和{pi}i=0,1，。。。它们也被改编了。为了完成形式化，我们需要假设模型中涉及的所有随机过程在某种意义上收敛到一个有限的平衡水平，此时时间趋于一致。宏观经济模型中通常不会对这种趋同进行进一步说明。经济假设。我们列出了微观经济和宏观经济假设：1。经济是封闭的，即没有汇率，也没有外汇市场。2.所有市场都处于均衡状态，即所有商品和服务市场的需求与供应相匹配。3.经济是货币经济，即不存在易货交易。4.在跨期预算约束下，代表消费者使其效用函数最大化。5.为了安全起见，代表消费者从消费和保持现金余额中提取效用（效用中的金钱方法）。没有公共部门，因此没有税收。价格指数时间序列明显显示出季节性，主要受1月和7月销售额以及圣诞节前后价格上涨的推动。我们在这一阶段不直接对这些模式进行建模，因为在最后一阶段可以很容易地引入季节性修正。

这可以通过假设每月的通货膨胀率与季节性调整的通货膨胀率相差一定百分比来实现。直观地说，季节性与短期流动性交易更相关。我们涉及对数线性化的原因很快就会清楚。更多信息也可在本节后面部分获得。7.劳动力是唯一的生产要素：不需要资本，因此没有投资。8.储蓄投资于支付名义利率的债券。9.代表性消费者消费多种商品，每种商品都是在垄断市场生产的。10.产出与私人消费一致，因为没有ZF支出，没有进出口，没有税收，也没有投资。11.公司将利润最大化，但不能在每个时期自由修改其收取的价格（粘性价格）。12。央行将短期利率设定为通货膨胀和产出缺口的线性函数（泰勒规则）。短期利率在其平衡水平附近移动。13.短期利率在某些情况下可能为负值。14.存在对产出缺口和通货膨胀的预期系统。15.时间是离散的。16.没有信用风险。2.2模型推导我们按照沃尔什[42]介绍DSGE基线模型的主要方程：由于本节的材料是标准的，我们给出了一个高水平的概述。另一个有趣的概述可以在Clarida、Gali和Gertler[13]中找到。熟悉此模型的读者可以跳过此部分。2.2.1经济描述我们使用的基准模型代表一个简单的封闭经济，没有ZF和税收制度。生产函数只依赖于劳动力，因为不考虑资本：因此没有投资。

因此，从宏观经济的角度来看，我们可以说，当时的产出等于当时的总消费ti:Yi=Ci。经济是一种货币经济，货币和价格水平为二级。2.2.2消费者代表性家庭解决了两步优化问题。它首先决定如何在不同商品之间分配其总消费量——由具有垄断竞争力的最终产品生产商（企业）生产——然后选择总消费量、持有现金量、投资债券持有量和工作时间。在第一步中，我们假设存在一系列商品，这些商品由一系列垄断企业j（j）生产∈ [0, 1]). 在第十一条时，家庭选择商品组合，以使总消费成本最小化：minZpjicjidjby，并考虑到约束条件Z（cji）θ-1θdjθθ-1.≥ Ci。这里Pji是时间Tian时商品j的价格，Ci是总消费时间ti。参数θ用于建模价格弹性，即消费对价格的敏感程度。这一标准优化问题在沃尔什[42]中得到了解决（第233页），并根据一般价格Ii级、总消费Ci（将在下一步确定）和商品j的价格，得出商品j的最佳消费量，pji:cji=pjiIi-θCi。（1） 第二步建模为预算约束下预期效用的跨期最大化，并产生通常的欧拉条件。代表性家庭从消费（Ci）和持有实际现金余额（Mi/Ii）中获得效用，作为不确定性的保险：此外，它从提供劳动力中获得负效用，并且可以在每个时期储蓄并购买支付名义利率的债券。

我们假设一个功率效用函数：因此，问题是找到解决问题的序列Ci、Mi、Bian和NitMax∞Xti=tβtiE“C1-σi1- σ+α1 - DMiIi1.-D-N1+ηi1+η#。参数σ、d、α>0、η表示消费、实际现金余额和劳动力供给如何影响效用函数。与任何宏观经济模型一样，预期E[·]与物理测量P有关：在本节中，如果没有具体测量，则假设使用物理测量。参数β∈ （0，1]通常代表一个时期内的主观贴现系数。参数σ，也称为“相对风险规避”，用于在恒定相对风险规避（CRRA）效用函数中模拟效用对消费的弹性。当σ非常高时，代理人极度规避风险，因为在消费绝对减少的情况下，消费增加产生的效用增加小于相应的效用减少；当σ为零时，存在风险中性，即效用随消费线性增长；当σ趋于1时，效用函数变成对数效用函数，这是适度的风险规避。优化是在以下约束条件下进行的：ti时的总财富（在消费、实际现金余额和债券持有之间分配）来自于提供劳动力的前一个时期（Wii是ti时1个单位劳动力获得的工资）。除nihilo外，系统中没有引入财富：Ci+MiIi+BiIi=WiNiIi+Mi-1Ii+Bi-1Ii（1+ni）-1).欧拉条件的推导是标准的，可以在沃什[42]的第二章中找到。该问题的一阶条件如下：-σi=（1+ni）βEiIiIi+1C-σi+1（2）αMiIiCσi=ni1+ni（3）NηiC-σi=WiIi。

（4） 由于效用函数是凹函数，一阶条件足以找到最大值。由于我们假设没有ZF，没有资本存量（因此也没有投资），经济也处于封闭状态，我们用产出定义Yi=Ci代替消费-σi=（1+ni）βEiIiIi+1Y-σi+1。在做了一些近似值后，可以在零膨胀平衡点附近用对数线性化项重写该条件：^yi=Ei^yi+1-σ（^ni）- Eipi+1）。（5） 通货膨胀率Pi定义为物价水平IITi的年化相对变化-1到ti。2.2.3企业利润最大化问题必须考虑三个约束：需求曲线、生产技术和价格粘性。它包括找到最佳的劳动力数量，使生产成本最小化，以及最佳的好价格，使预期利润流最大化。需求曲线为（1）。第二，技术使得第j家公司的产出仅取决于劳动力。Zi是一个均值为1的正随机变量，代表随机生产率冲击。第三，投资者在每个时期只能以1-ω的概率调整价格。这种价格粘性假设是最有趣的假设，对于定义该模型的波动动力学至关重要。第一个结果是，产出yi偏离了产出可变价格Yfi：通过使用（4），我们可以用对数线性化的术语确定它们的差异，即产出gapxi=^yi- ^yfi。我们不解释随后的细节：相反，我们发展了一些关于内流力学的直觉。

由于价格具有粘性，企业正在最大化其预期利润流，因此企业不仅会在生产成本上升时提高价格（在灵活的价格框架下也会发生这种情况），而且还会补偿未来可能不会涨价时可能面临的预期损失（概率ω）。这有两个重要后果：首先，由于价格通过需求曲线（1）和宏观经济恒等式Yi=Ci影响产出，因此价格波动与产出缺口有关。产出差距在通货膨胀中增加。其次，如果存在通货膨胀预期，企业会在当前阶段提高价格，因为他们在未来可能无法这样做。因此，通货膨胀是一种自我充实的预言。经过一些代数运算后，结果就是所谓的新凯恩斯主义菲利普斯曲线，该曲线表明当前的通货膨胀水平既取决于通货膨胀预期，也取决于产出缺口：pi=βEipi+1+kxi。（6） 参数k>0可被视为市场价格灵活性的衡量标准，定义为ask=（1）- ω)(1 - βω)(σ + η)ω.值得解释一下上面使用的对数线性化是如何工作的。给定可变的法定时间Ti，我们假设其长期平衡水平为¨F（即，当时间达到完整性时，Fi的极限为¨F）。用小写字母“hat^fi”表示变量在时间Tio时与长期平衡水平“F”的偏差（以百分比表示）：对于小偏差，可以用其比率的自然对数来近似表示。

在公式中：^fi=fi\'F- 1.~=日志（Fi\'F）。Uhlig[41]对此技术给出了广泛的解释和示例：考虑到这种变换与自然对数之间的相似性，乘积可以用和来近似，幂变成乘法系数，常数消失。值得强调的是，如果价格永远不变，ω=1：因此k等于零，而波动只是由预期驱动的。和以前一样，沃尔什[42]（5.4,5.7）中也有推导。2.2.4把事情放在一起方程式（5）可以根据产出差距xi=^yi重写- ^yfi:definingui=Ei^yfi+1- ^yfi，我们得到了（5）的最终形式，可以放在（6）xi=Eixi+1的系统中-σ（^ni+1）- Eipi+1）+ui。（7） 当我们将利率ni+1定义为中央银行在时间Tian设定的利率和在时间ti+1支付的利率时，我们编写了^ni+1，而不是^ni：我们将标准DSGE模型与短期利率可修改的要求相协调：这对以下模型构建没有显著影响。这条曲线可以解释为新凯恩斯主义需求曲线，其中产出缺口表现出对实际利率函数的负依赖。进程{ui}i=0,1，。。。可以被认为是一个离散时间随机过程，它将对数线性可变价格输出偏离其预期的水平联系起来：这种差异应该在某种程度上取决于生产率冲击Zi，但出于我们的目的，我们可以将其视为一个一般的随机过程。

我们再次强调，原始宏观经济模型没有对冲击过程做出任何进一步的假设：我们在以下章节中对这个问题做出了必要的假设，其中SGE模型用于定价目的。2.2.5泰勒规则和中央银行方程（7）和（6）定义了一个离散时间、二维、前瞻性随机系统，受两个外生变量的影响：对数线性化的短期利率^ni+1和过程{ui}i=0,1，。。。，与生产力冲击有关。我们引入中央银行，它使用短期利率作为政策工具。在每个时期，中央银行根据以下规则改变短期利率，以响应通货膨胀和产出缺口：^ni+1=Δπpi+Δxxi+vi。（8）泰勒[40]提出的这一规则表明，中央银行通过设置短期利率来响应通货膨胀和产出缺口：一个离散时间随机过程{vi}i=0,1，。。。，独立于进程{ui}i=0,1，。。。，这是为了增加模型的灵活性。我们提醒读者，利率ni+1由中央银行在时间Tian设定，在时间ti+1支付：因此，我们允许泰勒规则的上述形式存在滞后。在这个阶段，我们还注意到，在这个公式中，短期利率可以是负的，这与我们之前所做的假设是一致的：然而，名义利率低于-100%的值，尽管在理论上是可能的，在一个合理的模型参数化下，将被排除在外。